Подання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора.

Застосування формули Тейлора для розкладу функцій у степеневий ряд широко використовується й має величезне значення при проведенні різних математичних розрахунків. Безпосереднє обчислення інтегралів деяких функцій може бути сполучене зі значними труднощами, а заміна функції степеневим рядом дозволяє значно спростити задачу. Знаходження значень тригонометричних, зворотних тригонометричних, логарифмічних функцій також може бути зведене до знаходження значень відповідних багаточленів.

Якщо при розкладі в ряд взяти достатню кількість доданків, то значення функції може бути знайдене з будь-якою наперед заданою точністю. Практично можна сказати, що для знаходження значення будь-якої функції з достатнім ступенем точності (передбачається, що точність, що перевищує 10–20 знаків після десяткової точки, необхідна дуже рідко) досить 4–10 членів розкладу в ряд.

Застосування принципу розкладу в ряд дозволяє робити обчислення на ЕОМ у режимі реального часу, що варте уваги при розв’язанні конкретних технічних задач.

Функція f(x) = e^x.

Знаходимо: f(x) = e^x, f(0) = 1

f(x) = e^x, f(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

Тоді:

Приклад: Знайдемо значення числа е.

В отриманій вище формулі покладемо х = 1.

Для 8 членів розкладу: e = 2,71827876984127003

Для 10 членів розкладу: e = 2,71828180114638451

Для 100 членів розкладу: e = 2,71828182845904553

На графіку показані значення числа е з точністю залежно від числа членів розкладу в ряд Тейлора.

Як видно, для досягнення точності, достатньої для розв’язання більшості практичних задач, можна обмежитися 6–7-ю членами ряду.

Функція f(x) = sin x.

Одержуємо f(x) = sin x; f(0) = 0

f '(x) = cos x = sin ( x + /2); f '(0) = 1;

f ''(x) = – sin x = sin ( x + 2(/2); f ''(0) = 0;

f '''(x) = – cos x = sin ( x + 3(/2); f '''(0)= – 1;

…………………………………………

f ⁽ⁿ⁾(x) = sin (x + n/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin (n/2);

f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin (x + (n + 1)/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾() = sin ( + (n + 1)/2);

Отже:

Функція f(x) = cos x.

Для функції cos x, застосувавши аналогічні перетворення, одержимо:

Функція f(x) = (1 + x)^.

( – дійсне число)

…………………………………………………......

Тоді:

Якщо в отриманій формулі прийняти  = n, де n – натуральне число й f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, то R_n+1 = 0, тоді

Вийшла формула, відома як біном Ньютона.

Приклад: Застосувати отриману формулу для знаходження синуса будь-якого кута з будь-яким ступенем точності.

На наведених нижче графіках представлене порівняння точного значення функції й значення розкладу в ряд Тейлора при різній кількості членів розкладу.

Рис. 1. Два члени розкладу

Рис. 2. Чотири члени розкладу

Рис. 3. Шість членів розкладу

Рис. 4. Десять членів розкладу

Щоб одержати найбільш точне значення функції при найменшій кількості членів розкладу треба у формулі Тейлора як параметр а вибрати таке число, що досить близько до значення х, і значення функції від цього числа легко обчислюється.

Для приклада обчислимо значення sin20⁰.

Попередньо переведемо кут 20⁰ у радіани: 20⁰ = /9.

Застосуємо розклад в ряд Тейлора, обмежившись трьома першими членами розкладу:

У чотиризначних таблицях Брадіса для синуса цього кута зазначене значення 0,3420.

На графіку показана зміна значень розкладу в ряд Тейлора залежно від кількості членів розкладу. Як видно, якщо обмежитися трьома членами розкладу, то досягається точність до 0,0002.

Вище говорилося, що при функція sin x є нескінченно малою й може при обчисленні бути замінена на еквівалентну їй нескінченно малу функцію х. Тепер видно, що при х, близьких до нуля, можна практично без втрати в точності обмежитися першим членом розкладу, тобто .

Приклад: Обчислити sin28⁰1315.

Для того, щоб представити заданий кут у радіанах, скористаємося співвідношеннями:

1⁰ = ; 28⁰ ;

1; ;

; ;

радіан

Якщо при розкладанні за формулою Тейлора обмежитися трьома першими членами, одержимо: sin x = .

Порівнюючи отриманий результат з точним значенням синуса цього кута,

sin = 0,472869017612759812,

бачимо, що навіть при обмеженні всього трьома членами розкладу, точність склала 0,000002, що цілком достатньо для більшості практичних технічних задач.

Функція f(x) = ln(1 + x).

Одержуємо: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f(x) = ;

………………………………………

Разом:

Отримана формула дозволяє знаходити значення будь-яких логарифмів (не тільки натуральних) з будь-яким ступенем точності. Нижче представлений приклад обчислення натурального логарифма ln 1,5. Спочатку отримане точне значення, потім – розрахунок по отриманій вище формулі, обмежившись п'ятьма членами розкладу. Точність досягає 0,0003.

ln 1,5 = 0,405465108108164381

Розклад різних функцій за формулами Тейлора й Маклорена наводиться в спеціальних таблицях, однак, формула Тейлора настільки зручна, що для переважної більшості функцій розклад може бути легко знайдене безпосередньо.

Нижче будуть розглянуті різні застосування формули Тейлора не тільки до наближених подань функцій, але й до розв’язку диференціальних рівнянь і до обчислення інтегралів.