6.4. З’єднання обмоток генератора і фаз приймача трикутником

Якщо в незв’язаному трифазному колі з’єднати точки A і z, B і x, C і y фаз генератора, а фази приймача з’єднати в замкнутий контур, то одержимо трипроводове трифазне коло, з’єднане трикутником (рис.6.6). Умовне позначення: Δ-Δ.

При симетричній системі фазних ЕРС і правильному їх з’єднанні завжди виконується умова:

E_AB+E_BC+E_CA=0.

Якщо з’єднати обмотки генератора трикутником при несиметричній системі трифазних ЕРС то може статися коротке замикання.

При з’єднанні трикутником мають місце фазні і лінійні напруги та струми:

E_AB, E_BC, E_CA – фазні ЕРС генератора Е_ф;

I_A; I_B; I_C.– лінійні струми І_Л, які протікають в лінійних проводах;

I_AB ;I_BC; I_CA – фазні струми І_ф, які протікають в фазах генератора та приймача;

U_AB, U_BC, U_CA – фазні напруги генератора U_ф;

U_A'B'; U_B'C'; U_C'A' - фазні напруги приймача U'_ф.

Позитивний напрям фазних ЕРС приймаємо від кінця обмотки до початку, напруги – від початку до кінця, а позитивний напрям струму співпадає з позитивним напрямом напруги.

Із електричної схеми видно, що при з’єднанні трифазного кола трикутником U_ф = U_Л.

Встановимо зв’язок між фазними та лінійними струмами. Для цього скористаємося рівняннями за першим законом Кірхгофа для вузлів A', B', C':

в узол A':→ I_A -I_AB +I_AC=0 I_A=I_AB -I_CA;

вузол B':→ I_B +I_AB -I_BC=0 I_B=I_BC -I_AB; I_A+І_В+І_С=0.

вузол C':→ I_C +I_BC -I_CA=0 I_C=I_CA -I_BC.

Для трифазного кола, з’єднаного трикутником, завжди виконується рівність: I_A+I_B+I_C=0, і тому вона використовується для перевірки правильності розрахунку кола.

Побудуємо векторну діаграму струмів для симетричної трифазної системи (рис. 6.7).

Симетричною називається система, коли струми рівні по величині і зсунуті на кут 120^◦.

Послідовність побудови:

1

0

. Зображаємо комплексну площину.

2

С

. Будуємо векторну діаграму фазних струмів, при цьому струм I_AB відкладаємо по осі дійсних чисел, а інші – під кутом ±120⁰ від нього: I_AB=I_Ф; I_BC =I_Ф е^-j120; I_CA=I_Ф е^j120.

3 . Будуємо векторну діаграму лінійних струмів, для цього достатньо з’єднати вершини А, В, С. Струми І_А, I_B; I_C рівні.

Чисельне співвідношення між I_Ф та I_Л таке ж, як між U_Ф та U_Л для з’єднання зіркою: I_Л = I_ф.

Отже, для трипроводового з’єднання трифазного кола трикутником справедливо:

U_Л = U_Ф ; I_Л = I_ф.

6.5. Потужності в трифазних колах

В загальному випадку потужності в трифазному колі (миттєва, активна, реактивна, повна) знаходяться як суми відповідних потужностей окремих фаз.

Визначимо потужності в симетричному трифазному колі.

Трифазне коло, в якому трифазне джерело енергії симетричне, а комплексні опори фаз приймача однакові, називається симетричним, тобто:

1. Е_A = Е_B = Е_C ; ψ_еА – ψ_еВ = ψ_еВ – ψ_еС = ψ_еС – ψ_еА=120⁰;

2. Z_A = Z_В = Z_С =Z e ^jφф.

Миттєва потужність трифазного кола дорівнює сумі миттєвих потужностей, що споживаються кожною фазою.

Нехай: u_A= U_m.ф sinωt, ψ_u=0;

i_A= I_m.ф sin(ωt- φ_ф), ψ_і = ψ_u - φ_ф =- φ_ф.

p = р_А +р_В +р_С = u_A i_A+ u_B i_B+ u_C i_C= U_m.ф sinωt I_m.ф sin(ωt-φ_ф) +

+ U_m.ф sin(ωt-120^◦) I_m.ф sin(ωt-φ_ф-120^◦) + U_m.ф sin(ωt-240^◦) I_m.ф sin(ωt-φ_ф-240^◦).

Враховуючи, що

sinα sinβ=1/2[cos(α-β)-cos(α+β)]; U_m.ф I_m.ф=2 U_.ф I_.ф ,

отримаємо:

p=U_ф I_ф [cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф)+ cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф-240^◦) +

+cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф- 480^◦)] =3U_фI_ф cosφ_ф ,

так, як сума трьох косинусоїд, зсунутих одна відносно іншої на ±240^◦ (чи на ±120⁰) рівна нулю.

Отже р = 3U_ф I_ф cosφ_ф = P = const,

тобто, миттєва потужність постійна, не залежить від часу і дорівнює активній потужності кола.

Т рифазні кола, в яких миттєва потужність не залежить від часу, називаються врівноваженими. Це значить, що коли навантаженням є двигун, то обертаючий момент на валу двигуна буде сталим.

Активна потужність:

P = Р_А +Р_В +Р_С =3Р_ф =3R_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф cosφ_ф

Виразимо активну потужність через лінійний струм та напругу.

П ри з’єднанні зіркою I_ф=I_л; U_л= U_ф; U_ф=U_л / ,

при з’єднанні трикутником U_ф=U_л; I_л= I_ф; I_ф=I_л / .

Тому завжди P=3U_ф I_ф cosφ_ф= U_л I_л cosφ_{ф ,}

де φ_ф –зсув фаз між напругою та струмом у фазах споживача.

Реактивна потужність:

Q = Q_А +Q_В +Q_С =3Q_ф =3X_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф sinφ_ф = U_л I_л sinφ_ф.

Повна потужність:

S = S_А +S_В +S_С =3S_ф =3Z_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф = U_л I_л =

Активну потужність в симетричному трифазному колі можна виміряти одним ватметром в одній із фаз, помноживши його вимір на три.

Для несиметричного трифазного кола миттєва потужність не є величиною постійною:

p = р_А +р_В +р_С = u_A i_A+ u_B i_B+ u_C i_C = f(t).

Така трифазна система називається неврівноваженою.

В цьому випадку потужності дорівнюватимуть:

1. P=P_A+P_B+P_C=U_AI_A cosφ_A+ U_BI_B cosφ_B + U_CI_C cosφ_C=R_AI_A² + +R_BI_B² + R_CI_C².

2. Q=Q_A+Q_B+Q_C= U_AI_A sinφ_A+ U_BI_B sinφ_B+ U_CI_C sinφ_C= X_AI_A²+ +X_BI_B²+ X_CI_C².

3. S=U_A I^*_А+ U_B I^*_B+ U_C I^*_C =P+jQ.

Враховуючи, що для трифазного трипроводового кола

I^*_A+I^*_B+I^*_C = 0, то I^*_C= -I^*_A - I^*_B = 0, тоді:

S= U_A I^*_A+ U_B I^*_B - U_C I^*_A - U_C I^*_B=I^*_A (U_A -U_C )+I^*_B (U_B -U_C ) =

= U_AC I^*_A+ U_BC I^*_B=P + j Q.

Отже S= U_AC I^*_A+ U_BC I^*_B=P+jQ.

Звідси визначимо активну потужність:

S= U_AC e^jφuAC I_A e^-jφA+U_BC e^jφuBC I_В e^-jφB= U_AC I_A e^{j(φuAC- φA)} +

+ U_BC I_B e^{j(φuBC- φB)} = U_AC I_A cos(φ_uAC -φ_A) + U_BC I_B cos(φ_uBC - φ_B)+

+j(U_AC I_A sin(φ_uAC - φ_A) + U_BC I_B sin(φ_uBC -φ_B))= P+jQ.

P = U_AC I_A cos(φ_uAC - φ_A) + U_BC I_B cos(φ_uBC - φ_B),

д е U_AC = U_CА , φ_uAC = φ_uCА ±180⁰,

(U_AC = - U_CА ).

Тобто, для вимірювання активної потужності в трипроводовому несиметричному трифазному колі можна використовувати два ватметра, ввімкнуті за схемою, приведеною на рис. 6.8.