Практическая часть.

Как определить существо проблемы

Сделаем небольшое, но очень важное отступление, обратившись к весьма полезной книге Л.М.Фридмана. (Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. – М.: Педагогика, 1977. – 208с.). Выделяют четыре модели проблемных ситуаций: 1) поведенческая, когда имеется препятствие на пути к цели; 2) гештальт-модель, когда имеет место дистриктурированность условий и предмета мышления; 3) вероятностная модель, когда препятствие выражено в наличии альтернативы; 4) информационно-семантическая модель, когда имеет место несоответствие наличных и требуемых знаний.

Проблемная ситуация – это не просто затруднение, преграда в деятельности субъекта (ученого), а осознанное субъектом затруднение, способ устранения которого он желает найти. Только в этих условиях возникает активная мыслительная деятельность. Исследователь пытается децентрировать ситуацию (до сих пор он был центром этой ситуации, а теперь ему надлежит выйти за ее пределы, взглянуть на нее со стороны). Исследователь получает возможность более детально анализировать ситуацию, выявить ее составные части, связи и отношения между ними, характер и особенности преграды.

Результат такого анализа закрепляется в языке. Получающееся при этом описание проблемной ситуации на каком-либо языке и есть формулировка задачи.

Таким образом, генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект (ученый) в процессе своей деятельности, а саму задачу как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка.

Задача, как модель, отражает лишь некоторые стороны моделируемой проблемной ситуации, которая на самом деле всегда богаче, многограннее своей знаковой модели, хотя в структурном отношении они подобны. Но самое существенное различие между ними состоит в том, что центральным элементом проблемной ситуации является субъект, и поэтому ее нельзя «передать» другому субъекту. Между тем задача – это уже объект (знаковый), который можно передать другому субъекту. Поэтому задачи можно придумывать, изменять, переделывать.

В случае, когда субъект получает задачу извне в готовом виде, когда она уже сформулирована, процесс мышления начинается с этапа «принятия» субъектом этой задачи. Субъект по мере ознакомления с задачей или принимает ее, делает ее «своей», или же не понимает ее и тем самым отвергает. В последнем случае субъект может производить какие-то действия по решению задачи и даже иногда ее решить (получить ответ), но это будут не продуктивные умственные действия, а репродуктивное мышление, выработанное у него при решении предыдущих задач того же типа. Большей же частью неприятие задачи проявляется в виде отказа от ее решения.

Всегда, когда вы сталкиваетесь с проблемой, полезно ее осмыслить. Тем более, если она воспринимается с трудом. Как это сделать?

-во-первых, перечитайте и еще раз обдумайте вопрос. Дело в том, что в определенных видах задач, например, словесно-математических, дается некая базовая информация, после чего задается вопрос, ответ на который следует искать. Если вы неверно поняли вопрос, решение задачи часто невозможно найти, а если оно и найдено, то нередко это решение не той задачи, которая была перед вами поставлена.

-во-вторых, следует попытаться упростить имеющуюся задачу, заменив недостижимую для вас цель более реальной с малыми потерями для содержания задачи. Полезно выделить блоки в задаче;

-в-третьих, иногда вместо того, чтобы упростить поставленную цель бывает достаточно лишь изменить ее таким образом, чтобы она более подходила именно для ваших запросов и предпочтений. В таком случае вам придется определить существо проблемы в соответствии с пересмотренной целью.

Показателем «принятия» задачи является стремление субъекта изменить формулировку отдельных ее условий, одни слова и выражения заменить другими, переставить отдельные части, переформулировать. Иными словами, субъект (ученый) в состоянии самостоятельно формулировать суть проблемы в виде серии задач. Следует иметь в виду, что все задачи имеют следующие составные части:

-предметная область задачи, или класс фиксированных (названных, обозначенных) объектов (предметов), о которых идет речь в задаче. Например, требуется доказать, что если в четырехугольнике средняя линия проходит через точку пересечения диагоналей и делится ею пополам, то четырехугольник – параллелограмм. В данной задаче предметная область состоит из множества четырехугольников, их средних линий, диагоналей, точек пересечения диагоналей, отрезков средней линии, на которые она делится точкой пересечения диагоналей и класса параллелограммов;

-отношения, которые связывают объекты предметной области. В указанной выше задаче элементы предметной области связаны такими отношениями: средняя линия четырехугольника проходит через точку пересечения диагоналей (отношение инцидентности прямой и точки); отрезки средней линии, на которые она делится точкой пересечения диагоналей, равны (отношение конгруэнтности); четырехугольник есть параллелограмм (отношение принадлежности);

-требование задачи. Это указание о цели решения задачи, это то, что необходимо установить в результате ее решения;

-оператор задачи. Под оператором задачи понимают совокупность тех действий (операций), которые надо произвести, чтобы выполнить ее требование. Оператор, в отличие от других составных частей задачи, обычно не указывается явно в формулировке задачи, он задается косвенно – требованием задачи (найти, доказать, построить).

Если мы рассматриваем задачу как систему, т.е. как комплекс некоторых объектов или элементов, находящихся в определенном отношении друг к другу, тогда структура задачи есть инвариантный аспект системы, т.е. то, что остается неизменным при любых преобразованиях задачи, не затрагивающих ее основного содержания. Здесь нам понадобится понятие логического следствия.

Рассмотрим некоторую область научных знаний. Выделим из нее совокупность некоторых высказываний, принимаемых в этой области за истинные. Эту совокупность высказываний вместе с правилами вывода из них других истинных высказываний называют теорией в данной области знаний. Например, совокупность всех высказываний относительно окружности в школьном курсе геометрии вместе с общими правилами вывода геометрических теорий (высказываний) образуют теорию окружности в области школьной геометрии. Или, например, совокупность всех высказываний, имеющихся в школьном курсе физики, относительно явлений магнетизма вместе с известными правилами вывода, принятыми в физике, т.е. то, что обычно называют правилами рассуждения, есть теория магнетизма в школьном курсе физики.

Если к некоторой теории Т присоединить какое-то истинное высказывание А, то, очевидно, получим новую теорию, которую называют А-расширением теории Т. В этом случае А-расширение теории Т мы будем обозначать так: (А – Т).

Вот теперь на основании указанных понятий можно так определить логическое следствие: высказывание В называется логическим следствием высказывания А в некоторой области знания, если в этой области существует такая теория Т, что ее А-расширение (А – Т) содержит высказывание В.

Тогда мы можем получить структурную модель, которая описывает задачи на доказательство или объяснение. Воспользуемся следующим примером.

Если жестяную коробку с отверстием в крышке сильно прогреть и затем плотно закрыть отверстие пробкой, то после охлаждения коробка сжимается. Почему, объясните.

В данной задаче заданы два высказывания: 1) А (жестяную коробку с отверстием сильно прогрели и затем отверстие плотно закрыли пробкой); 2) В (после охлаждения коробка сжалась). Истинность высказывания А мы принимаем, а истинность высказывания В надо доказать, и не опытным путем (что было сделано в эксперименте), а логически.

Это означает, что требование задачи состоит в следующем: установить, что высказывание В есть логическое следствие высказывания А.

Следовательно, оператор задачи состоит в том, чтобы найти такую физическую теорию Т, А-расширение которой содержит высказывание В. Значит, структурная модель этой задачи имеет вид, который описывает задачи на доказательство или объяснение.

В целом все задачи делятся на три вида, которые различаются по структуре:

-задачи на разыскание искомого;

-задачи на доказательство или объяснение;

-задачи на преобразование или построение.

Важнейший параметр (существенное свойство, по которому задачи можно делить на отдельные виды) – логическая правильность постановки задачи, т.е. правильность соединения в задаче отдельных ее частей.

Рассмотрим более подробно требования к постановке задач (проблем), воспользовавшись примерами из книги Л.М.Фридмана. Вот перед нами задача: сумма катетов прямоугольного треугольника равна 16 см, гипотенуза равна 10 см, требуется найти произведение синусов острых углов треугольника.

Мы можем рассуждать так: пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза – с. Тогда по условию a+b=16, с=10.

Кроме того, так как треугольник прямоугольный, то a в квадрате + b в квадрате = с в квадрате. Синус А равен a/с, а синус В равен b/с. Затем нам нужно найти синус А умноженный на синус В равно ab/(с в квадрате)

Выполнив необходимые вычисления, получим ответ: произведение синусов острых углов треугольника равно 0,78. Однако этот ответ не верен, ибо не существует прямоугольного треугольника, у которого сумма катетов равна 16, а гипотенуза равна 10. Убедиться в этом нетрудно. Действительно, в ходе решения мы установили, что ab=78, а по условию a+b=16. Очевидно, что нет таких действительных чисел, которые удовлетворяли бы этой системе уравнений относительно a и b. Причина состоит в том, что если гипотенуза с=10, то сумма катетов не может быть произвольной. Во-первых, a+b больше 10. Во-вторых, a+b меньше или равно 10 на корень из 2=14,1; тогда как в данной задаче a+b=16 больше 10 на корень из 2.

Характерной особенность этой и подобной задач является то, что они внутренне противоречивы: сложное высказывание, с помощью которого задана в этих задачах геометрическая фигура, ложно, а потому эта фигура не существует. И хотя решение этих задач можно произвести и можно получить определенный ответ, они не имеют никакого смысла. Ответ к таким задачам может быть только такой: задача неправильно поставлена или ее решение невозможно.

Укажем требования к правильным задачам:

-все указанные в задаче элементы предметной области должны существовать. Например, если в задаче по морфологии дается некоторое слово и требуется найти в нем корень, окончание и промежуточные части, то такая задача неправильно поставлена, ибо никаких промежуточных частей слова морфология не знает. Точно так же неправильна следующая задача: написать формулу натурального числа, которое при делении на 7 дает в остатке 10, ибо при делении на 7 остаток 10 не может получиться;

-все указанные в задаче отношения должны быть действительно определены для тех элементов предметной области, для которых эти отношения заданы в условии задачи. Например, если в задаче дано несколько иррациональных чисел и ставится вопрос, какие из них четные, то такая задача является неправильной, ибо отношение «быть четным» не определено на множестве иррациональных числе;

-область значений каждой из заданных в задаче переменных должны быть не пустой;

-все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными;

-если цель задачи состоит в превращении некоторой высказывательной формы в истинное высказывание, то в условии задачи должны быть указаны хотя бы некоторые основания для этого. Или по-другому: все высказывания, установление истинности которых составляет требование задачи, должны содержаться в виде соответствующих высказывательных форм в условии задачи.

Примечание: под высказыванием мы понимаем любое предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Под высказывательной формой будем понимать предложение, в составе которого имеется переменная (или несколько переменных) и которое при одних значениях переменной является истинным, а при других ложным высказыванием. Если изложить задачу как систему высказываний, высказывательных форм и требований, то мы и получим ее высказывательную модель. Вот пример модели такой задачи. Дана высказывательная форма: сумма переменной х и числа 5 меньше квадрата переменной х, где область изменений переменной х – множество действительных чисел. Найти все такие значения х, при которых заданная высказывательная форма переходит в истинное высказывание.

Если мы рассматриваем задачи как знаковые модели проблемных ситуаций, а таковых на деле очень немного, то выделяют задачи по степени обобщенности в них проблемных ситуаций:

-предметные задачи находятся на самом низком уровне обобщенности. Простым примером такого моделирования является построение с помощью различных предметов (палочек, спичек). Это текстовые задачи, в которых количественные характеристики выражены словами;

-наглядно-графические задачи: задачи-рисунки, задачи-графсхемы;

-знаково-символические задачи, когда задачи-модели строятся с помощью различных знаково-символических языков вплоть до логико-математического.

Решение задач, этапы

Процесс решения задач есть процесс преобразования ее условий, это первый компонент деятельности по решению задач.

Суть же преобразований состоит в применении к отдельным условиям задачи определенных общелогических правил вывода. Это второй компонент. С помощью этих правил вывода мы из первоначальных условий задачи получаем преобразованные, затем, снова применяя к последним правила вывода, получаем еще другие – и так до тех пор, пока не получим результаты, которые удовлетворяют требованию задачи.

Третий компонент – эвристики, которые направляют сам процесс решения. Это особые правила преобразования условий, которые носят интуитивный характер, аналогичный догадке, озарению.

Всякая задача имеет кроме явно заданного условия еще и неявно заданное. Это те знания, которые в условии задачи не заданы, но без которых процесс мышления невозможен – это знания определений, теорем, законов, знания о физических, химических и других процессах и явлениях, полученных в прошлом опыте. Это означает, что исследователь, ученый должен постоянно обновлять свои знания, быть в курсе научных достижений других областей знания.

Приступая к анализу задачи, мы получаем следующую последовательность:

-во-первых, этап распознавания и узнавания: необходимо установить предметную область задачи, все ее элементы, выявить характер каждого элемента: является ли он постоянным или переменным, а если переменным, то какова область его изменения; известным или неизвестным, и если неизвестным, то каким – искомым или вспомогательным, неопределенным или определенным;

-во-вторых, этап нахождения плана решения: следует вычленить из задачи все отношения, которыми связаны элементы предметной области, выяснить характер каждого из этих отношений;

-в-третьих, этап реализации плана решения: установить оператор и требования задачи. Как правило, оператор задачи в ее условии непосредственно не указан или указан неполно, свернуто, и поэтому его полное выявление связано со значительными трудностями, без преодоления которых нельзя надеяться на успех;

-в-четвертых, этап обсуждения (анализа) решения.

Исследователь в процессе решения задачи имеет дело со следующими группами высказываний и правил:

-группа тождественно-истинных высказываний (теория Т). Эта теория или дается нам непосредственно в условии задачи, если задача полно поставлена, или же эта теория имеется у исследователя в виде системы знаний той области, к которой принадлежит заданная задача, если она является обычной неполно поставленной;

-группа истинных высказываний – тех частных, конкретных условий (данных), которые заданы в задаче;

-группа правил логических преобразований высказываний и образования сложных высказываний (правил вывода). Здесь различают две подгруппы: к первой относятся все те общелогические правила вывода и преобразований высказываний, в результате которых из истинных высказываний получаются также истинные высказывания. Эти элементы образуют подгруппу дедуктивных логических правил. Ко второй подгруппе общелогических правил преобразования высказываний относятся те, в результате которых получаются верные высказывания (не всегда достоверно истинные). К этим правилам относятся правила индуктивных выводов и выводов по аналогии. Это подгруппа правдоподобных логических правил.

-группа особых, специальных преобразований и действий по решению задач, которые исторически выработаны коллективным многовековым опытом в процессе решения задач. В отличие от предыдущих групп и подгрупп, элементы данной группы плохо определены и характер их мало изучен. Большинство этих правил создавались эмпирически в опыте многих поколений, многие из них приняли форму высказываний, пословиц, поговорок (например, правила Декарта).

Принципиально различаются между собой два способа деятельности по решению задач: алгоритмический (шаги, реализация которых представляет собой достоверный вывод) и эвристический (шаги, реализация которых представляет собой правдоподобный, не гарантированно достоверный, вывод).

Алгоритмы, используемые для решения задач, имеют свою специфику. Состоит она в том, что эти алгоритмы реализует человек, между тем как реализация математического алгоритма рассчитана на машину. В этой связи говорят об учебном алгоритме и о предписании алгоритмического типа.

Под учебным алгоритмом понимают предписание, пользуясь которым любой ученик, имеющий необходимые знания и точно выполняющий это предписание, правильно решает любую задачу данного вида. Это предписание состоит из указания определенной последовательности преобразований (операций), которые необходимо проделать над условиями задачи (шаги алгоритма), и логических условий, указывающих, в каком случае следует применять тот или иной шаг алгоритма и в каком порядке.

Учебный алгоритм должен удовлетворять следующим требованиям:

-в нем точно перечислены все операции, которые следует произвести, чтобы решить поставленную задачу, и указаны условия, определяющие порядок применения этих операций;

-каждая операция и каждое условие точно определены;

-каждая операция однозначно выполнима;

-ученики или исследователи, для которых дается данное указание, владеют всеми операциями, перечисленными в указании;

-точное выполнение всех указанных операций с учетом условий их выполнения и порядка всегда приводит к решению любой задачи данного вида.

Анализ показывает, что алгоритмическая деятельность пронизана эвристикой едва ли не на каждом шагу. Вначале мы заняты поиском подходящего варианта решения задачи, который имеется в нашем прошлом опыте. Если такой объект отыскивается, то дальнейшее действие заключается в сочетании найденного объекта с данной задачей путем определенного правдоподобного логического правила (например, аналогии), с тем чтобы получить правдоподобный вывод о возможности использования соответствующего этому объекту метода для решения данной задачи. Если же в опыте субъекта, решающего задачу, не отыскивается подходящий объект для сравнения с данной задачей, то применяются эвристические элементы по ее преобразованию. Это, с одной стороны, преобразования, осуществляемые по общим правилам преобразований, например, вычленить требование задачи, заменить данный термин его определением, расчленить данное условие на части. А с другой стороны, преобразования, осуществляемые на основе частных правил. При этом последние детерминируются установленными в процессе предыдущих преобразований требованиями и операторами задачи.

В целом все эти преобразования направлены на анализ условия задачи и на построение различных моделей данной задачи.

Мы видим, что метод, или способ решения задачи зависит от характера решаемых задач. Если эти задачи алгоритмического характера, то метод их решения может быть представлен в виде учебного алгоритма.

Во всех других случаях, когда учебный алгоритм не существует или его составление нецелесообразно для решения задач данного вида, метод их решения может быть изложен в форме особой эвристической схемы. Схема такого рода состоит из системы указаний и ориентиров, пользуясь которыми можно составить план решения задачи или даже алгоритмы решения всех видов задач данного класса.

В отличие от плана решения задачи, под которым понимают описание хода решения, то есть достаточно полное и точное описание процесса ее решения, всех операций, которые приводят к ответу задачи, метод или способ решения – это план решения не только данной конкретной задачи, но и всех задач того вида, к которому мы относим данную задачу. Поэтому метод в отличии от плана содержит не только описание всех необходимых преобразований условий задачи для ее решения, но и указание всех логических условий применимости каждого из преобразований (ориентиров) и, главное, указание всех признаков того вида задачи, решение которых может быть найдено этим методом.

Следует иметь в виду, что в любом плане решения некоторой задачи содержится в неявном виде некоторый метод решения, частным случаем которого является этот план, но этот метод не выявлен, он скрыт.

В силу разнообразия решаемых задач, построение единого учебного алгоритма бывает затруднительным. Тогда прибегают к созданию некоторой эвристической схемы. Рассмотрим это на примере задачи по физике на определение давления. Система понятий и знаний (теория задачи), в контексте которой решаются задачи, связанные с давлением силы тяжести, излагаются в учебных пособиях. Между тем определение силы давления не всегда выглядит убедительным, что вносит дополнительные трудности для понимания сути физических процессов. Так, давление определяют как часть силы давления, которая приходится на площадь опоры. В другом случае давление определяется так: это сила давления, действующая на единицу площади поверхности.

Чем интересны для нас эти примеры. Дело в том, что аналогично определяют цену как стоимость единицы товара, или скорость как путь, пройденный телом за единицу времени (или путь, приходящийся на единицу времени).

Во всех подобных определениях используется понятие «часть» (явно или неявно). Но обычно часть понимается как подобное целому, лишь меньшее в некотором смысле. Так, часть отрезка – это отрезок, а не что-то иное. Между тем часть силы давления есть уже не сила давления, а давление (совсем другая величина). Точно так же часть пути, пройденного телом в единицу времени (скорость), есть уже не путь, а совсем другая величина. В нашей задаче по физике получается, что давление есть сила давления.

Но это вовсе непонятно тому, кто приступает к решению задачи: почему часть имеет совсем иную размерность, чем целое?

Более удачным будет следующее определение: давление есть отношение силы давления к площади опоры. Когда суть понятия ясна, можно приступать к построению модели решения задачи. Вот шаги эвристической схемы:

-произвести анализ явления, описываемого в задаче: какие тела оказывают давление, сколько их; какое тело испытывает давление; что служит опорой давящего тела, сколько опор?

-нарисовать схему (модель) явления;

-расставить данные на схеме;

-установить искомое задачи;

-решить задачу, пользуясь формулами.

Следует иметь в виду, что если неизвестных более одного, но они связаны между собой, то следует исключить сколько возможно неизвестных. Если после этого останется еще неизвестное, то найти его. Если же останется больше одного неизвестного, то задача не может быть решена.

Важным средством познания при решении задачи является моделирование. Вид и характер моделирования определяются сформированными у исследователя эвристическими схемами решения задач. Эвристические схемы, более общие, охватывающие широкий класс задач, или более узкие, охватывающие лишь довольно ограниченный класс задач, логически полные или состоящие из расплывчатых и несистематизированных указаний, каждый осознанно или большей частью неосознанно вырабатывает в процессе жизненной практики.

В экспериментальной психологии многократно описано то беспорядочное, поистине броуновское движение мысли, которое наблюдается при попытках решить задачу незнакомого типа. Для обозначения такого способа поиска применяют термин «метод проб и ошибок». Самой важной особенностью такого способа является отсутствие достаточно полного и развернутого предварительного анализа задачи. К такого рода задачам относятся головоломки. В одном из экспериментов предлагалось провести через четыре угла квадрата три прямые линии, не отрывая карандаш от бумаги, так, чтобы карандаш возвратился в исходную точку. Из 600 человек, которые решали головоломку, никто из них в течение 10 минут, перепробовав различные модели, не решил ее.

Выбор стратегии для определения порядка решения проблемы

К подобного рода головоломкам относятся задачи на перестановки. Перед вами 4 буквы: А, В, С, К. Предложите перечень всех возможных перестановок (вариантов расположения по порядку), в которых данные 4 буквы могут быть записаны. Например, А, В, С, К, затем К, В, С, А и так далее.

Следует иметь в виду, что данная задача может быть как весьма простой, так и очень сложной в зависимости от того, какая стратегия выбрана для ее решения. Если вы попытаетесь решить ее бессистемным образом, , попросту перебирая варианты, шанс, что вы переберете все возможные невелик. Однако если вы примените систематическую стратегию, записывая перестановки по порядку в соответствии с определенной системой, то можете с легкостью указать их все.

Существует простая формула для вычисления количества всех возможных перестановок. Эта формула использует понятие факториала, обозначением которому служит восклицательный знак (!), записываемый сразу после числа, факториал которого вычисляется. В нашем случае, поскольку мы ищем количество всех возможных перестановок из 4 букв, формула выглядит так: 4!

Величина 4! Как раз равна количеству всех возможных перестановок. Вычисляют его путем перемножения числа, после которого стоит знак факториала, со всеми натуральными числами, которые меньше его вплоть до 1. В нашем случае нам следует перемножить 1х2х3х4, результатом чего является 24 – число всех возможных перестановок.

К такого рода задачам относится следующая: на берегу реки три миссионера и три людоеда, всем им надо переправиться на другой берег. Лодка вмещает двух человек. Проблема в том, чтобы число людоедов на любом берегу не превысило число миссионеров. Как им все перебраться на другой берег? А теперь попробуйте решить ту же задачу, увеличив число каждой из противных сторон до 5.

Аналогичная задача связана с переливанием воды в сосудах. У нас два ведра на 7 и 4 литра, как отмерить 3 литра воды?

А теперь у вас три емкости на 8, 5 и 3 литра каждый. В исходном состоянии мы имеем заполненную емкость на 8 литров. Как поровну разделить 8 литров между этим сосудов и 5-литровой емкостью?

А как проследить за тем, чтобы бифштекс жарился ровно 13 минут, имея двое песочных часов на 5 и на 9 минут?

Мысленное представление информации

Перед нами задача, определить, кто бегает медленнее, если мы знаем, что первый бегун бегает быстрее, чем второй, а третий, медленнее, чем второй. Усложним ее: первый бегает быстрее, чем второй, а третий бегает быстрее, чем четвертый, тогда как первый бегает медленнее, чем пятый. При этом четвертый бегает быстрее, чем шестой. Кто из них саамы быстрый?

Будет правильно, если при решении подобных задач мы выстроим линейную диаграмму, которая может быть как вертикальной, так и горизонтальной. Для решения более сложных задач строятся таблицы и диаграммы с пересекающимися кругами. Например: у троих мальчиков 13 кубиков на троих, а также флажки, которых вдвое больше. У первого флажков на 4 больше, чем кубиков. У второго 2 кубика и это на 4 кубика меньше, чем у первого. Кроме того, у второго флажков вдвое больше, чем кубиков. У третьего на 2 флажка больше, чем у первого. Сколько кубиков у третьего?

Логическое умозаключение и ошибки

Умозаключение – это обнаружение одного или более отношений между объектами или событиями. Виды умозаключений:

-по сходству. Это отношение между синонимами, то есть словами, которые практически одинаковы по смыслу (счастливый – довольный);

-по противоположности. Это отношения между антонимами, то есть словами, которые противоположны по смыслу (мокрый – сухой);

-по предикации. Известно, что слова связаны между собой глаголом, или глагольным отношением. Один из объектов, выраженный словом, описывает что-то в отношении другого объекта. Например, А есть следствие В; или А движется по В; или еще А поедает В. Примером предикативного отношения является: автомобиль: дорога. Автомобиль движется по дороге. Другим примером предикации с отношением несколько иного рода будет: собака: лай. Собака выполняет действие, а именно она лает;

-по подчинению. В этом случае отношения таковы, что объект А является одновременно видом объекта В. Вот пример такого подчинения: форель: рыба;

-по координации. Отношения сводятся к тому, что два объекта являются разновидностью одного и того же, иными словами, являются членами одной и той же категории. Пример: салат: капуста. В данном случае оба объекта являются овощами;

-по обратному подчинению. Суть отношений в том, что А представляет собой категорию, в которую попадает В. Примером может служить птица: малиновка. В данном случае птица является категорией, в которую попадает малиновка;

-по завершению. В этом случае каждое слово является частью завершенного выражения. Например: Санкт-Петербург. В данном случае два слова образуют смысловую единицу, обозначающую степень превосходства российского императора или название города, в зависимости от точки зрения и контекста;

-часть-целое. Допустим А является частью В, вот пример: день: неделя;

-целое-часть. В таких отношениях В является частью А, вот также пример: пирог: кусок. Пирог является целым, частью которого выступает кусок;

-по равенству. Такого рода отношения подразумевают математическую или логическую тождественность. Пример: две пятых: сорок процентов – обе величины являются тождественными;

-по отрицанию. Отношения подразумевают математическое или логическое отрицание. Пример: равно: неравно. Всякие два числа могут быть связаны двумя отношениями, выражаемыми словами равно и неравно, являющимися математическим отрицанием друг друга. Другой пример: истинно: ложно;

-по грамматическим отношениям. Подразумеваются грамматические отношения между словами. Пример: есть: ел. В данном случае слово ел есть форма прошедшего времени от слова есть;

-по несемантическим отношениям. При такого рода отношениях слова связывают другие, несемантические отношения. Пример: лесть: месть. В этом случае сутью отношения между двумя словами стала рифма. В другом типе несемантического отношения участвуют буквы, из которых составлены слова. Например: мот, том. В данном случае мы имеем слово, прочитанное наоборот;

Ошибки в умозаключениях

Предлагаемый перечень ошибок основан на работах философов и психологов, в частности А.Тверски и Д.Канемана, и приводится в книге Р.Штенберга. (Штернберг Р. Отточите свой интеллект. – М.: ООО Попурри, 2000. – 544с.):

-представительность. Мы порой считает, что причина какого-либо события должна быть так или иначе похожа на само событие. Например, великое событие должно иметь великую же причину: мы живем в великую эпоху, и каждый шаг правительства возвеличивает нашу жизнь4

-несообразное заключение. Подобную ошибку мы совершаем, когда заключение не соответствует логической последовательности, приводящей к нему;

-дробление. Ошибку дробления мы совершаем, когда предполагаем, что истинность целого необходимым образом влечет истинность и каждой отдельной части целого;

-приклеивание ярлыков. Это результат искаженного мыслительного процесса, где атрибут, именуемый «ярлыком» ничем не обусловлен или используется для объяснения тех или иных действий или их отсутствия без достаточных оснований. Например, видному русскому ученому А.Л.Чижевскому за его авангардные работы по влиянию солнечной активности на земные процессы приклеили ярлык «солнцепоклонник», указывая на языческие элементы его концепции;

-необоснованное обобщение. Ошибку необоснованного обобщения мы совершаем, когда, приняв во внимание лишь частные случаи, тут же обобщаем частности в правило, которое в действительности применимо лишь к этим частностям;

-персонализация. Если вы считаете себя причиной события, на возникновение которого оказывали лишь второстепенное влияние, вы совершили ошибку неоправданной персонализации;

-ссылка на авторитет: такого рода ошибка происходит, когда источник, на который вы ссылаетесь, является недостаточно компетентным в данном вопросе;

-соединение. Ошибку соединения мы совершаем, когда делаем вывод, что целое истинно, исходя из того, что истинны какие-то его части;

-ложная причина. Ошибка ложной причины совершается, когда факт простого совпадения или временного стечения обстоятельств используется для определения причины события;

-ложное разъединение. Если во внимание принимаются лишь два способа решения вопроса или ситуации, в то время как существует более двух вариантов, и вы убеждены в том, что к делу относятся лишь упомянутые две альтернативы, то вы применяете ложное разъединение;

-аргументация неведения. Такая ошибка совершается, когда в качестве довода в пользу истинности утверждения приводится то, что не известны доказательства его ложности, и наоборот, в пользу ложности выдвигается следующий довод: никто не доказал, что это истинно;

-довод от человеческой натуры и довод эмоциональной аргументации. Такого рода рассуждения опираются на те или аспекты личности, стиль жизни, расовую, религиозную, половую принадлежность, тогда как все эти обстоятельства не имеют отношения к решению задач и проблем.

Отображение

Отображение – это распознавание отношения высокого порядка между парой отношений более низкого порядка. Оно напоминает умозаключение, но лишь отчасти. К примеру, выяснение сути отношения между серый и слон требует умозаключения. А вот распознавание отношений между серый и слон, с одной стороны, и бурый и медведь-гризли, с другой стороны, требует отображения.

Отображение формируется позже умозаключений и является важным условием для умения решать большинство видов аналогии. Отображение формирует само существо аналогии, где от нашего аналогового и проблемного мышления требуется увидеть отношение второго порядка между двумя отношениями первого порядка.

Рассмотрим аналогию-пример: виноград относится к вину, как ячмень к пиву. Существом данной аналогии является распознание из условия того факта, что виноград используется для приготовления вина точно так же, как ячмень используется для приготовления пива.

Аппликация (применение)

Процесс аппликации подразумевает применение отношения, получившего определение на предыдущем этапе к последующему. Например, в простой аналогии, типа: адвокат – клиент: врач …? Вы должны сначала определить отношение, существующее между адвокатом и клиентом, отобразить его на новую область человеческой деятельности, обозначением которой является понятие врач. И только затем вы можете применить отношение таким образом, чтобы получить наиболее удачное логическое завершение аналогии.

Аналогии

Аналогии формулируются вербальным (словесным) или графическим методом. В случае графических аналогий цель та же, что и при решении вербальных аналогий, с той лишь разницей, что в этом случае мы имеем дело с отношениями другого рода. Таким образом, необходимы те же мыслительные процессы кодирования, умозаключения, отображения, аппликации и нахождения удовлетворительного решения, но они стимулируются другим способом. В типичном случае геометрические аналогии включают добавление, удаление и трансформацию геометрических фигур или их частей, и задачей является выяснение, какого рода добавления, удаления и трансформации были применены.

Примеры графических и вербальных аналогий приведены в книге Р.Штернберга на с. 204 – 221. Учитывая эвристическую ценность заданий, рекомендуется рассматривать их на практических занятиях или самостоятельно.

Последовательности

Одной из наиболее часто встречающихся проблем индуктивного мышления (кроме аналогий) является задача завершения последовательностей. В задачах такого рода предлагается ряд понятий, формирующих в совокупности ту или иную последовательность, и ставится задача продолжить или завершить ее. Например: имеется последовательность 2, 5, 8, … Требуется завершить или продолжить ее.

При решении следует выполнить кодирование данных, затем с помощью умозаключения выявить отношение между соседними парами чисел и, наконец, применить выявленное отношение, чтобы вычислить число, являющееся логическим завершением данной числовой последовательности, а именно 11.

Вот пример более сложной задачи. Условие читается так: 2, 5, 8, 11: 4,… В этом случае отношение между числами то же: +3. Однако перед тем, как применить это отношение, необходимо отобразить его в новое числовое поле, которое начинается с числа 4. Применение отношения +3 даст число 7 в качестве ответа.

Как и аналогии, задачи завершения последовательности могут включать словесные и графические варианты. Рассмотрим следующую проблеме: лежащий, коленопреклоненный, стоящий: высоко, (а) очень высоко, (б) выше.

В этой задаче отношение, подлежащее выявлению, есть постепенный переход из низкого положения в более высокое относительно уровня земли. Это отношение нужно спроецировать на понятие «высоко», после чего применить таким образом, чтобы получить правильный ответ. Если «выше» не покажется идеальным ответом, придется сделать выбор подходящего ответа: тогда окажется, что «выше» является лучшим вариантом чем «очень высокий».

По форме данный вид задачи отличается от задач-аналогий. Однако операции над понятиями те же. Главное отличие состоит в том, что вместо определения отношения между двумя объектами, в задачах подобного рода необходимо последовательно определять отношение между каждой парой соседних объектов, которых, как правило, три. В нашем случае необходимо сначала определить отношение между лежащий и коленопреклоненный, а затем между коленопреклоненный и стоящий.

Примеры графических и вербальных задач определения последовательности приведены в книге Р.Штернберга на с. 222 – 239. Учитывая эвристическую ценность заданий, рекомендуется рассматривать их на практических занятиях или самостоятельно.

Классификации

Существует несколько устоявшихся форм классификации. В одном случае имеется набор объектов, один из которых не выпадает из данного логического ряда. К примеру, в ряду наименований денежных единиц песо, фунт, доллар, валюта, рупия выпадающим видится слово валюта: оно является понятием более высокой степени общности, чем остальные.

Другая форма классификации предполагает наличие набора понятий, вслед за перечислением которых предлагается перечень вариантов ответов. Например, имеем два набора понятий:

-лев, собака, жираф, лиса;

-птица, кит, тунец, оса.

Требуется определить, какое из понятий второго ряда вписывается в набор исходных понятий (первый ряд). Правильным ответом будет «кит», поскольку кит – единственное живое существо из перечисленных, которые, как и исходные, являются млекопитающим.

Существует и такая форма классификации, когда за исходное берут единичное понятие, указываемое обычно впереди четырех пар понятий. Задача состоит в том, чтобы указать, с какой из пар понятий наилучшим образом согласуется исходное. Вот исходное понятие: секретный. Имеем четыре пары понятий: видимый – очевидный, спрятанный – скрытый, молчаливый – тихий, вероятный – возможный. В этой задаче правильным ответом будет «спрятанный – скрытый».

Примеры графических и словесных задач классификации приведены в книге Р.Штернберга на с. 242 – 256. Учитывая эвристическую ценность заданий, рекомендуется рассматривать их на практических занятиях или самостоятельно.

Матричные задачи

Матричная задача является одним из видов индуктивного мышления, сочетающим элементы аналогии. В ее условии обычно присутствует девять небольших квадратов, или клеток, выстроенных друг относительно друга по «столбцам» и «строкам» и образующих таким образом матрицу. В каждой клетке имеется свой определенный узор из элементов, общих для всех клеток. Получается, что как вдоль строк, так и вдоль столбцов матрицы прослеживаются своеобразные последовательности упомянутых узоров. Обычно одна из клеток матрицы является пустой, чаще всего – нижняя правая. Задача состоит в том, чтобы указать, какой из узоров следует поместить в пустую клетку, чтобы тот оказался логическим завершением последовательностей, формируемых вдоль столбца и строки, пересечением которых является пустая клетка.

Матричные задачи являются наиболее интересным, хотя и очень трудным тестом общего уровня интеллекта. Рекомендуем обратиться к книге Р.Штенберга, где на с. 258 – 269 приведены примеры матричных задач.

Практический интеллект

В заключении обратимся к весьма важному вопросу о том, что мешает добиваться успеха людям с очень высоким уровнем интеллекта. Воспользуемся анализом, который продела Р.Штенберг.

Это, прежде всего, недостаток мотивации. Дело в том, что мотивация становится ключевым источником различий в достижении успеха между отдельными людьми, живущими в одинаковой среде. Наиболее важна, действенна и долговременна внутренняя мотивация. Мешают успеху недостаточное владение собственной импульсивностью, недостаток настойчивости и чрезмерная настойчивость, неспособность переводить мысли в дела, страх перед неудачей, избыточная зависимость, неспособность замечать за частным целое, завышенная или заниженная уверенность в себе, а также недостаток равновесия между критико-аналитическим и творчески-синтетическим мышлением.

Самым важным для ученого является не уровень интеллекта, а то, чего он способен достичь посредством интеллекта. Ум должен был целеустремлен и ориентирован на позитивные созидательные процессы.

Гараедаги

Глоссарий (по Г.Бейтсону)

Коэволюция. Стохастическая система эволюционных изменений, при которой два (или более) вида взаимодействуют таким образом, что изменения у вида А задают обстоятельства для естественного отбора изменений у вида В. Позже изменения у вида В, в свою очередь, задают обстоятельства для отбора аналогичных изменений у вида А.

Линейный и линеарный. Линейность – это технический математический термин, описывающий такие отношения между переменными, что в прямоугольных декартовых координатах они отображаются прямой линией. Линеарность предполагает такие отношения внутри последовательности доводов или суждений, при которых эта последовательность не возвращается к исходной точке. Противоположностью линейности является нелинейность, а линеарности – рекурсивность.

Логические типы. Несколько примеров:

-имя не есть поименованная вещь, но имеет другой логический тип, более высокий, нежели логический тип поименованной вещи;

-класс имеет другой логический тип, более высокий, нежели логический тип его членов;

-управление со стороны органа настройки домашнего термостата имеет более высокий логический тип, чем управление со стороны термостата. Орган настройки – это устройство на стене, на котором устанавливается та температура, вокруг которой будет осциллировать температура в доме;

-слово перекати-поле имеет тот же логический тип, что и слова куст или дерево. Это не есть имя вида или рода растения; скорее, это имя класса растений, члены которого имеют схожий специфический стиль роста и разбрасывания семян;

-ускорение имеет более высокий логический тип, нежели скорость.

Онтогенез. Процесс развития индивидуума; эмбриология плюс любые изменения, налагаемые окружающей средой и привычками.

Параллакс. Кажущиеся движение наблюдаемых объектов, создаваемое относительным движением глаза наблюдателя. Различие между кажущимся положением объекта, видимым одним глазом, и его кажущимся положением, видимым другим глазом.

Редукционизм. Задача каждого ученого – найти простейшее, самое экономное и (обычно) самое элегантное объяснение, охватывающее известные данные. Редукционизм становится пороком, если сверх этого он сопровождается чрезмерным настаиванием на простейшем объяснении как на единственном. Данные могут требовать осмысления в некотором большем гельштате.

Стохастический. От греческого стрелять в цель, что предполагает случайное рассеяние событий, некоторые из которых достигают желательного результата. Если последовательность событий таким образом сочетает компонент случайности с процессом отбора, что выживать позволяется только некоторым случайным исходам, то такая последовательность называется стохастической.

Топология. Раздел математики, игнорирующий количественные величины и занимающийся только формальными отношениями между компонентами, особенно теми компонентами, которые могут быть представлены геометрически. Топология занимается теми характеристиками (например, поверхности или объема), которые остаются неизменными при количественных деформациях.

Филогенез. Эволюционная история видов.

Эпистемология. Сочетание раздела науки и раздела философии. В качестве раздела науки эпистемология изучает, каким образом отдельные организмы или совокупности организмов могут знать, мыслить и принимать решения. В качестве раздела философии эпистемология изучает необходимые пределы и другие характеристики процессов знания, мышления и принятия решений.

-аттрактор – притягивать – состояние системы, которое притягивает пути и траектории движения динамических систем, направляет их эволюцию к определенной цели. Аналог – воронка.

-бифуркация – точка разветвления эволюции открытой нелинейной системы, которая оказалась на перепутье и должна осуществить выбор.

-фрактали – объекты, обладающие свойством самоподобия, повторения структур с увеличением размеров (геометрия деревьев, листьев, управления селом, городом, областью).

-детерминированный хаос – объяснение выхода системы на один из аттракторов и объяснение объединения простых структур в сложные.