Інтеграл виду , якщо функція r є непарною відносно cos X.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sin x.

Функція може містити cos x тільки в парних ступенях, а отже, може бути перетворена в раціональну функцію відносно sin x.

Приклад.

Загалом кажучи, для застосування цього методу необхідна тільки непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію може бути кожний, як цілої, так і дробової.

Інтеграл виду , якщо

функція R є непарною відносно sin x.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cos x.

Тоді

Приклад.

Інтеграл виду

функція R парна відносно sin x і cos x.

Для перетворення функції R у раціональну використається підстановка t = tgx.

Тоді

Приклад.

Інтеграл добутку синусів і косинусів

різних аргументів.

Залежно від типу добутку застосуються одна із трьох формул:

Приклад.

Приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використати загальновідомі тригонометричні формули для зниження порядку функцій.

Приклад.

Приклад.

Іноді застосовуються деякі нестандартні прийоми.

Приклад.

Отже

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Далеко не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, що дозволить перетворити функцію в раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функцій.

Інтеграл виду де n – натуральне число.

За допомогою підстановки функція раціоналізується.

Тоді

Приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то в якості нової змінної раціонально взяти корінь ступеня, рівного найменшому спільному кратному ступенів корінь, що входять у вираз.

Проілюструємо це на прикладі.

Приклад.

Інтегрування біноміальних диференціалів.

Визначення: Біноміальним диференціалом називається вираз

x^m(a + bxⁿ)^pdx

де m, n, і p – раціональні числа.

Як було доведено академіком Чебишевим П.Л. (1821–1894), інтеграл від біноміального диференціала може бути виражений через елементарні функції тільки в наступних трьох випадках:

1. Якщо р – ціле число, то інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки

, де  – спільний знаменник m і n.

2. Якщо – ціле число, то інтеграл раціоналізується підстановкою , де s – знаменник числа р.

3) Якщо – ціле число, то використовується підстановка , де s – знаменник числа р.

Однак, найбільше практичне значення мають інтеграли від функцій, раціональних щодо аргументу й квадратного кореня із квадратного тричлена.

На розгляді цих інтегралів зупинимося більш докладно.