Задача № 2

Визначити діючі струми в гілках, активну потужність, споживану колом, якщо ,

Р озв’язок

1. Застосуємо для розрахунку кожної гармоніки струму окремо символічний метод.

2. Розрахуємо коло, коли в ньому діє напруга першої гармоніки:

- знаходимо комплексні напругу першої гармоніки і опори гілок:

- запишемо комплексний опір кола для струму першої гармоніки

=

- знаходимо комплексну амплітуду струму в нерозгалуженій частині кола

• визначимо комплексні амплітуди струмів в кожній гілці

- запишемо вирази для миттєвих значень струмів в гілках

- визначимо активну потужність, споживану колом і кожною гілкою

3. Розрахуємо задане коло при дії в ньому джерела напруги, що змінюється з потрійною кутовою частотою :

- знаходимо реактивні опори гілок

,

.

• визначимо комплексні опори гілок і кола

• знаходимо комплексну амплітуду струму третьої гармоніки в нерозгалуженій частині кола і в кожній гілці

• запишемо вирази для миттєвих значень струмів в гілках

• визначимо активну потужність, споживану колом і кожною гілкою

, ,

, .

4. Обчислимо діючі струми в гілках і активну потужність, споживану колом:

Тема 8. Пасивні чотириполюсники Вступ

Чотириполюсником називається частина електричного кола, що має два вхідних та два вихідних затискачі (полюси).

Зазвичай, чотириполюсник вмикаються між джерелом та приймачем електричної енергії.

Приклади чотириполюсників (рис.8.1):

Чотириполюсники поділяються на лінійні та нелінійні.

Лінійними чотириполюсниками називаються чотириполюсники, параметри яких не залежать від величини струму або напруги, а також від їх напрямків.

Нелінійними чотириполюсниками називаються чотириполюсники, параметри яких залежать від струму або напруги.

Чотириполюсники бувають активні і пасивні.

Активні чотириполюсники мають джерела електричної енергії (підсилювачі, напівпровідникові пристрої).

Пасивні чотириполюсники не містять джерел електричної енергії.

8.1. Основні рівняння пасивних лінійних чотириполюсників

Розглянемо лінійний пасивний чотириполюсник (рис. 8.2)

1 -1′ – вхідні затискачі, до яких вмикаються джерела енергії,

2-2′ – вихідні затискачі, до яких вмикаються навантаження,

I₁ і U₁, I₂ і U₂ – відповідно вхідні і вихідні комплексні струми та напруги чотириполюсника,

Z₂ – комплексний опір споживача.

Чотириполюсник характеризується двома напругами U₁, U₂ та двома струмами I₁, I₂. Будь-які дві величини із чотирьох можна визначити за двома іншими. Число комбінацій з 4 по 2 дорівнює , тому можливі 6 форм запису рівнянь чотириполюсника (табл. 8.1).

Виведемо основні рівняння пасивного чотириполюсника, що встановлює зв’язок між вхідними та вихідними величинами, які називаються рівняннями чотириполюсника в А-формі. В процесі знайдемо рівняння пасивного чотириполюсника в Y- та Z-формі.

Нехай пасивний чотириполюсник містить n контурів. Для визначення струмів I₁ та I₂ використаємо метод контурних струмів.

При цьому I_I=I₁; I_II=I₂, а частину опору вихідного контуру, що знаходиться всередині чотириполюсника, позначимо через Z’₂₂, тоді Z₂₂=Z’₂₂+Z₂ i Z₂₂I₂=Z’₂₂I₂+Z₂I₂=Z’₂₂I₂+U₂.

Рівняння приймуть наступний вигляд:

Визначимо струми I₁ та I₂ за методом визначників, тобто як , де

Розкладемо ∆_k по елементах k – го стовпця, тоді

.

Визначимо струми I₁ та I₂, враховуючи, що E_I = U₁; E_II = - U₂, Е_ІІІ,…, Е_N =0 (як для пасивного чотириполюсника):

(8.1)

(8.2)

Або:

.

Це є рівняння чотириполюсника в Y-формі, тут Y₁₁,…, Y₂₂ – комплексні провідності. Вони дозволяють за відомими напругами U₁, U₂ знайти струми І₁, І₂.

Якщо в цих рівняннях виразити U₁, U₂ через струми І₁, І₂, то одержимо рівняння чотириполюсника в Z-формі:

.

Тут Z₁₁,…, Z₂₂ – комплексні опори.

Для одержання основних рівнянь чотириполюсника в А-формі з рівняння (8.2) визначимо U₁ та підставимо його в рівняння (8.1):

.

Позначимо: ;

Тоді основна система рівнянь пасивного чотириполюсника в А-формі при передачі електричної енергії зліва направо прийме вигляд:

де A, B, C, D – сталі чотириполюсника, це комплексні величини.

A, D – безрозмірні величини, [B] – Ом; [C] – См.

Для кожного чотириполюсника сталі чотириполюсника можна визначити розрахунковим або дослідним шляхом.

Для чотириполюсників, що задовольняють принципу взаємності, тобто ∆₁₂=∆₂₁, сталі чотириполюсника зв’язані співвідношенням:

AD -BC=1.

Доведемо це:

Отже, будь-який пасивний чотириполюсник характеризується трьома сталими, так як четверта може бути визначена із рівності AD-BC=1.

Тепер поміняємо місцями джерело енергії та приймач, тобто електрична енергія буде передаватися з права наліво (рис. 8.3).

В

Z₂

цьому випадку в основних рівняннях чотириполюсника потрібно замінити:

U ₁ на U₂; U₂ на U₁;

I₁ на –I₂; I₂ на –I_1.

Тоді рівняння приймуть вигляд:

Розв’яжемо одержану систему відносно U₁ та I₁, для цього спочатку перше рівняння помножимо на D, а друге – на B, а потім перше рівняння помножимо на С, а друге – на A і віднімемо від перших рівнянь другі:

I DU₂=ADU₁-BDI₁ II CU₂=ACU₁-BCI₁

 

BI₂=BCU₁-BDI₁ AI₂=CAU₁-ADI₁

 

DU₂+BI₂=U₁ CU₂+AI₂=I₁

Таким чином, – основне рівняння чотириполюсника при зворотній передачі енергії.

Таблиця 8.1

Форми запису рівнянь пасивного чотириполюсника

Форма	Рівняння	Зв’язок зі сталими основних рівнянь (А-форма)
А-форма	U1 =AU2 + BI2, I1 =CU2 + DI2.
Y- форма	I1 =Y11 U1 + Y12 U2, I′2 =Y21 U1 + Y22 U2.	Y11 =D/В; Y12 = - 1/В; Y12 = Y21; Y22 = А/В
Z- форма	U1 =Z11 I1 + Z12 I′2, U2 =Z21 I1 + Z22 I′2.	Z11 =А/С; Z12 =1/С; Z12 = Z21; Z22 = D/С
H- форма	U1 =H11 I1 + H12 U2, I′2 =H21 I1 + H22 U2.	H11 =В/D; H12 =1/D; H21 = - H12; H22 = С/D
G- форма	I1 =G11 U1 + G12 I′2, U2 =G21 U1 + G22 I′2.	G11 = С/А; G12 = - 1/А; G21 = - G12; G22 = В/А
B- форма	U2 =B11 U1 + B12 I′1, I′2 =B21 U1 + B22 I′1.	B11 = D; B12 = В; B21 = С; B22 = А
I′1 = - I1; I′2 = - I2.

Ці рівняння відрізняються від рівнянь чотириполюсника, складених для випадку передачі енергії зліва направо тим, що помінялись місцями A та D.

Чотириполюсник називається симетричним, якщо при передачі енергії зліва направо він по відношенню до вхідних затискачів представляє собою таке ж саме коло, як і при передачі енергії з права наліво.

В цьому випадку A=D.