Невласні інтеграли.

Нехай функція f(x) визначена й неперервна на інтервалі [a, ). Тоді вона неперервна на будь-якому відрізку [a, b].

Визначення: Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [a, ).

Позначення:

Якщо ця границя існує й скінченна, то говорять, що невласний інтеграл збігається.

Якщо границя не існує або нескінченна, то невласний інтеграл розбігається.

Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів виду:

Звичайно, ці твердження справедливі, якщо інтеграли, що до них входять, існують.

Приклад.

не існує.

Невласний інтеграл розбіжний.

Приклад.

– інтеграл розбіжний.

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова й інтеграл збігається, то теж збігається й .

Теорема: Якщо для всіх х () виконується умова й інтеграл розбігається, то теж розбігається.

Теорема: Якщо збігається, то збігається й інтеграл . У цьому випадку інтеграл називається абсолютно збіжним.

Інтеграл від розривної функції.

Якщо в точці x = с функція або невизначена, або розривна, то

Якщо інтеграл існує, то інтеграл – збігається, якщо інтеграл не існує, то – розбігається.

Якщо в точці х = а функція терпить розрив, то .

Якщо функція f (x) має розрив у точці b на проміжку [a, c], то

Таких точок всередині відрізку може бути кілька.

Якщо збігаються всі інтеграли, що входять у суму, то збігається й сумарний інтеграл.

Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур.

у

+ +

O a – b x

Відомо, що визначений інтеграл на відрізку являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче осі Ох, тобто f(x) < 0, то площа має знак “–“, якщо графік розташований вище осі Ох, тобто f(x) > 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула .

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою визначених інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x², x = 2.

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:

(од²)

Знаходження площі криволінійного сектора.

 = f ()





О 

Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд  = f (), де  – довжина радіус-вектора, що з'єднує полюс із довільною точкою кривої, а  – кут нахилу цього радіус-вектора до полярної осі.

Докладніше про полярну систему координат і її зв'язок з декартовою прямокутною системою координат див. Полярна система координат.

Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою