Інтегральне числення. Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцією функції f(x) на відрізку [a, b], якщо в будь-якій точці цього відрізка вірна рівність:

F(x) = f(x).

Треба відзначити, що первісних для однієї й тієї ж функції може бути нескінченно багато. Вони будуть відрізнятися друг від друга на деяке постійне число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Невизначений інтеграл.

Визначення: Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

F(x) + C.

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на деякому відрізку є неперервність функції на цьому відрізку.

Властивості:

1.

2.

3.

4. де u, v, w – деякі функції від х.

6. 

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язано головним чином зі знаходженням первісної функції. Для деяких функцій це досить складна задача. Нижче будуть розглянуті способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показникових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані в спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді досить об'ємними. У них включені різні найрозповсюдженніші комбінації функцій. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками одна одної, тому нижче приведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна одержати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Інтеграл		Значення	Інтеграл		Значення
1		– lncosx+C	9		ex + C
2		lnsinx+ C	10		sinx + C
3			11		– cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		– ctg x + C
6		ln	14		+ C
7			15
8			16

Методи інтегрування.

Розглянемо три основних методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первісної функції з подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Взагалі, відмітимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього методу на прикладі:

Потрібно знайти значення інтеграла . На основі відомої формули диференціювання можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює , де C – деяке стале число. Однак, з іншого боку . Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Відмітимо, що на відміну від диференціювання, де для знаходження похідної використалися чіткі прийоми й методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, приводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться в основному опиратися на знання таблиць похідних і первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких досить обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна з ходу знайти первісну дуже мало. Тому в більшості випадків застосовуються способи, описані нижче.