Пример 2.2.1

Определить выгодную позицию для предприятия:

а) взять ссуду размером 100000 руб. сроком на полгода под 20 % простых годовых;

б) взять ссуду размером 100000 руб. сроком на полгода под простой дисконт в 20% годовых.

Решение

а) Наращенная сумма к возврату под простой процент составит:

I = 10000 * (1 + 0,2 * 0,5) = 110000 руб.

Переплата со стороны предприятия будет П=110000-100000=10000 руб.

б) В соответствии с (37) наращенная сумма к возврату под простой дисконт составит:

I = 100000 / (1 - 0,2 * 0,5) = 111111 руб.

Переплата со стороны предприятия будет П=111111-100000=11111 руб.

Таким образом, очевидно, что предприятию выгоднее брать ссуду под простой процент, нежели под простой дисконт.

Пример 2.2.2

Имеются 2 контракта:

1) В первом контракте сумма обязательства составляет 20000 руб. исходя из простых 30 % в год с выплатой 12000 руб. через 2 года; остальных 8000 руб. – через 5 лет, т.е. по окончании контракта.

2) Во втором контракте сроком на 4 года под тот же простой процент возврат первой части обязательства в сумме 7000 руб. предусмотрен через год, а остальной суммы – через три года от настоящего момента.

Необходимо рассчитать сумму долга во втором контракте, которая будет возвращена через три года, при условии, что современные ценности потоков платежей в обоих контрактах будут одинаковыми.

Решение

Условие эквивалентности ценности потоков платежей в обоих контрактах выглядит следующим образом:

S(1)₁ + S(1)₂ = S(2)₁ + S(2)₂, (41)

где S(1)₁ – дисконтированная (приведенная) сумма платежа в первом контракте по первому условию;

S(1)₂ – дисконтированная (приведенная) сумма платежа в первом контракте по второму условию;

S(2)₁ – дисконтированная (приведенная) сумма платежа во втором контракте по первому условию;

S(2)₂ – дисконтированная (приведенная) сумма платежа во втором контракте по второму условию.

В качестве наращенной суммы (I) принимается сумма обязательства вернуть долг, включая проценты.

Тогда приведенная к настоящему моменту сумма обязательного платежа составит

S(1)₁ = 12000 / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;

S(1)₂ = 8000 / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;

S(2)₁ = 7000 / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;

S(2)₂ = X / (1 + 0,3 * 3) = X / 1,9.

Контракты будут эквивалентны, если будет выполнено равенство:

7500 + 3200 = 5384,6 + X / 1,9.

Отсюда X = (7500 + 3200 - 5384,6) * 1,9 = 10099,3 руб.

Из примера видно, что сокращение срока платежа во втором контракте, позволяет уменьшить суммарные выплаты. По первому контракту они составят 20000 руб. (12000 + 8000), а по второму – 17099,3 руб. (7000 + +10099,3).

2.3 Сложные проценты

На практике финансовые операции обычно совершаются с использованием сложных процентов. Кредитные взаимоотношения, осуществление долгосрочных финансово-кредитных операций, оценка инвестиционных проектов нередко требуют применения математических моделей непрерывного начисления процентов, их реинвестирования, использования сложных процентов.

Особенность процесса при этом состоит в том, что исходная базовая сумма увеличивается с каждым периодом начисления, в то время как при использовании простых процентов она остается неизменной. Наращение по сложным процентам осуществляется с ускорением. Процесс присоединения начисленных процентов к базовой сумме носит название капитализации процентов.

Наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией. Множитель наращения будет выглядеть как (1 + i)^t. Наращенная сумма исчисляется по формуле

S_t = S₀ * (1 + i)^t , (42)

где S₀ – базовая сумма (современная стоимость суммы денег);

S^t – будущее значение суммы денег;

i – годовая процентная ставка;

t – срок, по истечении которого современное значение денег изменится.

Тогда современная стоимость суммы денег определится так:

S₀= S_t /(1 + i)^t , (43)

Ставка сложных процентов обычно указывается на год (номинальная), хотя начисляться они могут чаще – каждое полугодие, квартал, месяц, даже день. Тогда за каждый период годовая ставка сложных процентов будет равна

i/m, (44)

где m – число раз начисления процентов в году.

В этом случае формула расчета наращенной суммы выглядят так:

S_t = S₀ / (1 + i/m)^tm. (45)

Тогда, современная стоимость суммы денег определится так:

S_o = S_t / (1+i/m)^mt , (46)

где S_o – современная стоимость суммы денег;

S_t – будущее значение суммы денег;

t – срок, по истечении которого современное значение денег изменится;

i – годовая процентная ставка.

Пример 2.3.1

Рассчитать современное значение долга, если его полная сумма через три года составит 18 млн руб., а проценты начисляются в конце каждого года по ставке 40 %.

Решение

В соответствии с формулой (41) получим:

S₀ =  18 / (l+0,4)³ = 18/ 2,744 =  6,56 млн. руб.

Пример 2.3.2

Требуется определить современное значение долга, если полная сумма долга через два года составит 28 млн руб., а проценты начисляются в конце каждого квартала исходя из годовой номинальной ставки 60 %.

Решение

В соответствии с формулой (44) получим

S₀ =  28 / (1+0,6/4)^2*4 = 9,153 млн руб.

Пример 2.3.3

Банк ежегодно начисляет сложные проценты (30 %) на вклад некоторой организации в сумме 1000000 руб. Определить наращенную сумму:

а) через 2 года;

б) через 4 года.

Решение

а) S_t = 1000000 * (1 + 0,3)² = 1690000 руб.;

б) S_t = 1000000 * (1 + 0,3)⁴ = 2856100 руб.

Пример 2.3.4

Банк ежегодно начисляет сложные проценты (30 %) на вклад некоторой организации в сумме 1000000 руб., причем ставка сложных процентов применяется четыре раза в году. Определить наращенную сумму:

а) через 2 года;

б) через 4 года.

Решение

а) S_t= 1000000 * (1 + 0,3/4)^2*4 = 1000000 * (1 + 0,075)⁸ = 1000000 * *1,78348 = 1783480 руб.

б) S_t= 1000000 * (1 + 0,3/4)^4*4 = 1000000 * (1 + 0,075)¹⁶ = 1000000 * *3,1808=3180793,15 руб.

Таким образом, при увеличении числа периодов начисления сложных процентов при одной и той же годовой ставке за одно и то же время наращения сумма возрастает.