Геометричні й фізичні застосування кратних інтегралів.
1) Обчислення площ у декартових координатах.
y
y = (x)
S
y = f(x)
a b x
Площа S, показана на малюнку може бути обчислена за допомогою подвійного інтеграла за формулою:
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.
Побудуємо графіки заданих функцій:
Лінії
перетинаються у двох точках – (0, 2) і
(8, – 6). Таким чином, область інтегрування
обмежена по осі Ох
графіками кривих від
до х =
2 – y,
а по осі Oy
– від – 6 до 2. Тоді шукана площа дорівнює:
2) Обчислення площ у полярних координатах.
3) Обчислення об'ємів тіл.
Нехай тіло обмежене знизу площиною ху, а згори – поверхнею z = f(x,y), а з боків – циліндричною поверхнею.
Таке тіло називається циліндроїд.
z
z = f(x, y)
x1 y1 x2
x
y2
y
Приклад. Обчислити об'єм, обмежений поверхнями: x2 + y2 = 1; x + y + z =3 і площиною xOy.
Межі
інтегрування: по осі Оx:
по осі Оy: x1 = – 1; x2 = 1;
4) Обчислення площі кривої поверхні.
Якщо поверхня задана рівнянням: f (x, y, z) = 0, то площа її поверхні знаходиться за формулою:
Якщо поверхня задана в неявному виді, тобто рівнянням z = (x, y), то площа цієї поверхні обчислюється за формулою:
5)Обчислення моментів інерції площ плоских фігур.
Нехай площа плоскої фігури (область ) обмежена лінією, рівняння якої f (x,y) = 0. Тоді моменти інерції цієї фігури перебувають за формулами:
– відносно
осі Ох:
– відносно
осі Оу:
– відносно
початку координат:
– цей момент інерції називають ще
полярним
моментом інерції.
6) Обчислення центрів ваги площ плоских фігур.
Координати центра ваги знаходяться за формулами:
тут w – поверхнева щільність (dm = wdydx -маса елемента площі).
7) Обчислення об'ємів тіл за допомогою потрійного інтеграла.
Якщо поверхня тіла описується рівнянням f (x, y, z) = 0, то об'єм тіла може бути знайдений за формулою:
при цьому z1 і z2 – функції від х і в або постійні, y1 і y2 – функції від х або сталі, х1 і х2 – постійні.
8) Координати центра ваги тіла.
9) Моменти інерції тіла щодо осей координат.
10) Моменти інерції тіла щодо координатних площин.
11) Момент інерції тіла відносно початку координат.
У наведених вище формулах п.п. 8 – 11 r – область обчислення інтеграла по об'єму, w – щільність тіла в точці (x, y, z), dv – елемент об'єму
-
у декартових координатах: dv = dxdydz;
-
у циліндричних координатах: dv = dzdd;
-
у сферичних координатах: dv = 2sinddd.
12) Обчислення маси неоднорідного тіла.
Тепер щільність w – величина змінна.
Зміст КВМ Частина 1.
Зміст КВМ Частина 3.
Зміст КВМ Частина 4.
Зміст:
Диференціальне числення функцій однієї змінної.
Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.
Рівняння дотичної і нормалі до кривої.
Однобічні похідні функції в точці.
Основні правила диференціювання.
Похідні основних функцій.
Похідна складної функції.
Логарифмічне диференціювання.
Похідна показниково-степеневої функції.
Похідна оберненої функції.
Диференціал функції.
Геометричний зміст диференціала.
Властивості диференціала.
Диференціал складної функції. Інваріантна форма запису.
Формула Тейлора.
Формула Лагранжа.
Формула Маклорена.
Представлення функцій за формулою Тейлора.
Біном Ньютона.
Застосування диференціала для наближених обчислень.
Теореми про середнє.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коші.
Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
Похідна і диференціали вищих порядків.
Правила знаходження похідних.
Дослідження функцій.
Зростання та спадання функцій.
Точки екстремуму.
Критичні точки.
Достатні умови існування екстремуму.
Дослідження функцій за допомогою похідних вищих порядків.
Опуклість і увігнутість кривої.
Точки перегину.
Асимптоти.
Схема дослідження функцій.
Векторна функція скалярного аргументу.
Рівняння дотичної до кривої.
Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
Рівняння нормальної площини.
Параметричне задання функції.
Коло.
Еліпс.
Циклоїда.
Астроїда.
Похідна функції, заданої параметрично.
Кривизна плоскої кривої.
Кут суміжності.
Середня кривизна.
Кривизна дуги в точці.
Радіус кривизни.
Центр і круг кривизні.
Еволюта і евольвента.
Властивості еволюти.
Кривизна просторової кривої.
Годограф.
Головна нормаль.
Вектор і радіус кривизни.
Формули Френе.
Дотична площина.
Бінормаль.
Кручення кривої.
Інтегральне числення.
Первісна функція.
Невизначений інтеграл.
Властивості невизначеного інтеграла.
Таблиця основних інтегралів.
Безпосереднє інтегрування.
Спосіб підстановки.
Інтегрування частинами.
Інтегрування елементарних дробів.
Рекурентна формула.
Інтегрування раціональних функцій.
Інтегрування раціональних дробів.
Метод невизначених коефіцієнтів.
Метод довільних значень.
Інтегрування тригонометричних функцій.
Універсальна тригонометрична підстановка.
Інтегрування ірраціональних функцій.
Біноміальні диференціали.
Тригонометрична підстановка.
Підстановки Ейлера.
Метод невизначених коефіцієнтів.
Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.
Еліптичні інтеграли.
Інтеграл Пуассона.
Інтеграл Френеля.
Інтегральний логарифм.
Інтегральний синус і косинус.
Визначений інтеграл.
Інтегральна сума.
Інтегрована функція.
Властивості визначеного інтеграла.
Теорема про середнє.
Узагальнена теорема про середнє.
Обчислення визначеного інтеграла.
Теорема Ньютона-Лейбніца.
Заміна змінних у визначеному інтегралі.
Інтегрування частинами.
Наближене обчислення визначеного інтеграла.
Формула прямокутників.
Формула трапецій.
Формула парабол (Сімпсона).
Невласні інтеграли.
Абсолютна збіжність інтеграла.
Інтеграл від розривної функції.
Знаходження площ плоских фігур.
Знаходження площі криволінійного сектора.
Обчислення довжини дуги кривої.
Обчислення об’ємів тіл за поперечними перерізами.
Обчислення об’ємів тіл обертання.
Площа поверхні тіла обертання.
Функції декількох змінних.
Границя.
Неперервність.
Найбільше і найменше значення.
Частинний приріст.
Частинна похідна.
Геометричний зміст частинних похідних.
Повний приріст і повний диференціал.
Дотична площина і нормаль до поверхні.
Наближені обчислення за допомогою повного диференціала.
Часткові похідні і диференціали вищих порядків.
Екстремум функції декількох змінних.
Необхідні умови екстремуму.
Достатні умови екстремуму.
Умовний екстремум.
Функція Лагранжа.
Похідна за напрямком.
Напрямні косинуси.
Градієнт.
Зв’язок градієнта з похідною за напрямком.
Кратні інтеграли.
Подвійні інтеграли.
Умови існування подвійного інтеграла.
Властивості подвійного інтеграла.
Обчислення подвійного інтеграла.
Заміна змінних в подвійному інтегралі.
Якобіан.
Подвійний інтеграл в полярних координатах.
Потрійний інтеграл.
Заміна змінних в потрійному інтегралі.
Циліндрична система координат.
Сферична система координат.
Геометричні і фізичні застосування кратних інтегралів.