7.1. Несинусоїдні періодичні сигнали, розкладання їх в ряд Фур’є
Аналіз та розрахунок несинусоїдних кіл можна спростити, якщо періодичну несинусоїдну функцію F(ωt), яка задовольняє умову Дірихле (функція обмежена і за період має скінчене число розривів І роду, максимумів і мінімумів), розкласти в тригонометричний ряд (ряд Фур’є або гармонічний ряд) такого вигляду:
F(ωt)=A0+A1 sin(ωt +ψ1)+ A2 sin(2ωt +ψ2)+ A3 sin(3ωt +ψ3)+…=
=A0+
Ak
sin(kωt
+ψk
)
–
це перша форма запису ряду Фур’є,
де: А0 – постійна складова ряду (середнє значення або нульова гармоніка);
A1 sin(ωt+ψ1) – головна або перша гармоніка, яка змінюється з частотою несинусоїдної функції ω;
Ak sin(kωt+ψk) – k-а гармоніка – це вищі гармоніки, які змінюються з частотою kω;
Ak, ψk – амплітуда та початкова фаза k-ої гармоніки;
F(ωt) – періодична несинусоїдна функція е, і, и, ф.
Врахуємо, що:
Ak sin(kωt+ψk )= Ak cos ψk sin kωt+Ak sinψk cos kωt =Bk sin kωt +Ck cos kωt,
де Bk =Ak cosψk; Ck=Ak sinψk.
Тоді ряд Фур’є запишеться так:
F(ωt)= A0 + Bk sinkωt + Ck coskωt – це друга форма запису ряду Фур’є.
При розрахунку електричних кіл застосовують І або ІІ форми запису ряду Фур’є. Перехід від однієї до іншої форми здійснюється за формулами:
І → ІІ: Bk=Ak cos ψk; Ck=Ak sinψk.
ІІ
→ І: Ak=
; ψk=arctg
.
Знак ψk визначається за знаками sinψk і cosψk:
sinψk=
, cosψk=
7.2. Визначення коефіцієнтів ряду Фур’є
Для того, щоб розкласти несинусоїдну функцію в ряд Фур’є, необхідно визначити коефіцієнти Bk, Ck і А0, які являються амплітудами відповідних гармонік.
Коефіцієнти ряду Фур’є можна визначити аналітичним та графоаналітичним методами, або за допомогою спеціальних пристроїв.
Якщо несинусоїдна функція задана аналітично, то для визначення коефіцієнтів застосовують формули Ейлера:
А0
=
=
;
Bk
=
=
; (7.1)
Ck
=
=
.
Об’єм роботи по визначенню Bk, Ck і А0 можна зменшити, якщо несинусоїдна функція має якусь симетрію.
7.2.1. Ряди Фур’є симетричних функцій
Функції F(ωt) можуть бути симетричними відносно осей абсцис, ординат і початку координат, що впливає на структуру їх гармонічного ряду.
Функція, симетрична відносно осі абсцис
Д
ля
такої функції справедливо:
F(ωt)= -F(ωt+π).
В її ряду Фур’є відсутні нульова і всі парні гармоніки, тобто: А0 = 0; А2К = 0, тому
F(ωt)=
sin[(2k-1)ωt+ψ2k-1].
Функція, симетрична відносно осі ординат
Д
ля
такої функції виконується умова:
F(ωt)= F(-ωt).
В її ряду Фур’є відсутні синусоїди, тобто ВК=0, тому:
.
Функція, симетрична відносно початку координат
В
цьому випадку:
F(ωt)=-F(-ωt),
а гармонічний ряд має тільки синусоїди, тобто А0 = 0 і СК = 0, тому
.
Таким чином, при розкладанні функцій в ряд Фур’є необхідно врахувати їх симетрію, що набагато спрощує процес визначення коефіцієнтів А0, ВК, СК.
7.2.2. Графоаналітичний метод визначення коефіцієнтів ряду Фур’є
Я
кщо
несинусоїдна періодична функція F(ωt)
задана у вигляді графіка, то коефіцієнти
ряду Фур’є А0,
ВК,
СК
можна визначити графоаналітичним
методом.
Період синусоїдної функції ділять на m рівних частин (m=24) і вимірюють відповідні ординати F0, F1, …, Fm. Інтеграли в формулах Ейлера (7.1) заміняють наближеними сумами, враховуючи, що:
∆(ωt)=
,
ωt
= n
,
n
=1,2…m.
Тоді
А0=
,
Вk
=
,
Сk
=
,
де n – порядковий номер ординати (n=1…m),
k – порядковий номер гармоніки (k=1…∞).
Число гармонік, котрі необхідно визначити, залежить від конкретного завдання. Але, зазвичай, спершу визначають перші три гармоніки, виконують їх побудову і графічно знаходять їх суму. Якщо результуюча крива мало відрізняється за формою від заданої, то цим і обмежуються. Якщо ж має місце значне розходження кривих, то визначається ще одна гармоніка і т. д.
При
побудові гармонік необхідно пам’ятати,
що масштаб по осі абсцис для різних
гармонік різний, а на інтервалі періоду
першої гармоніки повинні розміститися
k
періодів k-тої
гармоніки. Тому при побудові k-тої
гармоніки її початкова фаза відкладається
рівною
