Обчислення довжини дуги кривої.

Y y = f(x)

S_i y_i

x_i

a b x

Довжина ламаної лінії, що відповідає дузі, може бути знайдена як .

Тоді довжина дуги дорівнює .

З геометричних міркувань:

У той же час

Тоді можна показати (див. Інтегрована функція.), що

Тобто

Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої функції (див. Похідна функції, заданої параметрично.), одержуємо

,

де х = (t) і у = (t).

Якщо задано просторову криву, і х = (t), y =  (t) і z = Z(t), то

Якщо крива задана в полярних координатах, то

,  = f ().

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x² + y² = r².

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну y.

Знайдемо похідну

Тоді

Тоді S = 2r. Одержали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то одержимо: r²cos² + r²sin² = r², тобто функція  = f () = r, тоді

Обчислення об'ємів тіл. Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перетинів.

Q(x_i–1)

Q(x_i)

a x_i–1 x_i b x

Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного переріза тіла Q, відома як неперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перерізами, що проходять через точки х_i розбивки відрізка [a, b]. Оскільки на будь-якому проміжному відрізку розбивки [x_i–1, x_i] функція Q(x) неперервна, то приймає на ньому найбільше й найменше значення. Позначимо їх відповідно M_i і m_i.

Якщо на цих найбільшому й найменшому перетинах побудувати циліндри з твірними, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні M_ix_i і m_ix_i тут x_i = x_i – x_i–1.

Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбивки, одержимо циліндри, об'єми яких рівні відповідно й .

При прямуванні до нуля кроку розбивки , ці суми мають спільну границю:

Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:

Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію Q(x), що досить проблематично для складних тіл.

Приклад: Знайти об'єм кулі радіуса R.

y

R y

– R O x R x

У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіуса y. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою .

Тоді функція площ перетинів має вигляд: Q(x) = .

Одержуємо об'єм кулі:

.

Приклад: Знайти об'єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

Q S

x H x

При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перетині одержуємо фігури, подібні до основи. Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х – відстань від площини перетину до вершини піраміди.

З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подоби у квадраті, тобто

Звідси одержуємо функцію площ перетинів:

Знаходимо об'єм піраміди: