Заміна змінних.
Нехай
заданий інтеграл
,
де f(x)
– неперервна функція на відрізку [a,
b].
Введемо нову змінну відповідно до формули x = (t).
Тоді якщо
1) () = а, () = b
2) (t) і (t) неперервні на відрізку [, ]
3) f ((t)) визначена на відрізку [, ], то
Тоді
Приклад.
При заміні змінної в визначеному інтегралі слід пам'ятати про те, що вводять функцію, що (у розглянутому прикладі це функція sin) повинна бути неперервна на відрізку інтегрування. У противному випадку формальне застосування формули приводить до абсурду.
Приклад.
,
з іншого боку, якщо застосувати
тригонометричну підстановку,
Тобто два способи знаходження інтеграла дають різні результати. Це відбулося через те, що не був врахований той факт, що уведена змінна tg x має на відрізку інтегрування розрив (у точці х = /2). Тому в цьому випадку така підстановка незастосовна. При заміні змінної в визначеному інтегралі слід уважно стежити за виконанням перерахованих вище умов.
Інтегрування частинами.
Якщо функції u = (x) та v = (x) неперервні на відрізку [a, b], а також неперервні на цьому відрізку їхні похідні, то справедлива формула інтегрування частинами:
Висновок цієї формули абсолютно аналогічний висновку формули інтегрування частинами для невизначеного інтеграла, що був досить докладно розглянутий вище, тому тут приводити його нема рації.
Наближене обчислення визначеного інтеграла.
Як було сказано вище, існує величезна кількість функцій, інтеграл від яких не може бути виражений через елементарні функції. Для знаходження інтегралів від подібних функцій застосовуються різноманітні наближені методи, суть яких полягає в тому, що підінтегральна функція заміняється “близькою” до неї функцією, інтеграл від якої виражається через елементарні функції.
Формула прямокутників.
Якщо відомі значення функції f(x) у деяких точках x0, x1, … , xm, то як функція “близьку” до f(x) можна взяти багаточлен Р(х) ступеня не вище m, значення якого в обраних точках дорівнюють значенням функції f(x) у цих точках.
Якщо
розбити відрізок інтегрування на n
рівних частин
.
При цьому:
y0 = f (x0), y1 = f (x1), … , yn = f(xn).
Складемо суми: y0x + y1x + … + yn–1x
y1x + y2x + … + ynx
Це відповідно нижня й верхня інтегральні суми. Перша відповідає вписаній ламаній, друга – описаній.
Тоді
або
– кожна із цих
формул може застосовуватися для
наближеного обчислення визначеного
інтеграла й називається загальною
формулою прямокутників.
Формула трапецій.
у
y1 y2 уn
a x1 x2 b x
Ця формула є більш точною в порівнянні з формулою прямокутників. Підінтегральна функція в цьому випадку заміняється на вписану ламану.
Геометрично площа криволінійної трапеції заміняється сумою площ вписаних трапецій. Очевидно, що чим більше взяти точок n розбивки інтервалу, тим з більшою точністю буде обчислений інтеграл.
Площі вписаних трапецій обчислюються за формулами:
Після приведення подібних доданків одержуємо формулу трапецій:
