Matanaliz

Вiнницький державний педагогiчний унiверситет iменi Михайла Коцюбинського

А. А. Томусяк, В. С. Трохименко

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛIЗ

посiбник для випускникiв фiзико-математичних факультетiв педагогiчних унiверситетiв та iнститутiв

Вiнниця, 1999

Змiст

11ЛЕКЦIЯ: Похiдна функцiї однiєї i багатьох змiнних 130

12ЛЕКЦIЯ: Похiдна функцiї комплексної змiнної.

17ЛЕКЦIЯ: Криволiнiйнi iнтеграли . . . . . . . . . . 230

18ЛЕКЦIЯ: Iнтеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . 245

19ЛЕКЦIЯ: Застосування iнтегрального числення до розв’язування задач геометрiї . . . . . . . . . . . . 264

20ЛЕКЦIЯ: Застосування iнтегрального числення до розв’язування задач фiзики . . . . . . . . . . . . . 282

3

21ЛЕКЦIЯ: Показникова функцiя дiйсної та комплексної змiнної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

22ЛЕКЦIЯ: Логарифмiчна функцiя дiйсної та комплексної змiнної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

23ЛЕКЦIЯ: Степенева функцiя дiйсної та комплексної змiнної . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

24ЛЕКЦIЯ: Тригонометричнi та оберненi тригонометричнi функцiї дiйсної та комплексної змiнної . . 347

25ЛЕКЦIЯ: Метричнi простори. Елементи аналiзу у

29ЛЕКЦIЯ: Диференцiальнi рiвняння першого порядку447

30ЛЕКЦIЯ: Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння вищого

4

Вступ

Математичний аналiз — частина математики, у якiй функцiя та її узагальнення вивчаються методом границь (методом нескiнченно малих). Його мiсце i роль у сучаснiй математицi може бути охарактеризовано так: „Математичний аналiз (у широкому розумiннi слова) i алгебра, переплiтаючись, утворили ту кореневу систему, на якiй тримається розгалужене дерево сучасної математики i через яку здiйснюється його життєдайний контакт з нематематичним свiтом“ [3, т. 1, с. 8].

Витоки математичного аналiзу iсторiя пов’язує з iменами великих грекiв Евдокса (бiля 408–355 до н.е.), Архiмеда (бiля 287–212 до н.е.) (перший створив метод вичерпування для обчислення площ плоских фiгур, другий цим методом знаходив не тiльки площi плоских фiгур, але й об’єми тiл, крiм того з допомогою дотичних розв’язував задачу вiдшукання екстремуму функцiї).

Майже 20 столiть цi методи були на озброєннi цивiлiзацiй рiзних часiв на теренi рiзних регiонiв. i тiльки на кiнець XVI i початка XVII столiття європейськi дослiдники зробили наступний крок в оновленнi елiнських методiв. iоган Кеплер (1571– 1670), Бонавентура Кавальєрi (1598–1647) створили метод неподiльних, Еванджелиста Торрiчеллi (1608–1647) — кiнематичний метод проведення дотичних, а П’єр Ферма (1601–1665) при визначеннi екстремальних значень функцiй f(x) вiдмовився вiд методу дотичних i запропонував чисто алгебраїчний метод, в основi якого рiвняння

f(x + h) − f(x)

h

= 0.

5

Звичайно цьому сприяло встановлення Рене Декартом (1596– 1650) зв’язку алгебри з геометрiєю кривих.

Зореносною для математичного аналiзу стала друга половина XVII столiття, коли два генiальнi ученi англiйський iсаак Ньютон (1642–1727) i нiмецький Готфрiд Лейбнiц (1646–1716) здiйснили епохальне вiдкриття, яке „навiть за нинiшних масштабiв розвитку науки постає як одна з найвидатнiших подiй в iсторiї науки взагалi i особливо математики“ [3, т. 1, с. 8]. Це було вiдкриття диференцiального та iнтегрального числення i встановлення зв’язку мiж ними.

Хоча Ньютон отримав бiльшiсть результатiв у 60–70 роках [6, с. 177], однак першою була публiкацiя Лейбнiца (1648 р.). У цiй роботi викладенi основи диференцiального числення, вводиться символiка (dx, dy), яка збереглася донинi. У 1686 р. виходить у свiт друга робота Лейбнiца, у якiй викладено основи

R iнтегрального числення, зокрема введено символ .

Вiдкритi новi методи були застосованi до аналiзу змiнних величин, якi вводились або засобами геометрiї, або аналiтичними (складеними з певних символiв) виразами, або як абстракцiї рiзних видiв неперервного механiчного руху (Ньютон). Необхiдно було унiфiкувати тi об’єкти, до яких можна було застосовувати новi операцiї. Таким узагальнюючим поняттям стало поняття функцiї.

Термiн „функцiя“ вперше з’явився у 1692 роцi у Лейбнiца, як вираження залежностi довжини вiдрiзкiв, пов’язаних з кривою, вiд положення точки на кривiй, а в 1718 р. iоган Бернуллi (1667– 1748) запропонував пiд функцiєю розумiти просто аналiтичний вираз. i уже великий будiвничий математичного аналiзу Леонард Ейлер (1707–1783) у своєму восьмитомному курсi аналiзу [6, с. 199] констатує, що „аналiз нескiнченно малих обертається навколо змiнних величин i їх функцiй“. Таким чином основний об’єкт математичного аналiзу чiтко визначився ще у XVIII ст.

Щодо методiв дослiдження функцiй прерогатива була за ди-

6

ференцiюванням (вивчення властивостей функцiї за допомогою розкладу у степеневий ряд) та iнтегруванням (вiдшукання первiсних).

Разом з тим не тiльки теоретичнi дослiдження, але й розв’я- зання практичних задач вимагали бiльш точних методiв i у першу чергу вимагали вияснення сутностi нескiнченно малої, пояснення правомiрностi використовуваних методiв.

i знову вихiд було знайдено через осмислення способу дiяння древнiх грекiв, а саме через усвiдомлення того, що тi граничнi переходи, якi проводились в окремих задачах, можуть слугувати для побудови теорiї границь.

Перша спроба була зроблена ще Ньютоном (вiн же ввiв спецiальний термiн „limes“). Не обiйшов цiєї важливої проблеми i Ейлер. Однак цi намагання не сприймались математиками XVIII столiття у першу чергу iз-за вiдсутностi алгоритму обчислення границь. i тiльки пiсля того як Огюстен-Луї Кошi (1789–1857) запропонував свiй ε–δ iнструментарiй i побудував з допомогою нього курс математичного аналiзу, головним методом аналiзу було визнано граничний перехiд.

Завершив систему логiчного обгрунтування математичного аналiзу Карл Вейєрштрасс (1815–1897), пiдвiвши пiд нього фундамент у виглядi строгої теорiї дiсного числа.

Паралельно з теорiєю числових функцiй розвивалась теорiя функцiй комплексної змiнної, функцiй багатьох змiнних та їх узагальнення. А найбiльш великим здобутком аналiзу XX столiття була побудова функцiонального аналiзу, основною метою якого є вивчення функцiй (операторiв), у яких хоча б одна змiнна приймає значення з нескiнченно вимiрного простору. Найвищий рiвень абстракцiї досягнуто в аналiзi функцiй, визначених на так званих топологiчних просторах.

Пiдсумовуючи ще раз наголосимо, що основним об’єктом математичного аналiзу (аналiзу функцiй) є функцiя, а основним методом її дослiдження є метод граничного переходу.

7

Глобальними задачами теорiї функцiй є: їх конструювання, знаходження значення функцiї для вiдповiдного значення аргумента, обернена задача (знаходження значення аргумента за значенням функцiї), вивчення властивостей функцiї, заданої самими рiзними способами, знаходження функцiї за її властивостями i, нарештi, використання методiв математичного аналiзу для розв’язування задач з iнших роздiлiв математики i прикладних задач.

8

1ЛЕКЦIЯ: Множина дiйсних чисел

Аксiоматика множини дiйсних чисел. Властивiсть неперервностi множини дiйсних чисел. Поняття верньої i нижньої граней числової множини, їх iснування i властивостi.

Лiтература. [3], т.1, с.11–26; [2], ч.1, с.44–82; Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М.: Наука, 1979. С. 35–60.

З формального погляду множина дiйсних чисел означається як математична структура (R, 0, 1, 6, +, ·) з базисною множиною R, видiленими елементами 0, 1, вiдношенням порядку 6, алгебраїчними операцiями +, ·, яка задовольняє такi властивостi (аксiоми).

I. Аксiоми порядку:

1◦ ( x R)(x 6 x);

2◦ ( x, y R)(x 6 y y 6 x = x = y); 3◦ ( x, y, z R)(x 6 y y 6 z = x 6 z); 4◦ ( x, y R)(x 6 y y 6 x).

II. Аксiоми додавання:

1◦ ( x, y R)(x + y = y + x);

2◦ ( x, y, z R)(x + (y + z) = (x + y) + z); 3◦ ( x R)(x + 0 = x);

4◦ ( x R)( − x R)(x + (−x) = 0).

III. Аксiоми множення:

1◦ ( x, y R)(x · y = y · x);

2◦ ( x, y, z R)(x · (y · z) = (x · y) · z); 3◦ ( x R)(x · 1 = x);

4◦ ( x R \ {0})( x−1 R)(x · x−1 = 1).

9

IV. Аксiома зв’язку додавання i множення:

( x, y, z R)((x + y) · z = x · z + y · z).

V. Аксiоми зв’язку додавання i порядку, множення i порядку:

1◦ ( x, y, z R)(x 6 y = x + z 6 y + z);

2◦ ( x, y, z R)(x 6 y 0 6 z = x · z 6 y · z).

V. Аксiома неперервностi:

( X, Y 2R)(X 6= Y 6= ( x X)( y Y )(x 6 y)) =

= ( z R)( x X)( y Y )(x 6 z 6 y).

Будь-яку множину, яка задовольняє перелiченi властивостi, називають множиною дiйсних чисел, а елементи — дiйсними числами.

Перша група аксiом характеризує множину R як лiнiйно впорядковану множину, вiдносно додавання R — абелева група, вiдносно множення R \ {0} теж абелева група, а II, III, IV групи аксiом характеризують множину R як поле, причому V група аксiом надiляє R структурою впорядкованого, навiть бiльше, розташованого поля. Аксiома неперервностi, у якiй стверджується, що для будь-яких непорожнiх пiдмножин X, Y множини R таких, що кожен елемент першої не перевищує будь-якого елемента другої, то в R iснує елемент z такий, що для будь-яких x X i y Y x 6 z 6 y, характеризує поле R як неперервне поле.

Подана аксiоматика несуперечлива (точнiше несуперечлива в рамках теорiї множин, побудованої на основi, наприклад, аксiоматики Цермело), оскiльки множини, якi задовольняють перерахованi аксiоми, iснують. При побудовi конкретної моделi, як правило, виходять з множини рацiональних чисел Q. Найбiльш популярними є моделi Вейєрштрасса, Дедекiнда i Кошi.

10