- •Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.
- •Однобічні похідні функції в точці.
- •Похідна показниково-степеневої функції.
- •Похідна оберненої функцій.
- •Диференціал функції.
- •Формула Тейлора.
- •Формула Маклорена.
- •Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.
- •Застосування диференціала до наближених обчислень.
- •Теореми про середнє. Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коші.
- •Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •Точки екстремуму.
- •Дослідження функції на екстремум за допомогою похідних вищих порядків.
- •Опуклість і увігнутість кривої. Точки перегину.
- •Асимптоти.
- •Вертикальні асимптоти.
- •Похилі асимптоти.
- •Векторна функція скалярного аргументу.
- •Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
- •Параметричне задання функції.
- •Рівняння деяких типів кривих у параметричній формі. Коло.
- •Циклоїда.
- •Астроїда.
- •Похідна функції, заданої параметрично.
- •Кривизна плоскої кривої.
- •Властивості еволюти.
- •Кривизна просторової кривої.
- •Про формули Френе.
- •Інтегральне числення. Первісна функція.
- •Невизначений інтеграл.
- •Методи інтегрування.
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Спосіб підстановки (заміни змінних).
- •Інтегрування частинами.
- •Інтегрування елементарних дробів.
- •Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
- •Інтеграл виду .
- •Інтеграл виду , якщо функція r є непарною відносно cos X.
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій.
- •Інтеграл виду де n – натуральне число.
- •Інтегрування біноміальних диференціалів.
- •Інтеграли виду .
- •1 Спосіб. Тригонометрична підстановка.
- •2 Спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)
- •3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.
- •Визначений інтеграл.
- •Властивості визначеного інтеграла.
- •Обчислення визначеного інтеграла.
- •Заміна змінних.
- •Інтегрування частинами.
- •Наближене обчислення визначеного інтеграла.
- •Формула прямокутників.
- •Формула трапецій.
- •Формула парабол
- •Невласні інтеграли.
- •Інтеграл від розривної функції.
- •Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур.
- •Знаходження площі криволінійного сектора.
- •Обчислення довжини дуги кривої.
- •Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.
- •Об'єм тіл обертання.
- •Площа поверхні тіла обертання.
- •Функції декількох змінних
- •Похідні й диференціали функцій декількох змінних.
- •Повний приріст і повний диференціал.
- •Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.
- •Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
- •Частинні похідні вищих порядків.
- •Екстремум функції декількох змінних.
- •Умовний екстремум.
- •Похідна за напрямком.
- •Градієнт.
- •Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.
- •Кратні інтеграли.
- •Подвійні інтеграли.
- •Умови існування подвійного інтеграла.
- •Властивості подвійного інтеграла.
- •Обчислення подвійного інтеграла.
- •Заміна змінних у подвійному інтегралі.
- •Подвійний інтеграл у полярних координатах.
- •Потрійний інтеграл.
- •Заміна змінних у потрійному інтегралі.
- •Циліндрична система координат.
- •Сферична система координат.
- •Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.
Точки екстремуму.
Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій точці більше значень у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +x) > f(x2) при кожному х (х може бути й від’ємним).
Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в точках, що перебувають усередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.
Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x) диференційована в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції обертається в нуль у цій точці.
Доведення. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум.
Тоді при досить малих позитивних х > 0 вірна нерівність:
, тобто
Тоді
За визначенням:
Тобто якщо х0, але х<0, то , а якщо х0, але х>0, то .
А можливо це тільки в тому випадку, якщо при х0 f (x1) = 0.
Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно.
Теорему доведено.
Наслідок. Зворотне твердження невірно. Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то це ще не значить, що в цій точці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 дорівнює нулю, однак у цій точці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.
Визначення. Критичними точками функції називаються точки, у яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.
Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.
Приклад: f (x) = x Приклад: f (x) =
y y
x
x
В точці х = 0 функція не має ні максимуму, ні мінімуму, ні похідної.
У точці х = 0 функція має мінімум, але не має похідної.
Загалом кажучи, функція f(x) може мати екстремум у точках, де похідна не існує або дорівнює нулю.
Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)
Нехай функція f(x) неперервна в інтервалі (a, b), що містить критичну точку х1, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, може бути, самої точки х1).
Якщо при переході через точку х1 ліворуч праворуч похідна функції f(x) міняє знак з “+” на “–“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “–“ на “+” – то функція має мінімум.
Доведення.
Нехай
За теоремою Лагранжа: f(x) – f(x1) = f()(x – x1), де x < < x1.
Тоді: 1) Якщо х < x1, то < x1; f ()>0; f ()(x – x1) < 0, отже
f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).
2) Якщо х > x1, то при > x1 f ()<0; f ()(x – x1)<0, отже
f(x) – f(x1)<0 або f(x) < f(x1).
Оскільки відповіді збігаються, то можна сказати, що f(x) < f(x1) у будь-яких точках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.
Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.
Теорему доведено.
На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого й найменшого значення функції на відрізку:
-
Знайти критичні точки функції.
-
Знайти значення функції в критичних точках.
-
Знайти значення функції на кінцях відрізка.
-
Обрати серед отриманих значень найбільше й найменше.