8.4. Характеристичні параметри чотириполюсника

В електрозв’язку часто використовують режим роботи симетричного чотириполюсника, при якому його вхідний опір дорівнює опору навантаження, тобто:

U₁ /І₁= U₂ /І₂= Z_Н .

Цей опір позначають як Z_C і називають характеристичним (узгодженим, хвильовим) опором симетричного чотириполюсника, а режим роботи чотириполюсника, для якого Z_C = Z_1ВХ = Z_Н , називається узгодженим режимом.

В узгодженому режимі для симетричного чотириполюсника (А=D) основну систему рівнянь можна записати так:

U₁=(A+B/ Z_C ) U₂ ;

І₁=(С Z_C +А)І₂.

Розділивши перше рівняння на друге, отримаємо:

,

рішенням якого є: .

Тоді основна система рівнянь запишеться так:

U₁=( )U₂

І₁=( )І₂ .

Таким чином

U₁ /U₂= I₁ /І₂= = e^γ = e^a e^jβ,

де γ = а+ jβ =ln( ) – коефіцієнт передачі,

а – коефіцієнт згасання (вимірюється в неперах),

β – коефіцієнт фази (вимірюється в радіанах).

Одному неперу відповідає згасання по напрузі чи струму в е=2,718… разів, а по потужності – в 2е разів, тому що в нашому випадку S₁ / S₂ = Р₁ / Р₂ =U₁ I₁ /( U₂ I₂ )= е^2а .

Запишемо рівняння симетричного чотириполюсника через коефіцієнт передачі та характеристичний опір.

За визначенням: = e^γ ,

тоді

e^–γ=1/ ( )=( )/(А² –ВС)= .

З цих рівнянь знаходимо:

та .

Враховуючи, що

та ,

одержимо рівняння симетричного чотириполюсника в гіперболічних функціях:

U₁=U₂ chγ+I₂Z_C shγ,

I₁=(U₂ / Z_C ) shγ+І₂ chγ.

Коефіцієнт передачі γ є комплексним числом

γ = а+ jβ = ln( ).

Якщо прийняти

U₁=U₁ е ^jψ1 , U₂=U₂ е ^jψ2 ,

то U₁ /U₂= (U₁ /U₂ )е ^{j(ψ1 - ψ2 )}=е ^γ= e^a e^jβ.

Звідси: коефіцієнт згасання a = ln(U₁ /U₂ ),

коефіцієнт фази β = ψ₁ - ψ₂.

8.5. Кругова діаграма чотириполюсника

Круговою векторною діаграмою вхідного струму чотириполюсника називають геометричне місце кінців вектора вхідного струму при зміні опору навантаження від нуля до нескінченності. При цьому напруга на вході чотириполюсника і кут між вихідною напругою і струмом мають бути незмінними.

Для побудови кругової діаграми струму необхідно виконати три досліди: дослід холостого ходу, дослід короткого замикання та дослід зворотного короткого замикання.

Кругову векторну діаграму вхідного струму чотириполюсника будують за аналітичним виразом

I₁ = I_1X + (I_1K – I_1X )/(1 – Z_H /Z_2K ).

Величини, що входять до зазначеної формули, а також вхідний струм заданого режиму I_1P визначаємо дослідним шляхом, або за формулами:

I_1X = U₁/Z_1X; I_1K = U₁/Z_1K; I_1P = U₁/Z_1P.

Кругову діаграму вхідного струму чотириполюсника будуємо в наступній послідовності (рис. 8.7).

1. В зручному масштабі на комплексній площині від початкової точки О будуємо вектори вхідної напруги U₁ (лінія ОА) та струмів I_1X і I_1K (лінії ОВ та ОС відповідно).

2. З’єднуємо кінці векторів струмів прямою ВС, яка є хордою майбутнього кола та дорівнює різниці струмів I_1K – I_1X.

3. Від напряму ВС, який будемо вважати новим початком відліку, з точки С під кутом θ = φ_н- φ_2к , будуємо пряму СК, яка є дотичною до майбутнього кола. У нашій побудові будемо вважати, що чотириполюсник навантажений на резистор (Z_H = R), тому φ_н дорівнює нулю, а кут φ_2к має, наприклад, позитивний знак, тому кут θ менше нуля.

4. Через середину відрізка ВС і в точці С по відношенню до отриманої прямої СК проводимо перпендикуляри до їх перетину в точці 0, яка і є центром кола кругової діаграми струму.

5. Радіусом ОВ = ОС проводимо робочу частину кола – дугу ВС, яка і є геометричним місцем кінця вхідного струму І₁. При цьому робоча частина кола і дотична СК повинні знаходитись по різні сторони від хорди ВС.

6. Відрізок ОА відповідає у вибраному масштабі вектору робочого вхідного струму І₁.

7. Для побудови навантажувальної прямої з точки С під кутом (- θ) до хорди ВС проводимо пряму СМ, яка і є навантажувальною прямою Z_H . З’єднаємо точку В з робочою точкою А прямою ВА і продовжимо її до перетину з навантажувальною прямою Z_H, отримаємо точку D. Відрізок СD в масштабі опору є величиною активного опору Z_H=R, на який навантажений чотириполюсник.

8. Кругова векторна діаграма вхідного струму побудована. Тепер за отриманою діаграмою можна визначити значення вхідного струму і для інших значень навантаження. Наприклад, відрізок СD′ відповідає значенню навантаження Z_H′, відрізок СD′′ відповідає значенню навантаження Z_H′′. З’єднавши точки D′ і D′′ з точкою В, отримаємо на дузі кола точки А′ та А′′, а з’єднавши точки А′ та А′′ з точкою О, отримаємо в масштабі вектори вхідних струмів І′ та І′′ для навантажень Z_H′ і Z_H′′ відповідно. Крім того, за допомогою транспортира можна виміряти і відповідні початкові фази цих струмів.

9. За круговою діаграмою можна у відповідних масштабах визначити і інші значення параметрів. Наприклад, відрізок ВА відповідає значенню струму І₂ , відрізок АС – значенню напруги U₂ . У іншому масштабі довжина вектору вхідного струму І₁ відповідає повній вхідній потужності S₁ на вході чотириполюсника, а опустивши перпендикуляр з кінця вектора струму І₁ на напрям вхідної напруги U₁ , отримаємо в масштабі активну P₁ та реактивну Q₁ вхідні потужності. Довжина вектора вихідного струму І₂ в своєму масштабі є повна вихідна потужність S₂ , а перпендикуляр, опущений з кінця вектора струму І₂ на хорду ВС, дає можливість визначити і вихідні активну P₂ і реактивну Q₂ потужності чотириполюсника.