Похідна показниково-степеневої функції.

Функція називається показовою, якщо незалежна змінна входить у показник ступеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа й показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показниково-степеневою.

Нехай u = f(x) і v = g(x) – функції, що мають похідні в точці х, f(x)>0.

Знайдемо похідну функції y = u^v. Логарифмуючи, одержимо:

ln y = v ln u

Приклад. Знайти похідну функції .

За отриманою вище формулою одержуємо:

Похідні цих функцій:

Остаточно:

Похідна оберненої функцій.

Нехай потрібно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для розв’язання цієї задачі диференціюємо функцію x = g(y) по х:

оскільки g(y)  0

тобто похідна оберненої функції обернена за величиною похідною даної функції.

Приклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, зворотною функції tg, тобто її похідна може бути знайдена в такий спосіб:

Відомо, що

За наведеною вище формулою одержуємо:

Оскільки то можна записати остаточну формулу для похідної арктангенса:

У такий спосіб отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса й інших зворотних функцій, наведених у таблиці похідних.

Диференціал функції.

Нехай функція y = f(x) має похідну в точці х:

Тоді можна записати: , де 0, при х0.

Отже: .

Величина x – нескінченно мала більш високого порядку, чим f(x)x, тобто f(x)x – головна частина приросту у.

Визначення. Диференціалом функції f(x) у точці х називається головна лінійна частина приросту функції.

Позначається dy або df(x).

З визначення треба, що dy = f(x)x або

.

Можна також записати:

Геометричний зміст диференціала.

y

f(x)

K

dy

M y

L



x x + x x

Із трикутника MKL: KL = dy = tgx = yx

Таким чином, диференціал функції f(x) у точці х дорівнює приросту ординати дотичній до графіка цієї функції в розглянутій точці.

Властивості диференціала.

Якщо u = f(x) і v = g(x) –- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо з визначення диференціала випливають наступні властивості:

1. d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

2. d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3. d(Cu) = Cdu

4. 

Диференціал складної функції.

Інваріантна форма запису диференціала.

Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у – складна функція.

Тоді dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Видно, що форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежної змінної або функцією якоїсь іншої змінної, у зв'язку із чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

Однак, якщо х – незалежна змінна, то

dx = x, але

якщо х залежить від t, то х  dx.

У такий спосіб форма запису dy = f(x)x не є інваріантною.

Приклад. Знайти похідну функції.

Спочатку перетворимо дану функцію:

Приклад. Знайти похідну функції .

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції

Приклад. Знайти похідну функції .