Matanaliz

Зрозумiло, що змiстовне вивчення таких функцiй стане можливим, якщо такi множини будуть надiленi певними властивостями (для функцiй однiєї змiнної це властивостi дiйсних чисел). Якраз фундаментом побудови таких функцiй є n-вимiрний евклiдiв простiр.

Нехай маємо множину

{(x1, x2, . . . , xn) | x1, x2, . . . , xn R},

тобто множину елементами якої є всi можливi n-ки дiйсних чисел. З теоретико-множинної точки зору ця множина є прямий добуток множини R, взятий n разiв. Тому цю множину будемо позначати

Rn = R × R × · · · × R .

| {z } n разiв

Елементи цiєї множини будемо позначати лiтерами x, y, . . ., тобто

x := (x1, x2, . . . , xn), y := (y1, y2, . . . , yn), xk := (xk1, xk2, . . . , xkn).

Означимо у множинi Rn операцiю додавання i операцiю множення елементiв Rn на дiйсне число, а саме для довiльних елементiв x, y Rn i довiльного числа λ

1◦ x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

(4.2)

2◦ λx := (λx1, λx2, . . . , λxn).

В очевидний спосiб перевiряється, що операцiї (4.2) задовольняють аксiоми лiнiйного простору, тобто x, y, z Rn, λ, µ R

1. x + y = y + x,

2. (x + y) + z = x + (y + z),

42

3. ( 0 Rn)( x Rn)(x + 0 = x),

4. ( x Rn)( x0 Rn)(x + x0 = 0),

5. λ(µx) = (λµ)x,

6. (λ + µ)x = λx + µx,

7. λ(x + y) = λx + λy,

8. 1 · x = x.

Таким чином множина Rn, надiлена операцiями (4.2), є лiнiйним простором над полем R. Розмiрнiсть цього простору дорiвнює n.

У множинi Rn означимо ще одну операцiю, яка для будьяких двох елементiв x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) вiдносить число

Легко перевiрити, що так означена операцiя задовольняє властивостi (4.1), i тому її називають скалярним добутком.

Означення 4.1. Лiнiйний простiр Rn з скалярним добутком (4.3) називається n-вимiрним евклiдовим простором.

Зауваження. (4.3) є одним iз можливих варiантiв означення скалярного добутку. Скалярний добуток у просторi Rn може бути означений у такий спосiб:

nn

XX

(x, y) := aikxiyk,

i=1 k=1

43

векторами, а вiдповiднi n-ки дiйсних чисел їх координатами. Точка 0 = (0, 0, . . . , 0) — початок координат, а множина точок {(0, 0, . . . , 0, xi, 0, . . . , 0) | xi R} — i-ою координатною вiссю.

Оскiльки для ненулевих векторiв ~a

(a,~) = |~a| · |~a| cos(a,~) = |~a|2,

то довжина ненулевого вектора ~a подається у виглядi

У такий же спосiб означається довжина вектора (норма елемента) простору Rn i кут мiж ненулевими елементами, а саме

cos(x, y) = kxkkyk.

У тому випадку, коли (x, y) = 0, елементи x i y називають ортогональними, зокрема нулевий елемент ортогональний будь-якому елементу.

Нарештi у просторi Rn можна означити вiдстань мiж елемен-

44

Отже, n-вимiрний евклiдiв простiр є метричним простором, у якому вiдстань означається через (4.5).

Доведемо, що у просторi Rn мають мiсце такi добре вiдомi факти: довжина суми двох векторiв не перевищує суми довжин цих векторiв, теорема Пiфагора, вiдстань вiд однiєї точки до другої не перевищує суми вiдстаней вiд першої точки до третьої i вiд неї до другої.

Теорема 4.1 (нерiвнiсть Кошi-Буняковського). Для будьяких двох елементiв x, y з n-вимiрного евклiдового простору Rn має мiсце нерiвнiсть

Доведення. Вiзьмемо довiльне дiйсне число λ i елемент λx− y Rn. Тодi за четвертою властивiстю скалярного добутку

(λx − y, λx − y) > 0.

Скориставшись властивостями скалярного добутку, нерiвнiсть запишеться у виглядi

(λx − y, λx − y) = (λx − y, λx) − (λx − y, y) =

=(λx, λx) − (y, λc) − (λx, y) + (y, y) =

=λ2(x, x) − 2λ(x, y) + (y, y) > 0.

Для того, щоб квадратний тричлен (вiдносно λ) був невiд’ємним необхiдно i достатньо, щоб його дискримiнант не був додатним, тобто

(x, y)2 − (x, x)(y, y) 6 0.

Звiдси безпосередньо випливає (4.6).

Теорема 4.2 (нерiвнiсть трикутника). Для будь-яких двох елементiв x, y з Rn має мiсце нерiвнiсть

45

Доведення. Скориставшись означенням довжини елемента з Rn i нерiвнiстю Кошi-Буняковського маємо

pp

kx + yk = (x + y, x + y) = (x + y, x) + (x + y, y) =

p p

= (x, x) + 2(x, y) + (y, y) 6 kxk2 + 2kxkkyk + kyk2 = = kxk + kyk.

Теорема 4.3 (теорема Пiфагора). Якщо елементи x i y

ортогональнi, то kx + yk2 = kxk2 + kyk2.

Доведення. Справдi маємо, що x i y ортогональнi, то (x, y) = 0. А, отже,

pp

kx + yk = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) =

p

=kxk2 + kyk2.

Як наслiдок маємо, що коли елементи x1, x2, . . . , xk попарно ортогональнi ((xi, xj) = 0, якщо i 6= j), то

kk

XX

Теорема 4.4 (нерiвнiсть трикутника для вiдстаней) Для будь-яких трьох елементiв x, y, z Rn має мiсце нерiвнiсть

Доведення. Скориставшись властивостями довжини елемента з Rn i теоремою 4.2, маємо

d(x, y) = kx − yk = kx − z + z − yk 6

6 kx − zk + kz − yk = d(x, z) + d(z, y).

46

iсторично n-вимiрний евклiдiв простiр Rn будувався як узагальнення просторiв R1, R2 i R3. Справдi, множину дiйсних чисел R можна подати як множину точок координатної прямої, або як множину вiльних векторiв на цiй прямiй. Тодi за вiдстань мiж елементами x, y з R приймають вiдстань мiж точками координатної прямої з координатами x i y вiдповiдно, тобто абсолютну величину (модуль) рiзницi цих чисел

d(x, y) = |x − y|,

за довжину елемента (довжину вектора) x вiдстань вiд початку координат до точки з координатою x, а оскiльки всi вектори на числовiй прямiй колiнеарнi, то кут мiж ними або 0, або π, а отже,

У ньому

p√

kxk = (x, x) = x2 = |x|,

pp

d(x, y) = kx − yk = (x − y, x − y) = (x − y)2 = |x − y|.

Таким чином, якщо в R1 = R додавання елементiв збiгається iз додаванням дiйсних чисел, множення на число збiгається iз множенням дiйсних чисел, а скалярний добуток будь-яких двох елементiв x, y з R1 означити як добуток xy, то отримаємо одновимiрний евклiдiв простiр R1.

Цiлком природно геометричною iнтерпретацiєю множини R2 = R × R є координатна площина (система координат прямокутна декартова). Тодi кожному елементу (x, y) з R2 вiдповiдає точка координатної площини з координатами x i y. За вiдстань мiж точками (x1, y1), (x2, y2) R2 приймемо вiдстань мiж вiдповiдними точками на координатнiй площинi, яка за теоремою

47

Пiфагора дорiвнює

p

d((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Пов’язуючи кожну точку площини з вiдповiдним радiусомвектором, приймаємо, що норма елемента з R2 дорiвнює довжинi радiуса-вектора (вiдстань вiд точки до початку координат), тобто

p

k(x, y)k = x2 + y2.

Нарештi означимо скалярний добуток мiж ненулевими елементами (x1, y1), (x2, y2) R2, як скалярний добуток двох векторiв

((x1, y1), (x2, y2)) = (~a, b) = k~ak kbk cos(~a, b) =

p p ~

= x21 + y12 x22 + y22 cos(~a, b).

Обравши на координатнiй площинi ортонормований базис

~ ~ , для скалярного добутку маємо подання i(1, 0), j(0, 1)

((x1, y1), (x2, y2)) = (x1(1, 0) + y1(0, 1), x2(1, 0) + y2(0, 1)) = = x1x2((1, 0), (0, 1)) + x1y2((1, 0), (0, 1))+

+ y1x2((1, 0), (0, 1)) + y1y2((1, 0), (0, 1)) =

~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

=x1x2 cos(i, i) + x1y1 cos(i, j) + y1x2 cos(j, i) + y1y2 cos(j, j) =

=x1x2 + y1y2.

Таким чином, якщо в R2 = R×R означити додавання елементiв через додавання векторiв на координатнiй площинi, множення елемента на число через множення вектора на число, а скалярний добуток у такий спосiб: для будь-яких (x1, y1), (x2, y2)

R2

((x1, y1), (x2, y2)) = x1x2 + y1y2,

48

то отримаємо двовимiрний евклiдiв простiр R2. У ньому

pp

k(x, y)k = x2 + y2 = (x, y)(x, y),

p

d((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 =

p

=(x1 − x2, y1 − y2)(x1 − x2, y1 − y2) = k(x1 − x2, y1 − y2)k.

Аналогiчно геометричною iнтерпретацiєю множини R3 = R × R × R є координатний простiр (знову система координат прямокутна декартова). Тодi кожнiй точцi (x, y, z) з R3 вiдповiдає точка координатного простору з координатами x, y, z або радiус-вектор з координатами x, y, z. За вiдстань мiж точками (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) з R3 приймемо вiдстань мiж вiдповiдними точками координатного простору, яка за теоремою Пiфагора дорiвнює

p

d((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 .

За норму елемента (x, y, z) з R3 приймемо довжину вiдповiдного радiуса-вектора, тобто

p

k(x, y, z)k = x2 + y2 + z2 .

Скалярний добуток мiж елементами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) R3 (обидва елементи ненулевi) означимо, як скалярний добуток

двох векторiв ~ 3, тобто

~a(x1, y1, z1), b(x2, y2, z2) R

k k k k ~

((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) = (x1, y1, z1) (x2, y2, z2) cos(~a, b).

Обравши у координатному просторi ортонормований базис

~ ~ ~ , для скалярного добутку маємо по- i(1, 0, 0), j(0, 1, 0), k(0, 0, 1)

49

дання

((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) =

= (x1(1, 0, 0) + y1(0, 1, 0) + z1(0, 0, 1),

x2(1, 0, 0) + y2(0, 1, 0) + z2(0, 0, 1)) =

~~ ~ ~ ~ ~

+z1x2 cos(k, i) + z1y2 cos(k, j) + z1z2 cos(k, k) =

=x1x2 + y1y2 + z1z2.

Таким чином, якщо в R3 = R × R × R означити додавання елементiв через додавання векторiв у координатному просторi, множення елемента на число через множення вектора на число, а скалярний добуток означити у такий спосiб:

((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) = x1x2 + y1y2 + z1z2,

то отримаємо трьохвимiрний евклiдiв простiр. У ньому

pp

k(x, y, z)k = x2 + y2 + z2 = ((x, y, z), (x, y, z)),

d((x1, y1, z1), (x2, y2, z2)) =

p

=(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 =

p

=(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2)(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2) =

=k(x1, y1, z1) − (x2, y2, z2)k .

Як пiдсумок, можемо констатувати, що n-вимiрний евклiдiв простiр Rn є узагальнення просторiв R1, R2, R3, у яких вiдповiднi операцiї мають геометричне походження.

Введене у просторi Rn поняття вiдстанi дозволяє описувати множини з певними властивостями, якi будуть слугувати областю визначення функцiй n змiнних.

50