4. Основы гидродинамики и аэродинамики

В этом разделе физики изучаются:

1. законы движения жидкости,

2. силы, с которыми движущаяся жидкость действует на помещенные в нее тела.

Первая задача решается путем применения законов механики с учетом двух специфических свойств жидкостей и газов а) вязкости и б) сжимаемости.

В качестве наиболее простой модели жидкости (газа) берут такую жидкость (газ), у которой отсутствуют вязкость и сжимаемость. Это идеальная жидкость (газ) с точки зрения гидродинамики. Такая модель применима во многих случаях, даже в случае легко сжимаемых газов при не слишком больших скоростях.

Вторая задача решается учетом сил, действующей со стороны движущейся жидкости на объемное тело. При малых скоростях это силы вязкости, при больших скоростях – силы инерции частиц жидкости. Величина этих обеих сил зависит только от относительного перемещения жидкости и находящегося в ней тела.

Чтобы иметь представление о движении жидкости нужно знать движение каждого ее элементарного объема. Поэтому вводится понятие «линия тока». Направление линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости движения частиц жидкости. Величина скорости характеризуется густотой линий тока.

В случае установившегося потока скорости частиц в каждой точке остаются неизменными во времени и линии тока совпадают с траекториями движения частиц жидкости.

Часть потока, ограниченная линиями тока называется трубкой тока.

При течении жидкости в каналах или трубах ситуация вблизи стенок осложнена трением жидкости о стенки. Вдали от стенок течение не осложнено их влиянием и называется свободным течением.

Течения жидкости можно разделить на два класса: потенциальные и вихревые. Если вращение элементарных объемов жидкости отсутствует, то течение потенциальное, в противном случае – вихревое.

4.1. Уравнение неразрывности струи

Проследим течение жидкости в трубке тока (см. рис. 4.2). В общем случае, поперечное сечение трубки тока не одинаковое. Покажем, что произведение скорости идеальной жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная.

Для доказательства используем факт, что струя нигде не претерпевает разрыва. Из этого следует, что объем жидкости, протекающей через сечение за время , должен быть равен объему жидкости, протекающей через сечение за тоже время, т.е. или

.

4.2. Уравнение Бернулли

Каждый элемент жидкости обладает кинетической и потенциальной энергией. Изучим перенос энергии жидкостью, текущей в данной трубке тока. Поток будем считать установившимся.

Пусть за время через сечение проходит масса жидкости . Кинетическая энергия, которая переносится через это сечение за время , равна . Через это сечение также переносится и потенциальная энергия, равная , где высота рассматриваемого сечения трубки тока над уровнем моря. Таким образом, жидкость переносит через сечение за время энергию, равную + . К этой сумме необходимо прибавить еще работу, которую совершает жидкость текущая сзади по проталкиванию рассматриваемого элемента жидкости через сечение , , но ( ), а . Следовательно, эта работа равна .

Итак, полная энергия, переносимая через сечение за время , равна:

+ + .

Ввиду стационарности потока величина переносимой энергии остается неизменной в любом сечении трубки тока, поэтому для сечений и можем записать:

+ + = + + .

Справа и слева стоит одинаковая масса, т.к. сколько массы жидкости или газа вошло через одно сечение трубки тока за время , столько же должно выйти через любое другое ее сечение за тоже время (жидкость (газ) считается несжимаемой).

Теперь воспользуемся уравнением непрерывности, из которого следует, что = . Разделим левую часть уравнения на , а правую на . В результате получаем уравнение, получившее название уравнение Бернули:

+ + = + + .

Величина называется динамическим давлением, а - статическим.

Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли имеет вид:

+ = + .

Видно, что увеличение скорости потока жидкости (газа) сопровождается уменьшением статического давления. Таким образом, при сужении трубки тока скорость потока жидкости (газа) возрастает, а статическое давление уменьшается.

Статическое давление может быть определено по высоте поднятия жидкости в трубке, срез которой параллелен линиям тока.

Полное давление измеряется с помощью трубки Пито. Срез трубки перпендикулярен линиям тока. В трубке Пито высота поднятия жидкости определяется суммой статического и динамического давлений (см. рис.4.3).

При очень больших скоростях движения жидкости может возникнуть ситуация, когда статическое давление станет равным нулю и даже отрицательным. В результате струя начнет разрывать саму себя. Это явление называется кавитацией и ограничивает скорость, которая может быть достигнута в данной жидкости.

Эффект уменьшения статического давления в потоке жидкости используют в водоструйных насосах.

Область применимости уравнения Бернулли определяется предположениями, сделанными при его выводе: жидкость (газ) должна быть идеальной - невязкой и несжимаемой. Второе условие для жидкостей практически всегда выполняется, а применительно к газам – оно справедливо при не слишком больших скоростях (до ( 500-600) ). Первое же условие сильно ограничивает область применимости. Действительно, часть кинетической энергии жидкости вблизи стенок расходуется на преодоление сил трения (вязкость). Скорость течения в этих областях уменьшается и происходит нагрев жидкости и стенок. Поэтому к сильно вязким жидкостям, таким как глицерин, различные масла при относительно низких температурах, уравнение Бернулли неприменимо.