7.3. Діючі та середні значення несинусоїдних періодичних струмів, ерс і напруг

Несинусоїдну функцію можна розкласти в ряд Фур’є, який складається з постійної складової, першої гармоніки і вищих гармонік.

Крім того, несинусоїдну функцію можна охарактеризувати ще трьома величинами:

- максимальними значеннями несинусоїдної функції: i_max, u_max, e_max,

- діючими значеннями несинусоїдної функції: I, U, E;

- середніми значеннями несинусоїдної функції: I_с, U_с, E_с..

Максимальне значення – це найбільше значення несинусоїдної функції за період, позначається символом max.

Взагалі, середні і діючі значення несинусоїдних функцій знаходяться за тими же формулами, що і синусоїдних функцій.

7.3.1. Діючі значення

Діючі значення несинусоїдних функцій знаходяться за формулами:

І = , U = , E = .

Тут i, u, e – несинусоїдні функції.

Знайдемо вираз для квадрату миттєвого несинусоїдного струму:

i² =(i₀ +i₁ +i₂ +…+i_k +…+i_n )² = , (p≠q).

Тоді

I² = .

Р озглянемо окремо другий інтеграл:

Інтеграл від косинусоїдної функції за період дорівнює нулю, через це отримаємо:

Звідси

I = .

Отже, діюче значення несинусоїдного періодичного струму дорівнює кореню квадратному із суми квадратів сталої складової і діючих струмів гармонік.

Аналогічно можна отримати вирази для діючих значень ЕРС і напруг:

; .

7.3.2. Середні значення

Середнє значення несинусоїдного струму, що є сталою складовою її ряду Фур’є – це таке значення постійного струму, при якому за визначений проміжок часу через поперечний переріз провідника проходить стільки ж електрики, скільки і при даному несинусоїдному струмі.

Так як несинусоїдна функція може бути симетрична відносно вісі абсцис, то середнє значення беруть за модулем:

І_с = .

Аналогічно: U_с = , Е_с = .

7.4. Коефіцієнти, що характеризують форму несинусоїдних періодичних кривих

Для оцінки форми несинусоїдних кривих користуються такими коефіцієнтами:

1. Коефіцієнт форми – це відношення діючого значення несинусоїдної функції до її середнього значення, взятого за абсолютною величиною

K_ф = .

Для синусоїди: К_ф = .

2. Коефіцієнт амплітуди – це відношення максимального значення несинусоїдної функції до її діючого значення

К_а = .

Для синусоїди: К_а = .

3. Коефіцієнт спотворення – це відношення діючого значення першої гармоніки несинусоїдної функції до її діючого значення

К_u = .

Для синусоїди: K_u = .

Крім того, в електронній техніці для оцінки форми кривої струму або напруги користуються коефіцієнтом нелінійних спотворень або коефіцієнтом гармонік

К_г = .

Тобто, це відношення діючого значення всіх вищих гармонік струму до діючого значення головної (першої) гармоніки.

7.5. Потужності в колі несинусоїдного періодичного струму

Активна потужність в колі несинусоїдного періодичного струму визначається за формулою:

Р = = ,

при цьому

u=u₀+ u₁+ u₂+…+ u_k+…;

i=i₀+ i₁+ i₂+…+i_k +…;

де u₀ =U₀; i₀ =I₀ – сталі складові;

u_k =U_km sin(kωt+ψ_uk ), i_k =I_km sin(kωt+ψ_ik ) – гармонічні складові напруги і струму.

Запишемо вираз для миттєвої потужності (p ≠ q):

p = ui = (u₀+u₁+u₂+…+u_k+…)(i₀+i₁+i₂+…+i_k+…)=U₀I₀+ .

Тоді

Або: P =U₀ I₀+ U₁ I₁ cosφ₁+ U₂ I₂ cosφ₂+…+ U_k I_k cosφ_k +…=

=P₀+P₁+P₂+…+P_k=R₀ I₀²+ R₁ I₁²+ R₂ I₂²+…=R(I₀²+ I₁²+ I₁²+…)=RI²,

якщо при цьому нехтувати поверхневим ефектом і вважати, що R₀ = R₁ = R₂ = R_k =R.

Таким чином, активна потужність в колі несинусоїдного струму дорівнює арифметичній сумі активних потужностей постійної і всіх гармонічних складових струму.

Аналогічно активній потужності під реактивною потужністю будемо розуміти алгебраїчну суму реактивних потужностей, створених однойменними гармоніками напруги та струму:

Q=U₁ I₁ sin φ₁+ U₂ I₂ sin φ₂+…+ U_k I_k sin φ_k= Q₁+ Q₂+…+Q_k+…=

=X₁ I₁²+ X₂ I₂²+…+ X_k I_k²+….

Повна потужність, що споживається колом, буде дорівнювати S = UI,

де ; .

Для несинусоїдних струмів .

Це можна пояснити таким чином:

нехай U₀ = 0; I₀ = 0, тоді

тут S₁² = P₁²+Q₁², S₂² = P₂²+Q₂², S_k² = P_k²+Q_k²;

– потужність спотворення.

Тому .

Потужність спотворення Т характеризує ступінь відхилення в формах кривих напруги та струму. Вона дорівнює нулю в чисто активному колі, де форма кривої струму в точності співпадає з кривою несинусоїдної напруги.

В наближених розрахунках несинусоїдний струм та напругу заміняють еквівалентними синусоїдами.

Еквівалентною синусоїдою струму або напруги називається синусоїда, діюче значення якої дорівнює діючому значенню несинусоїдного струму або напруги.

Зсув фаз між еквівалентними синусоїдами напруги та струму визначається за формулою

.

Заміна несинусоїдних величин еквівалентними синусоїдами дозволяє розрахувати такі кола відомими методами.