Похідні й диференціали функцій декількох змінних.

Визначення. Нехай у деякій області задана функція z = f (x, y). Візьмемо довільну точку М(х, у) і задамо приріст х до змінної х. Тоді величина _xz = f (x + x, y) – f(x, y) називається частинним приростом функції по х.

Можна записати

.

Тоді називається частинною похідною функції z = f(x, y) по х.

Позначення:

Аналогічно визначається частинна похідна функції по y.

Геометричним змістом частинної похідної (наприклад ) є тангенс кута нахилу дотичної, проведеної в точці N₀(x₀, y₀, z₀) до перетину поверхні площиною y = y₀.

Повний приріст і повний диференціал.

Визначення. Для функції f(x, y) вираз z = f( x + x, y + y) – f(x, y) називається повним приростом.

Якщо функція f(x, y) має неперервні частинні похідні, то

Застосуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа.) до виразів, що стоять у квадратних дужках.

тут

Тоді одержуємо

Оскільки частинні похідні неперервні, то можна записати рівності:

Визначення. Вираз називається повним приростом функції f(x, y) у деякій точці (х, у), де ₁ і ₂ – нескінченно малі функції при х  0 і y  0 відповідно.

Визначення: Повним диференціалом функції z = f(x, y) називається головна лінійна відносно х і у частина приросту функції z у точці (х, у).

Для функції довільного числа змінних:

Приклад. Знайти повний диференціал функції .

Приклад. Знайти повний диференціал функції

Геометричний зміст повного диференціала. Дотична площина й нормаль до поверхні.

нормаль

N

 N₀

дотична площина

Нехай N і N₀ – точки даної поверхні. Проведемо пряму NN₀. Площина, що проходить через точку N₀, називається дотичною площиною до поверхні, якщо кут між січної NN₀ і цією площиною прямує до нуля, коли прямує до нуля відстань NN₀.

Визначення. Нормаллю до поверхні в точці N₀ називається пряма, що проходить через точку N₀ перпендикулярно дотичній площини до цієї поверхні.

У будь-якій точці поверхня має або тільки одну дотичну площину, або не має її зовсім.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, диференційована в точці М₀(х₀, y₀), дотична площина в точці N₀(x₀,y₀) існує й має рівняння:

.

Рівняння нормалі до поверхні в цій точці:

Геометричним змістом повного диференціала функції двох змінних f(x, y) у точці (х₀, y₀) є приріст аплікати (координати z) дотичної площини до поверхні при переході від точки (х₀, y₀) до точки (х₀+х, y₀+у).

Як видно, геометричний зміст повного диференціала функції двох змінних є просторовим аналогом геометричного змісту диференціала функції однієї змінної.

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні

у точці М(1, 1, 1).

Рівняння дотичної площини:

Рівняння нормалі: