Лекція 10
Моделювання лінійних фізичних процесів та об’єктів
Загальні питання моделювання лінійних та нелінійних фізичних процесів та об’єктів. Математичне моделювання лінійних систем. Моделювання лінійних осциляторів.
10. Загальні питання моделювання лінійних і нелінійних фізичних
процесів і об'єктів.
Важливою з точки зору подальшого аналізу властивістю є її лінійність. У лінійній математичній моделі ТЕ його параметри зв'язані лінійними співвідношеннями. Це означає, що при зміні якого-небудь зовнішнього (або внутрішнього) параметра ТЕ лінійна ММ передбачає лінійну зміну залежного від нього вихідного параметра, а при зміні два або більш за параметри — складання їх впливів тобто така ММ володіє властивістю суперпозиції (від латинського слова superpositio — накладення). Якщо ММ не володіє властивістю суперпозиції, то її називають нелінійною.
Для кількісного аналізу лінійних ММ розроблено велике число математичних методів, тоді як можливості аналізу нелінійних ММ пов'язані в основному з методами обчислювальної математики [1, 2]. Аби для дослідження нелінійною ММ ТЕ можна було використовувати аналітичні методи її зазвичай лінеаризують, тобто нелінійні співвідношення між параметрами замінюють наближеними лінійними і отримують так звану лінеаризовану математичну модель того, що розглядається ТЕ. Оскільки лінеаризація пов'язана з внесенням додаткових погрішностей, то до результатів аналізу лінеаризованої моделі слід відноситися з певною обережністю. Річ у тому, що лінеаризація ММ може привести до втрати або істотного спотворення реальних властивостей ТЕ. Облік в ММ нелінійних ефектів особливо важливий, наприклад, при описі зміни форм руху або положень рівноваги ТЕ, коли малі зміни вхідних параметрів можуть викликати якісні зміни в його стані.
10.1. Моделювання лінійних систем.
Моделювання лінійних систем застосовується головним чином по чотирьох причинах, а саме:
Фізичні системи і їх моделі часто бувають лінійними, принаймні, в певних межах.
Точні вирішення лінійних систем рівнянь можуть бути легко знайдені.
3. Існують спеціальні високоточні методи моделювання лінійних систем.
4. За допомогою лінійних систем можна оцінити спотворення в нелінійних системах.
Аналітичні методи вирішення нелінійних систем існують швидше як виняток, ніж як правило. Навіть при нагоді знаходження точних рішень необхідні наближені методи. Певні методи апроксимації часто належать до методів оцінки конкретного варіанту і вимагають детального розгляду, аби уникнути узагальнень.
На початку даної лекції звернемо увагу на лінійні системи, оскільки їх математичні моделі мають великі можливості для аналітичного опису, чим математичні моделі нелінійних систем.
Допустимо, збурююча функція f1(t), що змінюється у времени, викличе реакцію r(t) і друга збурююча функція f2(t) викличе реакцію r2(t).
Тоді можна записати
;
.
Для лінійної системи
. (10.1)
Рівняння (10.1) описує принцип суперпозиції: суперпозиція індивідуальних збурюючих дій наводить до реакції, яка є суперпозицією індивідуальних реакцій.
Характерною властивістю лінійної системи є допустимість принципу суперпозиції.
Наслідком принципу суперпозиції є:
1. Відсутність якої-небудь збурюючої дії, впливового на
інші збурюючі дії.
2. Відсутність пересічних реакцій, викликаних різними
збурюючими діями.
3. Поєднання збурюючих дій може бути виявлене по поєднанню реакцій визначенням залежності кожної збурюючої дії від реакції і подальшого об'єднання або накладення реакцій для визначення сумарної реакції системи на сумарну збурюючу дію.
Іншим висновком, який виходить з принципу суперпозиції, є те, що якщо на лінійну систему діє п однакових збурюючих впливів, то реакція від такої дії визначиться як п однакових реакцій, кожна з яких є реакцією системи на одну збурюючу дію, тобто
. (10.2)
З (10.2) видно, що лінійні системи зберігають масштабний чинник збурюючої дії при переході від входу до виходу системи. Це властивість лінійних систем називають принципом однорідності.
Якщо співвідношення (10.1) і (10.2) справедливі для лінійних систем, то це не означає, що виконання одне або іншого умови досить для визначення властивостей лінійної системи.
Система лінійна тоді і лише тоді, коли задовольняються як (10.1), так і (10.2).
Крім того, лінійна стаціонарна система характеризується її реакцією на періодичну збурюючу дію.
Якщо періодична збурююча дія має частоту F, то стаціонарна лінійна система відповість на нього періодичною реакцією з частотою F.
Коротше кажучи, реакція стаціонарної лінійної системи володіє тими ж спектральними компонентами, що і збурюючі дії.
Вважають, що лінійна система має бути стаціонарна, якщо
, (10.3)
де Т — довільний час запізнювання.
Лінійні системи — це такі системи, динаміка яких моделюється лінійними рівняннями.
Це можуть бути лінійні рівняння алгебри, лінійні диференціальні рівняння, лінійні різницеві рівняння або їх комбінації.
Розглянемо диференціальне рівняння
, (10.4)
де t — незалежна змінна f(t) - функція збурюючої дії і — реакція.
Коефіцієнти і — система параметрів. Коефіцієнти можуть змінюватися або не змінюватися від часу, вони, як правило, повністю визначаються кількістю і типом елементів в системі.
Рівняння (10.4) — просте диференціальне рівняння другого порядку. Крім того, рівняння (10.4) є лінійним рівнянням по наступних причинах:
ні змінна , ні які-небудь її похідні не містять ступні більше першого;
жоден з його членів не містить добутків два або більшого числа одних і тих же залежних змінних або добутків залежної змінної на яку-небудь похідну.
Допускаючи принцип суперпозиції, ми приходимо до наступного:
;
Складаючи ці рівняння, переконуємося, що принцип суперпозиції виконується:
.
Надалі ми побачимо, що принцип суперпозиції вірний для будь-яких стаціонарних і нестаціонарних процесів.
Будь-яке звичайне диференціальне рівняння -го порядку можна записати як
(10.5)
де коефіцієнти і збурююча дія наведені як функції незалежної змінної t. Говорять, що це рівняння однорідне, якщо збурююча дія дорівнює нулю, і неоднорідне, якщо збурююча дія відмінна від нуля. Можна записати (10.5) у формі
, (10.6)
якщо позначимо
(10.7)
де L є оператором залежної змінної .
Використовуючи (10.6), можна сформулювати наступні основні властивості лінійних диференціальних рівнянь.
1. Множення залежної змінної на постійний множник рівносильно множенню оператора на ту ж саму константу :
. (10.8)
Якщо L(r) = 0 (випадок однорідного рівняння), то
L(Kr)= 0. (10.9)
З цього виходить, що r(t), що є розв’язком однорідного рівняння
L(r)= 0, служить також вирішенням випадку Kr(t).
2. Заміна на де і лінійно незалежні, призводить до суми двох лінійних операторів, один від , інший від .
У зв'язку з цим зрозуміло, що
(10.10)
і
= 0 лише при . (10. 11)
Співвідношення (10.10) і (10.11) стверджують, що якщо и є вирішеннями однорідного рівняння L(r)= 0, то тоді і є також його рішенням.
З властивостей 1 і 2 видно також, що якщо — лінійні незалежні вирішення однорідного лінійного диференційного рівняння, то
L(r) = 0, також і для їх лінійних комбінацій , коли с — незалежні константи.
3. Рішення з п незалежними константами є загальним вирішенням однорідного диференційного рівняння за умови, що п частинних рішень лінійно незалежні. І, навпаки, рішення мають бути лінійно незалежними, якщо жодне з них не може бути виражене через лінійні комбінації інших.
Загальне вирішення однорідного рівняння часто називають додатковою функцією.
4. Якщо rч — частинне рішення неоднорідного рівняння при L(rч) , то сума цього частинного рішення і додаткової функції є повним вирішенням неоднорідного лінійного диференціального рівняння.
Взагалі, будь-яке рішення (10.4) може бути записане як комбінація додаткової функції і частинного рішення (інколи називається приватним інтегралом):
r(t) = rД (t) + rч(t). (10.12)
Можна відмітити, що якщо - рішення (10.4) і - частинне рішення (10.4), то
.
Звідси є вирішенням однорідного рівняння, яке через властивості довільної постійної с може бути записано наступним чином
Перенісши частинне рішення цього рівняння управо, отримаємо бажане рішення.
5. Для знаходження чисельних значень п констант потребує знання п значень вирішення рівняння і його похідної. Невідомі коефіцієнти визначають вирішенням системи рівнянь при підстановці чисельних значень реакцій і їх похідних.
Відмітимо, що їх значення можна вибирати у відомі, не обов’язково однакові моменти часу.