Matanaliz

y2

+ (1 + γ(y))(1 + δ(x))x2 + y2 =

x2

= 1 + (α(x) + β(y) + α(x)β(y))x2 + y2 +

y2

+ (γ(y) + δ(x) + γ(y)δ(x))x2 + y2 ,

111

Означення 9.4. Функцiя w = f(z), визначена у деякому околi точки z0, називається неперервною у цiй точцi, якщо для будь-якої послiдовностi (zn) iз згаданого вище околу та-

кої, що lim zn = z0, послiдовнiсть (f(zn)) вiдповiдних значень

n→∞

функцiї збiгається i lim f(zn) = f(z0).

n→∞

Зауваження. Вся iнформацiя, яка тут подана, не стосується невласного комплексного числа ∞, тобто маємо на увазi функцiї визначенi на пiдмножинах поля C (а не розширеної комплексної множини). Що стосується узагальнення поняття неперервностi функцiї у точцi (неперервнiсть по множинi, неперервнiсть у нескiнченно вiддаленiй точцi, випадок f(z0) = ∞), то з ними можна познайомитись у посiбнику [1, ч. 3, с. 226–228].

На заключення доведемо двi властивостi функцiя неперервних на обмеженiй замкненiй множинi.

Теорема 9.4. Якщо функцiя f(z) неперервна на обмеженiй замкненiй множинi, то вона обмежена на цiй множинi.

Доведення. Припустимо, що iснує обмежена i замкнена множина комплексних чисел E i неперервна на нiй (неперервна у кожнiй точцi множини E) функцiя f(z), яка необмежена на цiй множинi, тобто для будь-якого M > 0 знайдеться точка z0 E така, що |f(z0)| > M. Тодi для кожного натурального n знайдеться точка zn E така, що |f(zn)| > n, i всi члени так побудованої послiдовностi належать обмеженiй множинi E, тобто послiдовнiсть (zn) обмежена. В силу теореми БольцаноВейєрштрасса, з неї можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть. Нехай (znk ) — така пiдпослiдовнiсть i

lim znk = z .

k→∞

Точка z належить множинi E, бо за умовою E замкнена. А оскiльки у точцi z функцiя f(z) неперервна, то з того, що

113

(f(znk )) обмежена. З другого боку, для кожного k |f(znk )| > nk, де nk → ∞, якщо k → ∞, тобто послiдовнiсть (f(znk )) — необмежена. Ця суперечнiсть свiдчить про те, що наше припущення невiрне. А, отже, кожна неперервна на замкненiй обмеженiй множинi функцiя є обмеженою на нiй.

Теорема 9.5. Якщо функцiя f(z) неперервна на обмеженiй замкненiй множинi E, то знайдуться точки z , z E такi, що для будь-якого z E

|f(z )| 6 |f(z)| 6 |f(z )|,

тобто модуль неперервної на обмеженiй замкненiй множинi функцiї досягає на нiй свого найменшого i найбiльшого значення.

Доведення. Доведемо, наприклад, що на множинi E знайдеться точка z така, що для всiх z E |f(z)| 6 |f(z )|. Насамперед, в силу того, що f(z) неперервна на обмеженiй замкненiй множинi E, то вона, а, отже, i функцiя |f(z)|, обмеженi на множинi E. Нехай

M = sup |f(z)|.

z E

Якщо iснує точка z , для якої |f(z )| = M, то справдi для всiх z E виконується нерiвнiсть |f(z)| 6 |f(z )|. Нехай iснує множина E i неперервна на нiй функцiя f(z) така, що у E немає точки z, для якої |f(z)| = M, тобто для всiх z E |f(z)| < M =

sup |f(z)|. Побудуємо функцiю

z E

1

ϕ(z) = M − |f(z)|.

114

Оскiльки ця функцiя неперервна на множинi E, то вона обмежена на нiй, тобто iснує число A > 0, що для всiх z E

1

M − |f(z)| 6 A

або M − |f(z)| > A1 . Звiдси для всiх z з E

|f(z)| 6 M − A1 .

Останнє суперечить тому, що M — точна грань множини значень функцiї |f(z)|. Отже, не iснує такої обмеженої замкненої множини E i неперервної на нiй функцiї f(z), модуль якої не досягав би свого найбiльшого значення на цiй множинi.

3.Довести, що якщо функцiя f(z) неперервна у точцi z0, iснує окiл точки f(z0), у якому визначена функцiя g(z), причому вона неперервна у точцi f(z0), то складна функцiя

(g ◦ f)(z) = g(f(z))

визначенних у деякому околi точки z = 0, можуть бути доозначенi у точцi z = 0 так, щоб вони стали неперервними у цiй точцi?

115

5.Довести, що тригонометричнi функцiї комплексної змiнної cos z i sin z необмеженi.

6.Знайти найменше i найбiльше значення функцiї

w = |(z − 1 + i)2|

на множинi E = {z | |z − 1 + i| 6 1}. 7. Довести, що функцiї

обмеженi вiдповiдно на замкнених множинах

π

E1 = {z | 0 6 arg z 6 2 }, E2 = {z | |z| 6 1}.

8. Знайти образ кривих

γ1 = {z | |z| = r},

γ2 = {z | arg z = ϕ0, 0 < |z| < 1}

при вiдображеннi

116

10 ЛЕКЦIЯ: Розвиток поняття степеня з дiйсним i комплексним показником

Степiнь з натуральним показником. Дескриптивне означення степеня з рацiональним показником. Функцiональний пiдхiд при означеннi степеня з iррацiональним показником. Означення степеня з комплексним показником.

Лiтература. [1], ч. 1, с. 86–90; [3], ч. 1, с. 97–105; В. И. Ильин. Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. I, М.: Наука, с. 110–112, 117–120; Липман Берс, Математический анализ, М.: Высшая школа, 1975, с. 43–46.

При введеннi поняття степеня з дiйсним показником виходять з означення натурального степеня дiйсного числа

| {z } n разiв

тобто степенем числа a з показником 1 називається саме число a, а степенем числа a з натуральним показником n (n > 1) називають добуток n множникiв, кожний з яких дорiвнює a.

Множник, який повторюється називається основою степеня, а число таких множникiв — показником степеня. Знаходження значення степеня називають пiднесенням до степеня.

Очевидними є такi властивостi пiднесення до степеня:

Таким чином, при множеннi степенiв з однаковими основами основа залишається тiєю ж самою, а показники степенiв додаються; при множеннi степенiв з рiзними основами, але з однаковими показниками степеня основою стає добуток основ, а показник степеня залишається той самий, при пiднесеннi до степеня

117

степеня основа залишається тiєю ж самою, а показники перемножаються.

Зауваження. Вiдома формула Ньютона

При подальшому узагальненнi степеня властивостi (10.2)– (10.4) будуть слугувати для тестової перевiрки коректностi вiдповiдних узагальнень.

Перехiд до степенiв з цiлим недодатним показником здiй-

За a залишається назва „основа“, а за n — назва „показник степеня“.

Неважко перевiрити, що властивостi (10.2)–(10.4) виконуються для степенiв з цiлим показником. Наприклад, якщо m, n N, то

a−m · a−n = a1m · a1n = a−(m+n) = a−m−n.

Перейдемо до означення степеня з показником n1 , де n N i n > 1. З цiєю метою спочатку покажемо, що має розв’язок

118

одна з двох обернених задач до задачi пiднесення до степеня, а саме задача вiдшукання основи, коли вiдомо показник степеня n i n-ий степiнь невiдомої основи.

Тут пропонується два пiдходи доведення iснування кореня (арифметичного кореня) n-го степеня з додатного числа, причому перший з них дає правило, як саме знайти наближене значення кореня з наперед заданою точнiстю, а другий розв’я- зує проблему iснування через iснування оберненої функцiї для функцiї y = xn.

Теорема 10.1. Для кожного дiйсного числа c > 0 i кожного натурального числа n > 1 iснує єдине число x таке, що xn = c.

xn = c. Справдi, якщо припустити, що iснують два додатних дiйсних числа x1 i x2 таких, що xn1 = xn2 = c, то в силу того, що числа x1 i x2 рiзнi, наприклад, x1 < x2, дiстаємо, що xn1 < xn2 , що суперечить нашому припущенню. Побудуємо число α = a0, a1a2 . . . у такий спосiб: a0 — найбiльше невiд’ємне цiле число, для якого an0 6 c, a1 — найбiльше з чисел 0, 1, . . . , 9, для

якого (a0, a1)n 6 c, a2 — найбiльше з чисел 0, 1, . . . , 9, для якого (a0, a1a2)n 6 c, . . ., ak — найбiльше з чисел 0, 1, . . . , 9, для якого (a0, a1a2 . . . ak)n 6 c, . . .. Оскiльки для кожного k

a0, a1a2 . . . ak 6 α < a0, a1a2 . . . ak + 10−k,

то

(a0, a1a2 . . . ak)n 6 αn < (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n.

Якщо ще врахувати, що для кожного k

(a0, a1a2 . . . ak)n 6 c < (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n,

то числа αn i c належать кожному вiдрiзку

[(a0, a1a2 . . . ak)n; (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n].

119

Звiдси випливає, що

|αn − C| 6 (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n − (a0, a1a2 . . . ak)n =

= 10−k (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n−1 + (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)n−2×

×(a0, a1a2 . . . ak + 10−k) + · · · + (a0, a1a2 . . . ak + 10−k)×

×(a0, a1a2 . . . ak)n−2 +(a0, a1a2 . . . ak)n−1) 6 10−k ((a0 + 1)n−1+ +(a0 + 1)n−1 + · · · + (a0 + 1)n−1) = 10−kn(a0 + 1)n−1,

тобто |αn − c| 6 10−k · n(a0 + 1)n−1. А оскiльки

lim n(a0 + 1)n−1 = 0,

k→∞ 10k

то |αn − c| = 0, тобто αn = c. Таким чином, iснування i єдинiсть додатного числа α такого, що αn = c доведене.

Зауваження. Для n = 2 i будь-якого c > 0 можна дати геометричне обгрунтування iснування числа x такого, що x2 = c

(див. Рис. 4).

Додатне число α, для якого αn = c, називається коренем (арифметичним коренем) з до-

датного числа c i позначається

√

α = n c. Крiм того доозначає-

При другому пiдходi виходимо з того, що степенева функцiя y = xn при будь-якому n N монотонно зростаюча i неперервна

120