Matanaliz

З подвiйної нерiвностi

f0(x1) 6 f(x2) − f(x1) 6 f0(x2) x2 − x1

випливає, що для будь-яких x1, x2 (a, b) (x1 < x2)

f0(x1) 6 f0(x2),

тобто похiдна f0 неспадна на iнтервалi (a, b).

Достатнiсть. Нехай f0 неспадна на iнтервалi (a, b) i α (0, 1). (Якщо α = 0 або α = 1 нерiвнiсть (14.5) очевидна). Позначивши через x = αx1 +(1−α)x2, маємо три точки x1 < x < x2. Тодi за теоремою Лагранжа iснують ξ1 (x1, x), ξ2 (x, x2) такi,

Перехiд вiд останньої нерiвностi до нерiвностi (14.5) очевидний. Теорема доведена.

Точно у такий самий спосiб можна обгрунтувати, що для того щоб диференцiйовна на iнтервалi (a, b) функцiя f була опуклою вгору на цьому iнтервалi необхiдно i досить, щоб її похiдна f0 була незростаючою на (a, b).

Зрозумiло, що строга монотоннiсть похiдної є достатною умовою строгої опуклостi, а якщо функцiя f на iнтервалi (a, b) має другу похiдну, то функцiя f строго випукла вниз, якщо для всiх x (a, b) f00(x) > 0, i строго випукла вгору, якщо для всiх x (a, b) f00(x) < 0.

191

Означення 14.5. Нехай функцiя f визначена у деякому околi точки x0 i неперервна у цiй точцi. Точка x0 називається точкою перегину функцiї f, якщо ця точка є одночасно кiнцем як iнтервала строгої опуклостi вниз так i iнтервала строгої опуклостi вгору. Точку (x0, f(x0)) називають точкою перегину графiка функцiї.

Неважко переконатись, що коли функцiя f має на iнтервалi (a, b) неперервну другу похiдну i точка x0 (a, b) є її точкою перегину, то f00(x0) = 0, тобто точки перегину для двiчi диференцiйовної функцiї слiд шукати серед розв’язкiв рiвняння f00(x0) = 0 (а також серед точок, у яких f0 неперервна, а f00 не iснує). Достатною умовою того, що двiчi диференцiйовна функцiя f у точцi пiдозрiлiй на перегин його має, є змiна знаку другою похiдною при переходi через точку x0.

Коли виникає питання про поведiнку функцiї поблизу деякої точки (або на нескiнченностi), у якiй, як правило, сама функцiя невизначена, то говорять про асимптотичну поведiнку функцiї в околi цiєї точки.

Асимптотичну поведiнку функцiї у загальному випадку характеризують бiльш простою або бiльш вивченою функцiєю, яка в околi дослiджуваної точки з достатно малою вiдносною похибкою подає значення дослiджуваної функцiї. Найпростiшої з цiєї точки зору є лiнiйна функцiя або, висловлюючись геометричною мовою, асимптота.

Означення 14.6. Пряма x = a називається вертикальною асимптотою графiка функцiї f у тому випадку, якщо або

lim f(x), або lim f(x) є +∞ або −∞.

x→a−0 x→a+0

Означення 14.7. Пряма y = kx + b називається похилою асимптотою графiка функцiї f при x → +∞ (при x → −∞), якщо

192

Теорема 14.5. Для того щоб графiк функцiї y = f(x) мав похилу асимптоту при x → +∞ (x → −∞) необхiдно i досить, щоб iснували границi

Доведення. Необхiднiсть. Нехай графiк функцiї y = f(x)

має при x → +∞ асимптотою пряму y = kx + b, тобто f(x) =

kx + b + α(x), де lim α(x) = 0. Тодi

x→+∞

Тодi lim (f(x)−kx−b) = 0, а це й означає, що пряма y = kx+b

x→+∞

асимптота для функцiї f(x).

i на завершення, схема дослiдження функцiй i побудова графiкiв:

1.Знайти область визначення функцiї.

2.Дослiдити функцiю на парнiсть, непарнiсть, перiодичнiсть.

3.Дослiдити функцiю на неперервнiсть, знайти точки розриву i вертикальнi асимптоти.

4.Знайти точки перетину графiка функцiї з осями координат.

5.Дослiдити поведiнку функцiї на нескiнченностi, знайти горизонтальнi i похилi асимптоти.

6.Знайти точки екстремуму, промiжки монотонностi функцiї та її екстремальнi значення.

193

7.Знайти точки перегину графiка функцiї, промiжки опуклостi i значення функцiї у точках перегину.

8.Результати дослiдження звести в таблицю.

9.Вибрати систему координат i нанести асимптоти, точки перетину з осями координат, точки максимуму, мiнiмуму, перегину i фрагменти графiка функцiї поблизу цих точок i асимптот.

10.Побудувати графiк функцiї.

Завдання для самоконтролю.

1.Довести, що додатнiсть (вiд’ємнiсть) похiдної є достатною, але не необхiдною умовою зростання (спадання) диференцiйовної на промiжку функцiї.

2.Довести, що вiдмiннiсть вiд нуля другої похiдної у стацiонарнiй точцi є достатною умовою екстремуму функцiї.

3. Довести, що диференцiйовна на iнтервалi (a, b) функцiя є опуклою вниз (вгору) тодi i тiльки тодi, коли для всiх x (a, b) нерiвнiсть

f(x) − f(x0) − f0(x0)(x − x0) > 0 (6 0)

виконується для всiх x (a, b).

4.Довести, що коли для двiчi диференцiйовної функцiї, заданої рiвнянням ρ = ρ(ϕ) у полярних координатах, точка M0(ϕ0, ρ(ϕ0)) є точкою перегину, то ϕ0 є коренем рiвняння

ρ(ϕ)ρ00(ϕ) − 2(ρ0(ϕ))2 − (ρ(ϕ))2 = 0.

5.Чи може точка перегину функцiї бути її точкою екстремуму?

6.Довести, що у будь-якої двiчi диференцiйовної функцiї мiж двома точками екстремуму лежить хоч одна точка перегину.

194

7.Довести, що у двiчi диференцiйовної функцiї мiж двома точками перегину може i не бути точок екстремуму.

8.Дослiдити i побудувати графiки функцiй:

9. Дослiдити i побудувати графiки функцiй:

10. Дослiдити i побудувати графiки функцiй:

а) xy(x − y) + x + y = 0, б) (x2 + y2)2 = xy.

195

15 ЛЕКЦIЯ: Первiсна i невизначений iнтеграл

Первiсна та її властивостi. Невизначений iнтеграл. Основнi методи iнтегрування. Таблиця основних iнтегралiв.

Лiтература. [1], ч. 1, с. 194–199, ч. 2, с. 118–135; [2], ч. 1, с. 313–328; [3] т. 1, с. 318–328, 350–378, [8] с. 343–349.

Через основну операцiю аналiзу (граничний перехiд) означається операцiя диференцiювання функцiй, результатом якої є знову таки функцiї. Точнiше, якщо у кожнiй точцi деякого промiжку функцiя f має похiдну (пiд похiдною у межовiй точцi промiжку розумiють вiдповiдну односторонню похiдну), то вiдповiднiсть, яка кожнiй точцi цього промiжку вiдносить похiдну функцiї f у цiй точцi, називають похiдною функцiєю функцiї

fi позначають f0. Вiдшукання похiдної функцiї f0 за заданою функцiєю f це, так би мовити, пряма задача.

Цiлком природною є постановка оберненої задачi: за заданою на деякому промiжку функцiєю f необхiдно вiдшукати таку функцiю F , що для всiх x з цього промiжку F 0(x) = f(x).

Те, що така задача може бути розв’язаною, є очевидним фактом. Справдi, взявши будь-яку диференцiйовну на промiжку функцiю f i знайшовши її похiдну f0, маємо, що для функцiї

f0 функцiя f є шуканою. Бiльше того, таким методом можна було побудувати таблицi, з допомогою яких здiйснювати пошук потрiбної функцiї.

Якраз таким шляхом поставлена задача була розв’язана для деяких найпростiших елементарних функцiй, i на цiй основi для класу рацiональних i деяких класiв iррацiональних та трансцендентних функцiй. А самим сильним результатом є те, що для будь-якої неперервної на промiжку функцiї f iснує функцiя F (яка не обов’язково елементарна) така, що F 0(x) = f(x).

Означення 15.1. Функцiя F (x) називається первiсною функцiєю (або просто первiсною, ще примiтивною або анти-

196

похiдною) функцiї f(x) на деякому промiжку, якщо у кожнiй точцi цього промiжку F (x) диференцiйовна i

F 0(x) = f(x).

Теорема 15.1. Якщо функцiя F (x) є первiсною функцiї f(x) на деякому промiжку, то множина

є множиною всiх первiсних для цiєї функцiї.

Доведення. Оскiльки для кожного елемента з множини (15.1) (F (x) + C)0 = F 0(x) = f(x), то кожен елемент цiєї множини є первiсною функцiї f(x). Якщо Φ(x) деяка первiсна функцiї f(x) (Φ(x) 6= F (x)), то очевидно, що (Φ(x) − F (x))0 = f(x) − f(x) = 0, тобто Φ(x) − F (x) = C. Звiдси випливає, що будь-яку первiсну Φ(x) функцiї f(x) можна подати у виглядi

Φ(x) = F (x) + C,

тобто Φ(x) є елементом множини (15.1).

Означення 15.2. Множина всiх первiсних функцiї f на деякому промiжку називається невизначеним iнтегралом функцiї f(x) на цьому промiжку i позначається

Z

f(x)dx.

Зтеореми 15.1 випливає, що коли F (x) є первiсною функцiї

f(x), то

Z

f(x)dx := {F (x) + C | C R}.

Однак у сучаснiй математицi використовується позначення

Z

f(x)dx = F (x) + C,

197

де C R. Так наприклад,

Z

cos xdx = sin x + C

множина всiх первiсних функцiй, а sin x + 1 конкретна первiсна (Л. Ейлер невизначений iнтеграл називав повним iнтегралом, а конкретну первiсну частковим iнтегралом).

Операцiя переходу вiд функцiї f(x) до первiсної F (x) або

R

невизначеного iнтеграла f(x)dx називається iнтегруванням, причому вiдшукання невизначеного iнтеграла зводиться до вiдшукання однiєї первiсної.

Z

З того, що f(x)dx = F (x) + C випливає, що

Z

df(x)dx = dF (x) = f(x),

ZZ

dF (x) = F 0(x)dx = F (x) + C,

тобто операцiї диференцiювання та iнтегрування взаємно оберненi, однак у другому випадку з точнiстю до константи.

Операцiя iнтегрування, як i операцiя диференцiювання, є лiнiйною, тобто якщо f1 i f2 мають первiснi на деякому промiжку, то на цьому промiжку має первiсну функцiя f1 + f2, причому

До основних правил iнтегрування також вiдносять метод iнтегрування частинами i метод замiни змiнної (метод пiдстановки).

198

Теорема 15.2. Якщо функцiї u(x) i v(x) диференцiйовнi

Доведення. Оскiльки за умовою функцiї u(x) i v(x) диференцiйовнi, то i добуток цих функцiй є диференцiйовна функцiя

i

(u(x)v(x))0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x).

Звiдси u(x)v0(x) = (u(x)v(x))0 −u0(x)v(x). Очевидно, що u(x)v(x)

є первiсна функцiї (u(x)v(x))0. Крiм того за умовою теореми функцiя u0(x)v(x) теж має первiсну. Тодi в силу (15.2) має первiсну функцiя u(x)v0(x), а отже,

Z Z

u(x)v0(x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0(x)dx.

Зауваження. Формулу (15.3) записують у виглядi

ZZ

uv0dx = uv − vu0dx.

Теорема 15.3. Нехай функцiї f(x) i ϕ(t) визначенi на деяких промiжках таких, що визначено складну функцiю f(ϕ(t)). Якщо функцiя f(x) має первiсну F (x), а функцiя ϕ(t) диференцiйовна, то функцiя f(ϕ(t))ϕ0(t) також має первiсну i

Z

199

Доведення. Оскiльки функцiя F (x) визначена на тому ж промiжку, що й функцiя f(x), то складна функцiя F (ϕ(t)) визначена i згiдно правила диференцiювання складної функцiї

Таким чином, функцiя f(ϕ(t))ϕ0(t) має своєю первiсною функцiю F (ϕ(t)). А, отже, має мiсце формула (15.4).

Зауваження. Формула (15.4) використовується при обчисленнi невизначених iнтегралiв у такий спосiб: якщо пiдiнтегральна функцiя може бути поданою у виглядi f(ϕ(t))ϕ0(t), прячому первiсна функцiї f(x) вiдома, то

Z Z

f(ϕ(t))ϕ0(t)dt = f(ϕ(t))dϕ(t) =

Z

=f(x)dx = F (x) + C = F (ϕ(t)) + C.

Нехай маємо рацiональний дрiб P (x), i нехай знаменник

Q(x)

Q(x) подано у виглядi

Q(x) = α0(x−x1)k1 · · · (x−xl)kl (x2 +p1x+q1)m1 · · · (x2 +prx+qr)mr ,

де α0 — коефiцiєнт при xn многочлена Q(x), x1, . . . , xl — дiйснi коренi многочлена Q(x) вiдповiдно кратностi k1, . . . , kl, x2 + p1x + q1, . . . , x2 + prx + qr — незвiднi над полем дiйсних чисел дiльники многочлена Q(x) (квадратнi тричлени з комплексними коренями) вiдповiдно кратностi m1, . . . , mr, k1 +k2 +· · ·+ kl +2m1 +2m2 +· · ·+2mr = n. Тодi цей рацiональний дрiб можна подати у виглядi

200