Негармонические периодические колебательные
процессы, гармонический анализ
Реальные колебательные процессы не являются гармоническими и быть ими не могут, т.к. гармонический закон изменения какой-либо величины предполагает отсутствие начала и конца процесса, отсутствие его становления. Более того, наличие всякого рода возмущений также приводит к нарушению этого закона.
Из теории гармонических рядов следует, что любая периодическая функция может быть представлена в виде бесконечного ряда тригонометрических функций, так называемого ряда Фурье:
,
где
коэффициенты
и
вычисляются по специальным формулам.
Изобразим амплитуды
,
соответствующие колебаниям с равными
частотами в ряде Фурье, на графике (см.
рис. 3.8).
Это спектр колебаний. Процесс разложения периодических колебаний на гармонические составляющие называется гармоническим анализом, а каждая компонента – гармоникой.
3.10. Механические волны. Фазовая скорость волны
Тело, совершая колебательное движение, смещает частицы газа или жидкости, нарушает вблизи себя равновесное значение плотности, деформирует среду. Вследствие этого создаются области сжатия и разрежения. Частицы среды стремятся восстановить равновесное состояние, в результате чего возникают возмущения в соседних, ранее невозмущенных слоях. Эти возмущения распространяются в пространстве, возникает механическая волна - процесс периодический во времени и в пространстве.
Обозначим
скорость распространения процесса
сжатия и разрежения в пространстве
.
характеризует скорость распространения
какой-либо фазы колебаний в пространстве
и называется фазовой скоростью
волны.
Если процесс
распространяется вдоль оси «
»,
то из точки
некоторую произвольную точку
он
достигнет через время
.
При этом, если колебания, порождающие распространяющееся в среде возмущение, имеют гармонический характер
(направление возмущения среды может не совпадать с направлением распространения волны), то колебания в некоторой точке «y» будут аналогичными, но запаздывающими во времени, т.е.:
.
Это уравнение определяет степень смещения среды относительно равновесного состояния во времени и в пространстве, это уравнение бегущей волны.
Так
как
,
где
–
период колебаний, запишем
.
Если обозначим
,
то
и уравнение волны примет вид:
.
-
называется
длиной
волны.
Длина волны (
)
характеризует периодичность процесса
в пространстве и равна пути, проходимой
волной за время, равное одному периоду
колебаний, период колебаний (
)
- характеризует периодичность процесса
во времени.
Часто для описания волнового процесса используют выражение:
,
где
и
называется волновым
числом.
Отметим, что распространение волны не сопровождается переносом вещества, происходит перенос количества движения, сопровождаемый смещением частиц среды.
Виды волн.
Тип механических волн существенно определяется характеристиками сред, в которых они распространяются.
Газы и жидкости не оказывают упругого сопротивления сдвигу слоев. Попытка же сжать или расширить какой-либо объем сопровождается возникновением сил упругости. Отсюда следует, что в жидкостях и газах возможны только волны, направление распространения которых совпадает с направлением возмущения параметров среды. Такие волны называются продольными:
.
Типичным примером продольной волны является звуковая волна.
В твердом теле, в отличие от жидкостей и газов, возможна деформация вида «сдвиг», вследствие этого направление распространения волны может не совпадать с направлением возмущения параметров среды. Если направление распространения волны и направление возмущения параметров среды ортогональны, то такая волна является поперечной.
Характерным примером такого типа волны является волна изгиба.
В твердых телах возможно распространение продольных, поперечных и косых волн. Примером косой волны является волна «вздутия», возникающая при резком ударе по торцу длинного стержня, когда продольная деформация приводит к деформации поперечной (коэффициент Пуассона).
Широко распространенным типом волн являются поверхностные волны – волны, возникающие на границе раздела двух сред, например, жидкости и газа. В поверхностной волне частицы среды описывают эллиптические траектории.