Кілька прикладів інтегралів, що не виражаються через елементарні функції.

До таких інтегралів ставиться інтеграл виду , де Р(х) – багаточлен ступеня вище другого. Ці інтеграли називаються еліптичними.

Якщо степінь багаточлена Р(х) вище четвертого, то інтеграл називається гіпереліптичним.

Якщо все-таки інтеграл такого виду виражається через елементарні функції, то він називається псевдоеліптичним.

Не можуть бути виражені через елементарні функції наступні інтеграли:

1. – інтеграл Пуассона (Сімеон Дені Пуассон – французький математик (1781–1840))

2. – інтеграли Френеля (Жан Огюстен Френель – французький вчений (1788–1827) – теорія хвильової оптики та ін.)

3. – інтегральний логарифм

4. – приводиться до інтегрального логарифма

5. – інтегральний синус

6. – інтегральний косинус

Визначений інтеграл.

Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x).

y

M

m

O a x_i b x

Позначимо m і M найменше й найбільше значення функції на відрізку [a, b]. Розіб'ємо відрізок [a, b] на частини (необов'язково однакові) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тоді x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, … ,x_n – x_n–1 = x_n;

На кожному з отриманих відрізків знайдемо найменше й найбільше значення функції.

[x₀, x₁]  m₁, M₁; [x₁, x₂]  m₂, M₂; … [x_n–1, x_n]  m_n, M_n...

Складемо суми:

_n = m₁x₁ + m₂x₂ + … +m_nx_n =

_n = M₁x₁ + M₂x₂ + … + M_nx_n =

Сума називається нижньою інтегральною сумою, а сума – верхньою інтегральною сумою.

Оскільки , то , а .

Усередині кожного відрізка виберемо деяку точку _i.

x₀ < ₁ < x₁, x₁ <  < x₂, … , x_n–1 <  < x_n...

Знайдемо значення функції в цих точках і складемо вираз, що називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [a, b].

S_n = f(₁)x₁ + f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n =

Тоді можна записати:

Отже,

Геометрично це представляється в такий спосіб: графік функції f(x) обмежений зверху описаною ламаною лінією, а знизу – вписаною ламаною.

Позначимо max x_i – найбільший відрізок розбивки, а min x_i – найменший. Якщо max x_i 0, то число відрізків розбивки відрізка [a, b] прямує до нескінченності.

Якщо , то

Визначення: Якщо при будь-яких розбивках відрізка [a, b] таких, що max x_i0 і довільному виборі точок _i інтегральна сума прямує до границі S, що називається визначеним інтегралом від f (x) на відрізку [a, b].

Позначення :

а – нижня границя, b – верхня границя, х – змінна інтегрування, [a, b] – відрізок інтегрування.

Визначення: Якщо для функції f (x) існує границя то функція називається інтегрованою на відрізку [a, b].

Також вірні твердження:

Теорема: Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.