Matanaliz

такий, що (a + bi)(c + di) = 1 + 0i, що дозволяє ввести операцiю дiлення: для будь-яких a1 + b1i, a2 + b2i 6= 0 + 0i

Практично дiлення виконується так: у дробi a1 + b1i чисельник i a2 + b2i

знаменник домножаються на число a2−b2i (спряжене до a2+b2i). Отже, множина C \ {0 + 0i} вiдносно операцiї множення є

абелева група.

Нарештi, неважко перевiрити, що операцiя множення є дистрибутивною вiдносно додавання, i з алгебраїчної точки зору множина C вiдносно операцiй (2.1) є поле.

Доведено, що у полi не можна ввести лiнiйний порядок, який би був монотоним вiдносноє додавання, тобто поле C не можна впорядкувати у такий спосiб, як це було зроблено для поля R.

Означення 2.1. Поле C називають полем комплексних чисел, а його елементи комплексними числами. Запис a + bi називають алгебраїчною формою комплексного числа, у якому a = Re (a + bi) — дiйсна, b = Im (a + bi) — уявна частина.

Пiдмножина CR = {a + 0i | a R} множини C є пiдполе поля C, яке iзоморфне полю R. У зв’язку з цим у полi C пiдполе CR замiнюють на поле R, тобто числа виду a + 0i є дiйсними числами i записують a + 0i = a. Комплекснi числа виду 0 + bi називають чисто уявними i записують 0 + bi = bi, зокрема 0 + 1 · i = i i i2 = −1.

З цiєї точки зору поле C є розширенням поля R, яке виявилось досить продуктивним у тому планi, що стали розв’язними

21

задачi, якi над полем R не мали розв’язку. Яскравий приклад цьому — будь-яке квадратне рiвняння має два (з врахуванням кратностi) коренi.

У шкiльному пiдручнику [8, с. 399–418] при введенi комплексних чисел на першому планi символ i, для якого приймається така рiвнiсть i2 = −1. Називають цей символ уявною одиницею. А множина C вводиться як множина всiх чисел виду a + bi, де a, b — довiльнi дiйснi числа. Число a називається дiсною, а вираз bi — уявною частиною комплексного числа a + bi. (Останнє не узгоджується iз загальновживаним у математицi термiном „уявна частина“). Далi вводяться дiї над комплексними числами фактично за формулами (2.1), однак тут же рекомендується, що цiлком природно, виконувати дiю додавання, вiднiмання та множення над комплексними числами за правилами цих дiй над многочленами. Крiм того тут розглядаються дiї дiлення, пiднесення до степення i добування квадратного кореня.

При вивченнi властивостей комплексних чисел (як i при вивченнi властивостей дiйсних чисел) досить зручною є їх геометрична iнтерпретацiя, причому сама структура комплексного числа пiдказує, що комплекснi числа слiд зображати точками на координатнiй площинi. А саме, на площинi задається прямокутна декартова система координат xOy i вважається, що початок координат є зображенням комплексного числа z = 0, а точка з координатами (a, b) є зображенням комплексного числа z = a + bi. Таку площину називають комплексною площиною (площиною (z)), причому вiсь абсцис — дiйсною, а вiсь ординат

— уявною вiссю комплексної площини. При цьому встановлюється взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж множиною C i множиною точок комплексної площини, а, отже, мiж множиною C i множиною векторiв (комплексному числу z вiдповiдає радiусвектор точки z). Так що термiни „комплексне число“, „точка площини“, „вектор“ вживаються як синонiми.

У зв’язку з останнiм довжина вектора z називаєтьтся моду-

22

лем комплексного числа z i позначається |z|. Ясно, що якщо

√

z = a + bi, то |z| = a2 + b2. Кут мiж додатним напрямком осi Ox i вектором z (якщо вектор z ненулевий) називають аргументом z i позначають Arg z. Оскiльки такий кут визначається з точнiстю до доданку, кратного 2π, то видiляють так зване головне значення аргумента, тобто те, для якого −π < Arg z 6 π. Оскiльки таке значення визначається однозначно, то його позначають arg z. Для будь-якого z = a + bi 6= 0

Виходячи з очевидних геометричних мiркувань, для будьякого комплексного числа z = a + bi 6= 0 має мiсце подання:

√

де r = a2 + b2, α = arg z, яке називається тригонометричною формою комплексного числа.

Якщо скористатись формулами Ейлера, то дiстанемо ще одне подання комплексного числа

z = reiα.

Це так звана показникова форма комплексного числа. Якщо

z1 = r1(cos α1 + i sin α1),

z2 = r2(cos α2 + i sin α2),

23

то

z1z2 = r1r2(cos(α1 + α2) + i sin(α1 + α2)) = r1r2ei(α1+α2),

де k = 0, 1, . . . , n − 1.

Геометрична iнтерпретацiя комплексних чисел показує як метризувати поле C. Якщо z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, то за вiдстань мiж комплексними числами z1 i z2 слiд приймати вiд-

Природно, що так означена на C × C функцiя задовольняє всi три аксiоми метричного простору, тобто

1◦ ( z1, z2 C)(d(z1, z2) > 0 (d(z1, z2) = 0 z1 = z2)),

2◦ ( z1, z2 C)(d(z1, z2) = d(z2, z1)),

3◦ ( z1, z2, z3 C)(d(z1, z2) 6 d(z1, z3) + d(z3, z2)).

А наявнiсть метрики дозволяє будувати аналiз функцiй комплексної змiнної.

Важко переоцiнити значення комплексних чисел як iнструментарiю при розв’язуваннi самих рiзноманiтних задач. Звичайно цi задачi можна розв’язати i методами того роздiлу математики, у якому вони були сформульованi. Проте, як правило, застосування комплексних чисел (у бiльш широкому планi комплексного аналiзу) значно спрощує розв’язування.

Наведемо два приклади таких застосувань, де фактично використовуються тiльки основнi поняття теорiї комплексних чисел.

24

1. Скориставшись формулами додавання можна записати, що

sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α − sin2 α,

sin 3α = 3 cos2 α sin α − sin3 α = 3 sin α − 4 sin3 α, cos 3α = cos3 α − 3 cos α sin2 α = 4 cos3 α − 3 cos α.

Звичайно, знайшовши подання sin 4α, cos 4α, . . . можна вре-

можна поступати таким чином. Розглянемо комплексне число z = cos α + i sin α. Очевидно, що |z| = 1 i

zn = (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα.

З останньої рiвностi маємо:

n

X

cos nα + i sin nα = Cnk(cos α)n−k(i sin α)k.

k=o

Оскiльки два комплекснi числа рiвнi тодi i тiльки тодi, коли рiвними є їх дiйснi i уявнi частини, то, враховучи, що i0 = 1, i1 = i, i2 =, −1, i3 = −i, i4 = 1, . . ., маємо:

cos nα = cosn α − Cn2 cosn−2 α sin2 α + Cn4 cosn−4 α sin4 α − . . . ; sin nα = Cn1 cosn−1 α sin α − Cn3 cosn−3 α sin3 α + . . . .

Аналогiчно, якщо скористатись формулою суми членiв геометричної прогресiї

n1 − zn+1X

zk =

1 − z

k=0

25

i покласти z = cos α + i sin α, то дiстанемо такi формули

де α 6= 2kπ.

2. Повернемось до геометричної iнтерпретацiї комплексного числа i покажемо, як просто виражаються з допомогою них рiзнi факти геометрiї площини.

Формули z0 = −z, z0 = z задають претворення площини такi, що у першому випадку образом точки z є точка −z (центральна симетрiя вiдносно початку координат), у другому образом точки z є точка z (осьова симетрiя вiдносно осi Ox).

Якщо z0 (z0 6= 0) фiксоване комплексне число, то формула z0 = z + z0 задає паралельний перенос площини на вектор z0.

Якщо w0 (w0 6= 0) фiксоване комплексне число, у якого |w0| = k, то формула z0 = w0z задає гомотетiю з центром у точцi O i коефiцiєнтом k. Зокрема, якщо k = 1, то остання формула задає поворот на кут α = arg w0. Бiльше того кожен рух площини можна записати у виглядi z0 = w0z + z0 або z0 = w0z + z0, де

|w0| = 1.

Нехай маємо три рiзнi точки на площинi або iнакше три рiзнi комплекснi числа z0, z1, z2. Комплексне число

λ(z0, z1, z2) = z1 − z0 z2 − z0

називають вiдношенням трьох комплексних чисел (вiдношенням трьох точок).

26

З геометричного погляду аргумент цього числа є кут мiж прямими, що перетинаються у точцi z0 i проходять через точки z1 i z2. Очевидно, що точки z0, z1, z2 лежать на однiй прямiй тодi i тiльки тодi, коли arg λ(z0, z1, z2) дорiвнює або 0, або π. А це можливо, коли число λ(z0, z1, z2) є дiйсним. Звiдси умова того, що три рiзнi точки z0, z1, z2 лежать на однiй прямiй

λ(z0, z1, z2) = λ(z0, z1, z2),

тобто три рiзнi точки z0, z1, z2 лежать на однiй прямiй тодi i тiльки тодi, коли

Тодi рiвняння прямої, що проходить через двi рiзнi точки z1 i z2 має вигляд

або (z1 − z2)z − (z1 − z2)z + (z1z2 − z1z2) = 0.

Нехай маємо чотири точки z1, z2, z3, z4. Комплексне число

називають подвiйним вiдношенням чотирьох комплексних чисел (подвiйним вiдношенням чотирьох точок).

Враховуючи геометричний змiст вiдношення трьох комплексних чисел, маємо, що

Arg λ(z1, z3, z4) = Arg λ(z1, z3, z4) − Arg λ(z2, z3, z4),

λ(z2, z3, z4)

тобто з точнiстю до доданка кратного 2π дорiвнює рiзницi мiж величиною кута мiж прямими, що перетинаються у точцi z1 i проходять через точки z3 i z4 i величиною кута мiж прямими, що перетинаються у точцi z2 i проходить через точки z3 i z4.

27

Отже, (див. Рис. 2) чотири точки будуть лежати на одному колi (на однiй прямiй?) тодi, коли ця рiзниця буде дорiвнювати 0 або π (точка z2 займає на Рис. 2 положення z20 ), тобто коли число

λ(z1, z3, z4)

λ(z2, z3, z4)

є дiйсним. Таким чином умову того, що чотири точки z1, z2, z3, z4 лежать на одному колi (на однiй прямiй) можна записати так:

λ(z1, z3, z4) = λ(z1, z3, z4) λ(z2, z3, z4) λ(z2, z3, z4)

Вважаючи z4 бiжучою точкою, маємо рiвняння кола (або прямої), що проходить через три точки z1, z2, z3

або

Azz + Bz − B z + C = 0,

де

A= z1z2 − z1z3 − z1z2 + z1z3 + z2z3 − z2z3

єчисто уявне число (A = −A),

B = z1z1z3 − z1z1z2 − z1z3z3 + z2z3z3 − z2z2z3 + z1z2z2,

C= −z1z1z2z3 + z1z1z2z3 + z1z2z2z3 − z1z2z2z3 − z1z2z3z3+

+z1z2z3z3 — чисто уявне число (C = −C).

28

Завдання для самоконтролю.

1.Що означає алгебраїчна замкненiсть поля C?

2.Як ви розумiєте неперервнiсть поля C?

3.Яким чином можна ввести топологiю у полi C?

4.Довести, що

5.У курсi геометрiї для двох рiзних точок M1 i M2 число λ R (λ 6= −1) називали вiдношенням трьох точок M1, M2

i M, якщо

−−−→ −−−→

M1M = λMM2.

iнакше, точка M дiлить вiдрiзок M1M2 у вiдношеннi λ. Встановiть зв’язок цього поняття з поняттям вiдношення трьох комплексних чисел.

6.Знайти рiвняння кола, що проходить через точки z1 = 0, z2 = 8 − 4i, z3 = 3 − 9i. Визначити його центр i радiус.

29

XX

якщо |q| < 1, q — дiйсне число.

30