Matanaliz

β

Z

+ i Q(ϕ(t), ψ(t))ϕ0(t) + P (ϕ(t), ψ(t))ψ0(t) dt. (17.3)

α

Z

Приклад. Обчислити zdz, де — частина кола |z| = 2,

яка лежить у пiвплощинi Im z < 0, причому точка z1 = −2 є початок, а точка z2 = 2 є кiнець кривої .

Розв’язання. Очевидно, що крива задається рiвнянням

z(t) = 2(cos t + i sin t) = 2eit,

де t змiнюється вiд π до 2π, а функцiя f(z) = z = x − iy. Тодi за формулою (17.3) маємо

2π

ZZ

z dz = (2 cos t(−2 sin t) + 2 sin t2 cos t)dt+

π

До найважливiших результатiв iнтегрального числення функцiй комплексної змiнної належить, насамперед, центральна теорема теорiї аналiтичних функцiй (iнтегральна теорема Кошi) та iнтегральна формула Кошi.

Теорема 17.4 (iнтегральна теорема Кошi). Якщо функцiя f(z) є однозначною та аналiтичною в однозв’язнiй областi G комплексної площини, то для будь-якої замкнутої спрямлюваної кривої , яка лежить в областi G, iнтеграл функцiї f(z) вздовж кривої дорiвнює нулю.

Доведення. Оскiльки за умовою функцiя f(z) = P (x, y) + iQ(x, y) аналiтична в областi G, то у кожнiй точцi замикання D

241

областi, обмеженої кривою , функцiї P , Q, ∂P∂x , ∂P∂y , ∂Q∂x , ∂Q∂y , неперервнi, i виконуються умови Кошi-Рiмана

Будемо вважати, що замкнена область D є елементарною областю як вiдносно осi Oy так i вiдносно осi Ox. Тому за формулою Грiна для пари функцiй P (x, y) i −Q(x, y) маємо

а для пари функцiй Q(x, y) i P (x, y) маємо:

D

Таким чином, врахувавши рiвняння Кошi-Рiмана, маємо

iнтегральна теорема Кошi дозволяє виявити зв’язок мiж значеннями аналiтичної функцiї всерединi областi i на її межi. А саме, якщо функцiя f(z) є однозначною i аналiтичною в областi G i на її межi , яка складається з одного або декiлькох

242

спрямлюваних контурiв, орiєнтованих додатно вiдносно областi G (при проходженнi контура область G має залишатись злiва), то для будь-якої точки z0 G має мiсце iнтегральна формула Кошi:

Завдання для самоконтролю.

1. Як обчислюється криволiнiйний iнтеграл

Z

P dx + Qdy,

_

AB

якщо P dx + Qdy — повний диференцiал функцiї u(x, y)?

2.Довести, що площу плоскої фiгури, обмежену кривою можна обчислювати за формулою

Скориставшись цiєю формулою, обчислити площу фiгури, обмеженої астроїдою

— коло x2 + y2 = r2,

а) звiвши його до iнтеграла Рiмана; б) скориставшись формулою Грiна.

243

−π2 6 arg z 6 π2 .

5.Обчислити iнтеграли вiд аналiтичних функцiй:

6. Скориставшись iнтегральною формулою Кошi, обчислити iнтеграл

Zzez

(z2 + 1)(z − 1) dz,

√

де = {z | |z − 1 − i| = 2}.

244

18 ЛЕКЦIЯ: Iнтеграл Лебега

Мiра Лебега, основнi властивостi. Вимiрнi функцiї, основнi властивостi. iнтеграл Лебега, основнi властивостi.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 45–95; [5], с. 56–153; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989; Тумаков И. М. Анри Леон Лебег. М.: Наука, 1975.

Одним iз найважливiших досягнень математики XX столiття (точнiше рубежу XIX i XX ст.) було узагальнення поняття iнтеграла Рiмана, запропоноване видатним французьким математиком Анрi Лебегом.

У його докторськiй дисертацiї, опублiкованiй у 1902 роцi (яку по праву вважають вiдкриттям нової ери у математицi), була розвинена теорiя мiри лiнiйних i плоских множин i на її основi побудована нова теорiя iнтеграла. Якраз ця теорiя стала фундаментом i головним теоретичним iнструментом для сучасної теорiї диференцiальних рiвнянь як звичайних так i з частинними похiдними, математичної i теоретичної фiзики, теорiї узагальнених функцiй, теорiї лiнiйних операторiв i спектральної теорiї, збiжностi i сумовностi розкладiв функцiй в ряди ортогональних функцiй, теорiї ймовiрностей i випадкових процесiв та iнших роздiлiв сучасної математики.

Для введення поняття iнтеграла Лебега необхiднi поняття мiри множини i вимiрної функцiї. Мiра лiнiйної множини (пiдмножини множини дiйсних чисел) як узагальнення поняття довжини вiдрiзка означається поетапно. Спочатку означається мiра iнтервала

m(a; b) := b − a.

Далi, виходячи з того, що кожну обмежену вiдкриту множину G можна подати у виглядi об’єднання скiнченного числа або

245

зчисленної множини попарно неперекривних iнтервалiв

де (αi; βi) ∩ (αj; βj) = , якщо i 6= j, її мiра означається так:

Якщо тепер E будь-яка обмежена лiнiйна множина, то зовнiшньою мiрою цiєї множини називають точну нижню грань мiр вiдкритих множин, кожна з яких включає E, тобто

m E := inf mG,

G E

а її внутрiшньою мiрою називають число

m E := b − a − m C(a;b)E,

де G (a; b), C(a;b)E = (a; b) \ E.

Означення 18.1. Обмежена лiнiйна множина E називається вимiрною (вимiрною за Лебегом), якщо

m E = m E,

а спiльне значення внутрiшньої i зовнiшньої мiр називається мiрою Лебега множини E i позначають mE = m E = m E.

Вимiрними за Лебегом виявляються вiдрiзки, причому мiра вiдрiзка дорiвнює його довжинi, iнтервали та напiвiнтервали, причому m(a; b) = m(a; b] = m[a; b) = b − a, скiнченнi i обмеженi зчисленнi множини, i їх мiра дорiвнює нулю, знаменита множина Кантора, i її мiра дорiвнює нулю. Вимiрною є всяка обмежена

246

вiдкрита множина, i її мiра дорiвнює сумi довжин усiх iнтервалiв, з яких складається ця множина, а також будь-яка обмежена замкнена множина F , i її мiра

mF = b − a − mC[a;b]F,

де a = inf F, b = sup F . Взагалi, якщо множина E вимiрна i E [a; b], то множина C[a;b]E — вимiрна i

mC[a;b]E = b − a − mE.

Бiльше того, об’єднання (якщо воно обмежене) i перетин скiнченного або зчисленного числа вимiрних множин є вимiрнi множини. Так що привести приклад невимiрної множини далеко не просто (див. [5, с. 78–79]).

Зауважимо, що для будь-якої вимiрної множини E mE > 0, i для будь-яких вимiрних множин E1 i E2 (E1 ∩ E2 = )

m(E1 E2) = mE1 + mE2,

тобто для мiри Лебега має мiсце властивiсть адитивностi (характеристична властивiсть довжини i її узагальнення мiри Жордана). Однак, мiра Лебега володiє також властивiстю зчисленної адитивностi (σ-адитивностi), тобто якщо у послiдовностi (En)

Для мiри Жордана остання властивiсть, взагалi кажучи, мiсця немає. Наприклад, множина всiх рацiональних точок вiдрiзка [0; 1] невимiрна за Жорданом, хоча ця множина є об’єднанням зчисленного числа одноточкових множин, мiра кожної з них дорiвнює нулевi, тодi як мiра Лебега цiєї множини дорiвнює нулевi.

247

Нехай функцiя f визначена на вимiрнiй множинi E. Далi будемо користуватись такими позначеннями:

E(f < c) := {x | x E, f(x) < c},

E(f 6 c) := {x | x E, f(x) 6 c},

E(f > c) := {x | x E, f(x) > c},

E(f > c) := {x | x E, f(x) > c},

E(f = c) := {x | x E, f(x) = c}.

Означення 18.2. Функцiя f, визначена на вимiрнiй множинi E, називається вимiрною на цiй множинi, якщо для кожного c R множина E(f < c) вимiрна.

Зауважимо, що першi чотири множини у приведеному вище списку множин є рiвноправними у тому розумiннi, що в означеннi вимiрної функцiї множину E(f < c) можна замiнити на одну iз трьох множин E(f 6 c), E(f > c), E(f > c).

Поняття мiри дає можливiсть ввести поняття функцiй, якi хоча i не є рiвними, однак у певних випадках вони можуть замiнювати одна одну.

Означення 18.3. Функцiї f i g, визначенi на вимiрнiй множинi E, називають еквiвалентними на цiй множинi, якщо m{x | x E, f(x) 6= g(x)} = 0.

Наприклад, функцiя Дiрiхле

(

0, якщо x — iррацiональне число,

D(x) =

1, якщо x — рацiональне число

еквiвалентна на вiдрiзку [a, b] функцiї g(x) ≡ 0 на цьому вiдрiзку.

248

Властивiсть вимiрностi функцiї є властивiстю класiв еквiвалентних функцiй, тобто якщо функцiя f вимiрна на множинi E, то i будь-яка еквiвалентна їй функцiя теж буде вимiрною.

Серед найважливiших властивостей вимiрних функцiй назвемо такi:

1◦. Якщо функцiя f вимiрна на множинi E, то вона вимiрна на будь-якiй вимiрнiй пiдмножинi множини E.

2◦. Якщо функцiя f вимiрна на множинах E1, E2, . . . , En, . . .,

∞

на, то i на їх об’єднаннi.

3◦. Будь-яка функцiя, визначена на множинi мiри нуль, є вимiрною.

4◦. Якщо функцiї f i g вимiрнi на множинi E, то функцiї

(за умови, що x E g(x) 6= 0) вимiрнi на E.

5◦. Якщо послiдовнiсть (fn(x)) вимiрних на множинi функцiй збiгається до функцiї f(x), то гранична функцiя f вимiрна на

E.

Таким чином, не тiльки арифметичнi операцiї над вимiрними функцiями не виводять за межi класу вимiрних функцiй, але й основна операцiя аналiзу граничний перехiд теж не виводить за межi цього класу.

6◦. Будь-яка неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя є вимiрною на цьому вiдрiзку.

i на завершення фундаментальний результат М. М. Лузiна про зв’язок мiж класом неперервних i класом вимiрних функцiй.

7◦ (теорема Лузiна або C-властивiсть вимiрних функцiй). Для того щоб функцiя f була вимiрною на вiдрiзку [a; b], необхiдно i досить, щоб для будь-якого ε > 0 iснувала неперервна

249

на вiдрiзку [a, b] функцiя g така, що

m{x | x [a, b], f(x) 6= g(x)} < ε.

Можна сказати, що теорема Лузiна стверджує, що будь-яка вимiрна на вiдрiзку функцiя може бути трансформованою у неперервну шляхом змiни її значень на множинi як завгодно малої мiри, тобто у цьому розумiннi вимiрнi функцiї близькi до неперервних.

iнтеграл Лебега можна ввести по-рiзному. Тут пропонується пiдхiд, запропонований самим Лебегом. Нехай на вимiрнiй множинi E визначена обмежена i вимiрна функцiя f. Обмеженiсть функцiї f гарантує iснування такої пари чисел A i B (звичайно не єдиної), що для всiх x E виконується нерiвнiсть

A < f(x) < B.

Нехай T = {y0, y1, . . . , yn}, де A = y0 < y1 < · · · < yn = B, розбиття вiдрiзка [A, B] на частини i

є дiаметр цього розбиття. Нехай Ek = {x | yk−1 6 f(x) < yk}

(k = 1, n) множина тих точок з множини E, для яких значення функцiї f належить напiвiнтервалу [yk−1, yk) (множина Ek формується не за принципом близькостi точок на осi Ox, а за принципом близькостi значень функцiї). Вимiрнiсть функцiї f на множинi гарантує вимiрнiсть множин Ek = {x | f(x) < yk} \ {x | f(x) < yk−1}. На кожному вiдрiзку [yk−1, yk] вiзьмемо точку yk i складемо суму

n

X

σ(f, T, Y ) = ykmEk,

k=1

де Y = {y1, y2, . . . , yn}, i назвемо її iнтегральною сумою Лебега, побудованою для функцiї f при розбиттi T вiдрiзка [A, B] на частини i множинi Y точок, вибраних з кожного елементарного вiдрiзка [yk−1, yk].

250