Кратні інтеграли.

Як відомо, інтегрування є процесом підсумовування. Однак підсумовування може проводитися неодноразово, що приводить нас до поняття кратних інтегралів. Розгляд цього питання почнемо з розгляду подвійних інтегралів.

Подвійні інтеграли.

Розглянемо на площині деяку замкнуту криву, рівняння якої f (x, y) = 0.

y

0 x

Сукупність всіх точок, що лежать усередині кривої і на самій кривій назвемо замкнутою областю . Якщо вибрати точки області без врахування точок, що лежать на кривій, область буде називається незамкнутою областю .

З геометричної точки зору  – площа фігури, обмеженої контуром.

Розіб'ємо область  на n часткових областей сіткою прямих, що відстоять одна від одної по осі х на відстані х_i, а по осі y – на у_i. Загалом кажучи, такий порядок розбивки необов'язковий, можлива розбивка області на часткові ділянки довільної форми й розміру.

Одержуємо, що площа S ділиться на елементарні прямокутники, площі яких рівні S_i = x_i  y_i.

У кожній частковій області візьмемо довільну точку Р(х_i, y_i) і складемо інтегральну суму

де f – функція неперервна й однозначна для всіх точок області .

Якщо нескінченно збільшувати кількість часткових областей _i, тоді, очевидно, площа кожної часткової ділянки S_i прямує до нуля.

Визначення: Якщо при прямуванні до нуля кроку розбивки області  інтегральні суми мають скінченну границю, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції f(x, y) по області .

З врахуванням того, що S_i = x_i  y_i одержуємо:

У наведенім вище записі є два знаки , тому що підсумовування виробляється по двох змінним х і y.

Оскільки ділення області інтегрування довільне, також довільний і вибір точок Р_i, то, вважаючи всі площі S_i однаковими, одержуємо формулу:

Умови існування подвійного інтеграла.

Сформулюємо достатні умови існування подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , то подвійний інтеграл існує.

Теорема. Якщо функція f(x, y) обмежена в замкнутій області  і неперервна в ній усюди, крім кінцевого числа кусково-гладких ліній, то подвійний інтеграл існує.

Властивості подвійного інтеграла.

1)

2)

3) Якщо  = ₁ + ₂, то

4) Теорема про середнє. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) дорівнює добутку значення цієї функції в деякій точці області інтегрування на площу області інтегрування.

5) Якщо в області , то .

6) Якщо , то .

7) .

Обчислення подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , обмеженої лініями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), де  і  – неперервні функції і , тоді

y y = (x)



y = (x)

a b x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область  обмежена лініями: y = 0, y = x², x = 2.

y

4



0 2 x

=

=

Теорема. Якщо функція f(x, y) неперервна в замкнутій області , обмеженої лініями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) (), то

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область  обмежена лініями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

y

y = x

2



1

0 x

Приклад. Обчислити інтеграл , якщо область інтегрування  обмежена лініями х = 0, х = y², y = 2.

=

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо область інтегрування обмежена лініями ху=1, y = , х = 2.

1. 

2.

3.