3.7. Сложение колебаний одинакового направления

Этот случай часто реализуется в практической деятельности человека: вибро-машины, виброгасители, рессоры и т.д.

Рассмотрим тело, участвующее в двух однонаправленных колебаниях одновременно. Примером устройства, реализующего эту ситуацию, может быть пружинный маятник, точка подвеса которого подвешена к неподвижной опоре на пружине.

Пусть соответствует колебаниям тела относительно точки подвеса, а - колебаниям точки подвеса относительно неподвижной опоры. Суммарное смешение, очевидно, будет равно:

.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Тогда

,

где ,

.

Видим, что амплитуда результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз.

Если , то:

,

и в случае , амплитуда колебаний увеличивается и становится равной .

Если , то амплитуда результирующих колебаний становится равной нулю.

Итак, в зависимости от начальной разности фаз, колебания либо усиливаются, либо взаимно гасятся.

2. Пусть , а . Тогда:

,

где

.

Видим, что амплитуда колебаний зависит от времени, следовательно, эти колебания уже не являются гармоническими.

Если , то:

.

Итак, сложение однонаправленных колебаний разной частоты приводит к возникновению колебаний, амплитуда которых пульсирует во времени. Эти пульсации называются биениями.

3.8. Сложение колебаний

взаимно перпендикулярного направления

Пусть тело одновременно совершает колебания вдоль оси и вдоль оси с одной и той же частотой

,

.

Найдем траекторию движения тела. Для этого изменим форму записи:

,

,

умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем из первого уравнения второе:

.

умножим первое уравнение на , второе на и сложим уравнения:

.

Далее, полученные выражения возведем в квадрат:

и почленно сложим.

.

В результате проделанных действий получено уравнение, описывающее траекторию движения тела, одновременно участвующего в двух, взаимно-перпендикулярных колебаниях. Это уравнение эллипса.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если , то или .

Окончательно: - это уравнение прямой линии с углом наклона к оси , равным: .

2. Если , то или

Окончательно: - это уравнение прямой линии с углом наклона к оси , равным: .

2. Если начальные фазы отличаются на или , то - это уравнение эллипса, расположенного симметрично относительно осей координат.

Если , то траекторией движения является окружность.

Верным является также утверждение, что движение по окружности всегда может быть представлено в виде суммы взаимно перпендикулярных гармонических колебаний со сдвигом по фазе или .

Все прочие фазовые сдвиги дают эллипсы, не симметричные относительно осей координат (см. рис. 3.6).

Выше рассматривалось сложение взаимно перпендикулярных колебаний равных частот. Если частоты не равны, но кратны, то в результате сложения таких колебаний получаем, так называемые, фигуры Лиссажу (см. рис. 3.7).