4.4. Сопротивление движению тел в жидкостях
Выше были представлены простейшие законы движения жидкости (газа). Теперь рассмотрим особенности движения тел в жидкостях (газах).
Как установил Стокс, на тело шарообразной формы, движущееся с небольшой скоростью в жидкости, действует сила сопротивления, равная
,
где - коэффициент вязкости,
- радиус шарика,
- его скорость движения.
Эта формула часто
используется для расчета стационарной
скорости падения шарообразного тела в
вязкой среде (
).
Определим эту скорость. При равномерном
движении тел все действующие на него
силы уравновешивают друг друга. Для
рассматриваемого случая
,
где
– сила тяжести,
- плотность материала шарика,
-
сила вязкого трения Стокса,
- сила Архимеда,
- плотность среды.
Решение этого уравнения относительно имеет вид:
.
Более детальное рассмотрение этой задачи, позволяет найти динамику движения тела сферической формы в вязкой среде. В соответствии со вторым законом Ньютона, предполагая, что движение происходит в направлении оси , запишем:
.
Это уравнение может быть преобразовано к виду:
,
где
,
,
.
Решением выше представленного уравнения является:
.
Величина постоянной
интегрирования находится из условия,
что в начальный момент времени скорость
тела была равной
,
поэтому
.
В результате получаем:
или
.
Анализ представленного решения показывает, что в зависимости от начальных условий, соотношения плотностей материалов шарика и среды движение тела будет различным. На рис. 4.7 представлен характер изменения скорости шарообразного тела, плотность которого выше плотности среды, для двух значений начальной скорости.
При больших
скоростях
движения тел в жидкостях или газах
возникают завихрения, энергия затрачивается
на их образование при этом сила
сопротивления становится пропорциональной
и площади сечения тела
,
перпендикулярной скорости движения.
Для этого случая Ньютоном была получена
формула для силы трения, которая имеет
вид:
,
где
- плотность среды,
-
коэффициент лобового сопротивления,
который зависит от формы тела, определяющей
характер вихрей:
-
квадратная пластинка, перпендикулярная
потоку газа (жидкости).
,
-
диск, перпендикулярный потоку газа
(жидкости).
,
-
шар,
,
-
сигарообразное тело (длина = 4 диаметрам).
.
Физический смысл
формулы Ньютона состоит в том, что тело,
при своем движении, оттесняет за 1 секунду
массу жидкости (газа), равную
.
Скорость, сообщаемая телом частицам
оттесненной среды, в среднем равна
скорости самого тела, поэтому, количество
движения, теряемое телом за одну секунду,
будет равно
.
Эта величина определяет возникающую
силу сопротивления движению, силу,
обусловленную инерционными свойствами
частиц среды.
4.5. Кинематическая вязкость. Число Рейнольдса
Опыт подтверждает представленные выше выражения для сил сопротивления движению тел в вязких средах, а именно, то, что при малых скоростях сила трения пропорциональна скорости движения тела, а при больших – квадрату ее величины.
Если предположить,
что формула Ньютона более универсальна,
чем формула Стокса, то следует
констатировать, что значение
является функцией
,
где
-
характерный размер тела, причем их
комбинация должна быть безразмерной.
Такой комбинацией является величина:
,
называемая
числом
Рейнольдса.
(
).
Число Рейнольдса
имеет важный физический смысл. Оно
пропорционально отношению силы трения,
связанной с инерционными свойствами
частиц среды (~
),
к силе трения, обусловленной вязкостью
среды (
).
Величина
называется кинематической
вязкостью.
.
Из представленных в таблице значений видно,
Среда |
Кинематическая
вязкость ( |
Вода при 20
|
O,01 |
Воздух при 20 |
0,15 |
Воздух при 0 , (7 Тор) |
13,3 |
Глицирин при 20 |
6,8 |
)
что кинематическая вязкость воды может быть меньше кинематической вязкости воздуха – это следствие того, что плотность воздуха меньше плотности воды.
Число Рейнольдса
– главная характеристика обтекаемости
тел. При малых значениях
- течение имеет ламинарный характер,
при больших – турбулентный.
При моделировании потоков (строительство каналов, различных гидросооружений и т.д.) проводят макетирование, при этом важно не только повторить геометрию, но и реализовать в эксперименте соответствующее реальности .