Похідна за напрямком.

Розглянемо функцію u(x, y, z) у точці М( x, y, z) і точці М₁(x + x, y + y, z + z).

Проведемо через точки М та М₁ вектор . Кути нахилу цього вектора до напрямку координатних осей х, y, z позначимо відповідно , , . Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора .

Відстань між точками М та М₁ на векторі позначимо S.

Висловлені вище припущення, проілюструємо на малюнку:

z

M

M₁

y

x

Далі припустимо, що функція u(x, y, z) неперервна й має неперервні частинні похідні по змінним х, у і z. Тоді правомірно записати наступний вираз:

,

де величини ₁, ₂, ₃ – нескінченно малі при .

З геометричних міркувань очевидно:

Таким чином, наведені вище рівності можуть бути представлені в такий спосіб:

;

Відзначимо, що величина s є скалярною. Вона лише визначає напрямок вектора .

Із цього рівняння випливає таке визначення:

Визначення: Границя називається похідною функції u(x, y, z) за напрямком вектора в точці з координатами (x, y, z).

Пояснимо значення викладених вище рівностей на прикладі.

Приклад. Обчислити похідну функції z = x² + y²x у точці А(1, 2) за напрямком вектора . В (3, 0).

Розв’язання. Насамперед необхідно визначити координати вектора .

=(3 – 1; 0 – 2) = (2; – 2) = 2.

Далі визначаємо модуль цього вектора:

=

Знаходимо частинні похідні функції z у загальному вигляді:

Значення цих величин у точці А:

Для знаходження напрямних косинусів вектора робимо наступні перетворення:

=

За величину приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто визначальний напрямок диференціювання.

Звідси одержуємо значення напрямних косинусів вектора :

cos  = ; cos  = –

Остаточно одержуємо: – значення похідної заданої функції за напрямком вектора .

Градієнт.

Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u (x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні осі дорівнюють значенням функції u у відповідній точці

,

те цей вектор називається градієнтом функції u.

При цьому говорять, що в області D задане поле градієнтів.

Зв'язок градієнта з похідною за напрямком.

Теорема: Нехай задана функція u = u(x, y, z) і поле градієнтів

.

Тоді похідна за напрямком деякого вектора рівна проекції вектора grad u на вектор .

Доведення: Розглянемо одиничний вектор і деяку функцію u = u (x, y, z) і знайдемо скалярний добуток векторів і grad u.

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності є похідною функції u за напрямком s.

Тобто . Якщо кут між векторами grad u і позначити через , той скалярний добуток можна записати у вигляді добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. З врахуванням того, що вектор одиничний, тобто його модуль дорівнює одиниці, можна записати:

Вираз, що стоїть в правій частині цієї рівності і є проекцією вектора grad u на вектор .

Теорему доведено.

Для ілюстрації геометричного й фізичного змісту градієнта скажемо, що градієнт – вектор, що показує напрямок найшвидшої зміни деякого скалярного поля u у якійсь точці. У фізиці існують такі поняття як градієнт температури, градієнт тиску й т.п. Тобто напрямок градієнта є напрямком найбільш швидкого росту функції.

З погляду геометричного подання градієнт перпендикулярний поверхні рівня функції.