Інтеграли виду .

Існує кілька способів інтегрування такого роду функцій. Залежно від виду виразу, що стоїть під знаком радикала, переважно застосовувати той або інший спосіб.

Як відомо, квадратний тричлен шляхом виділення повного квадрата може бути зведений до виду:

Таким чином, інтеграл приводиться до одного з трьох типів:

1. 

2. 

3. 

1 Спосіб. Тригонометрична підстановка.

Теорема: Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад:

Теорема: Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sint і cost.

Приклад:

Теорема: Інтеграл виду підстановкою або зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно sin t або cos t.

Приклад:

2 Спосіб. Підстановки Ейлера. (1707–1783)

1. Якщо а > 0, то інтеграл виду раціоналізується підстановкою

.

2. Якщо a < 0 і c > 0, то інтеграл виду раціоналізується підстановкою .

3. Якщо a<0 , а підкореневе вираз розкладається на дійсні множники a(x – x₁)(x – x₂), то інтеграл виду раціоналізується підстановкою .

Відзначимо, що підстановки Ейлера незручні для практичного використання, оскільки навіть при нескладних підінтегральних функціях приводять до досить громіздких обчислень. Ці підстановки представляють скоріше теоретичний інтерес.

3 Спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Розглянемо інтеграли наступних трьох типів:

де P(x) – багаточлен, n – натуральне число.

Причому інтеграли II і III типів можуть бути легко наведені до виду інтеграла I типу.

Далі робиться наступне перетворення:

у цьому виразі Q(x) – деякий багаточлен, степінь якого нижче ступеня багаточлена P(x), а  – деяка стала величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів багаточлена Q(x), степінь якого нижче степеня багаточлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу, потім множать на й, порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, визначають  і коефіцієнти багаточлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо степінь багаточлена Р(х) більше одиниці. У противному випадку можна успішно використати методи інтегрування раціональних дробів, розглянуті вище, тому що лінійна функція є похідною підкореневого виразу.

Приклад.

.

Тепер продиференціюємо отриманий вираз, помножимо на й згрупуємо коефіцієнти при однакових ступенях х.

=

=

Разом =

=

Приклад.

Приклад.

Інший спосіб розв’язання того ж приклада.

З врахуванням того, що функції arcsin і arccos зв'язані співвідношенням , а стала інтегрування C – довільне число, відповіді, отримані різними методами, збігаються.

Як видно, при інтегруванні ірраціональних функцій можливо застосовувати різні розглянуті вище прийоми. Вибір методу інтегрування обумовлюється в основному найбільшою зручністю, очевидністю застосування того або іншого методу, а також складністю обчислень і перетворень.

Приклад.