2.5. Кинетическая энергия движения твердого тела

Кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой:

Эта формула похожа на формулу для кинетической энергии поступательного движения тела, в которой произведена замена массы на момент инерции, а скорости поступательного движения на угловую скорость. Таким образом, момент инерции играет роль параметра, характеризующего инерционные свойства тела способного вращаться.

Так как произвольное движение твердого тела состоит из поступательного и вращательного движений, его полная кинетическая энергия определяется выражением:

.

Здесь - момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр инерции,

-скорость поступательного движения центра инерции тела.

2.6. Теорема Штейнера

На вопрос как связан момент инерции тела относительно произвольной оси ( ) с моментом инерции относительно оси проходящей через центр инерции тела ( ) если эти оси параллельны дает ответ теорема Штейнера.

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси , не проходящей через его центр инерции и находящейся от центра инерции на расстоянии . Для этого случая кинетическая энергия будет составлять величину:

,

где момент инерции тела относительно оси .

С другой стороны, движение тела можно рассматривать как совокупность поступательного движения центра массы вокруг оси со скоростью и вращательного движения вокруг оси , параллельной оси и проходящей через центр инерции тела, со скоростью .

В этом случае выражение для кинетической энергии будет иметь вид:

.

Так как , где -расстояние на которое была сдвинута ось, получаем:

Сравнение этого выражения с выражением показывает, что

.

Итак, момент инерции относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси , проходящей через центр инерции и параллельной данной, плюс момент инерции центра массы тела относительно оси .

Из представленного выражения видно, что момент инерции минимален, если ось предполагаемого вращения проходит через его центр инерции.

2.7. Момент количества движения

При поступательном движении важной характеристикой является количество движения . Роль количества движения при вращательном движении играет момент количества движения:

_.

Направление вектора момента количества движения совпадает с направлением угловой скорости. Для материальной точки

,

где , - кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки.

Покажем, что эти выражения эквивалентны. Для этого умножим обе части выражения ( ) на и получим:

.

2.8. Момент силы

По определению, моментом силы называется векторное произведение расстояния от точки приложения силы до оси вращения на величину самой силы, т.е.

.

2.9. Второй закон Ньютона для вращательного движения

Известно, что для поступательного движения второй закон Ньютона связывает быстроту изменения импульса тела с полной действующей движущей на тело силой:

, или, если ,

Для вращательного движения, по аналогии, можно записать:

, или, если ,

Определение: изменение момента количества движения тела пропорционально приложенному движущему моменту силы и происходит в направлении, вдоль которого этот момент силы действует.

Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Если с течением времени момент количества движения меняется, ( ), то имеем:

,

где , а .

Первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю, т.к. , и, следовательно,

,

Окончательно имеем:

.