Matanaliz

lim f2(xn) = B. Вiзьмемо тепер довiльну послiдовнiсть (xn) то-

n→∞

чок з D(f1 + f2) таку, що n xn 6= x0 i lim xn = x0. Оскiльки

n→∞

D(f1 + f2) = D(f1) ∩ D(f2), то ця послiдовнiсть є одночасно послiдовнiстю точок з D(f1) i точок з D(f2). Тодi для неї вiдповiднi послiдовностi (f1(xn)), (f2(xn)) значень функцiй f1(xn) i f2(xn) збiгаються i

Отже, в силу теореми про границю суми послiдовностей маємо

lim f2(x) = B 6= 0 (випадок, коли A = B = 0 розгляньте са-

мостiйно). Оскiльки lim f1(x) = A, то в силу теореми 7.1 iснує

куля B(x0, δ1) i число M > 0, що x B(x0, δ1) ∩ D(f1) виконується нерiвнiсть |f1(x)| 6 M, i в силу означення 7.2 для

ε

ε > 0, зокрема для 2|B|, можна вказати δ2 > 0 таке, що для

всiх x D(f1), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ2, виконується нерiвнiсть

81

можна вказати δ3 > 0 таке, що для всiх x D(f2), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ3, виконується нерiвнiсть

ε

|f2(x) − B| < 2M .

Нехай δ = min(δ1, δ2, δ3). Тодi для всiх x D(f1f2), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ, виконуються одночасно три нерiвностi

А, отже, для всiх x D(f1f2), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ, маємо:

|(f1f2)(x) − AB| = |f1(x)f2(x) − AB| =

=|f1(x)f2(x) − f1(x)B + f1(x)B − AB| 6 6 |f1(x)f2(x) − f1(x)B| + |f1(x)B − AB| =

=|f1(x)||f2(x) − B| + |B||f1(x) − A| <

εε

<M 2M + |B|2|B| = ε.

Таким чином, для будь-якого ε > 0 ми вказали δ > 0 таке, щоx D(f1f2), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ, виконується нерiвнiсть |(f1f2)(x) − AB| < ε, а цей означає, що

lim (f1f2)(x) = AB.

x→x0

Що стосується операцiї композицiї (утворення складної функцiї), то тут обмежимось функцiями однiєї змiнної (у загальному випадку довелось би розглядати функцiї f i g, у яких

D(f) Rn, E(f) Rp, E(g) Rq.)

82

Теорема 7.3 (замiна змiнної для границь функцiї) Якщо

iснує lim f(x) = y0, причому у деякому околi точки x0 f(x) 6=

x→x0

y0 при x 6= x0, крiм того iснує lim g(y) = A, то iснує границя

y→y0

складної функцiї g(f(x)) i

lim g(f(x)) = lim g(y) = A.

x→x0 y→y0

Доведення. Тут будемо вважати, що функцiя f(x) визначена у кожнiй точцi iнтервалу (a, b) за винятком, можливо, точки x0, а функцiя g(y) визначена у кожнiй точцi iнтервалу (c, d), можли-

то iснує ε-окiл точки y0, тобто iнтервал (y0 − ε, y0 + ε), на якому функцiя g(y) визначена, за винятком, можливо, точки y0. А

оскiльки iснує lim f(x), то для такого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що

x→x0

з нерiвностi 0 < |x − x0| < δ випливає нерiвнiсть |f(x) − y0| < ε. Врахувавши, що f(x) 6= y0 при x 6= x0, робимо висновок, що на iнтервалi (x0 − δ, x0 + δ) за винятком, можливо, точки x0 визначено функцiю g(f(x)).

Вiзьмемо довiльну послiдовнiсть значень аргументу (xn) та-

ку, що xn (x0 −δ, x0 +δ), xn 6= x0 i lim xn = x0. Тодi вiдповiдна

n→∞

послiдовнiсть (f(xn)) значень функцiї f(x) має границею число y0. А оскiльки послiдовнiсть (f(xn)) є послiдовнiсть значень ар-

гументу функцiї g(y), причому n f(xn) 6= y0 i lim f(xn) = y0, то

n→∞

вiдповiдна послiдовнiсть (g(f(xn))) значень функцiї g(y) збiгає-

ться i lim g(f(xn)) = A. Таким чином, для довiльної послiдов-

n→∞

ностi значень аргументу (xn) такої, що n xn 6= x0 i lim xn = x0,

n→∞

вiдповiдна послiдовнiсть (g(f(xn))) значень функцiї g(f(x)) має границею число A. А це й означає, що

lim g(f(x)) = lim g(y) = A.

x→x0 y→y0

83

Для функцiї однiєї змiнної вводять поняття границi функцiї при x прямує до плюс нескiнченностi (вiдповiдно до мiнус нескiнченностi). Якщо функцiя f(x) визначена на промiжку (a, +∞), то говорять, що число A є границею функцiї f(x) на плюс нескiнченностi (записують lim f(x) = A), коли ε > 0

iснує δ > 0 таке, що для всiх x > δ виконується нерiвнiсть |f(x) − A| < ε. Якщо ж функцiя f(x) визначена на промiжку (−∞, a), то говорять, що число A є границею функцiї f(x) на мiнус нескiнченностi (записують lim f(x) = A), коли ε > 0

iснує δ > 0 таке, що для всiх x < −δ виконується нерiвнiсть |f(x)−A| < ε. Якщо lim f(x) = lim f(x) = A, то говорять про

iснування границi на нескiнченностi i записують lim f(x) = A.

x→∞

Вiдзначимо такий дуже важливий факт. Якщо функцiя f(x) сконструйована з базисних за допомогою п’яти операцiй (f(x) — елементарна функцiя) i x0 належить її природнiй областi визначення, то lim f(x) = f(x0). Що стосується поведiнки елемен-

тарних функцiй в околi точок, що є граничними для природної областi визначення, але їй не належать, або ж поведiнки функцiї на мiнус або плюс нескiнченностi, то тут слiд пам’ятати таке (таблиця границь функцiй):

84

85

Розв’язання. Нехай x (0, 2 ). Тодi очевидно (Рис. 3), що

для площ S1 трикутника AOB, S2 сектора AOB i S3 трикутника AOC можна записати S1 < S2 < S3 або

12R2 sin x < 12R2x < 12R2tg x,

де R — радiус сектора з центром у точцi O, x — величина кута

Вiднявши вiд кожної частини нерiвностi 1 i помноживши на −1,

86

Завдання для самоконтролю.

f = f1 ◦ f2 + f1 ◦ f3. Знайти її область визначення i множину значень.

2. Знайти область визначення функцiй

p

f(x, y) = (x2 + y2 − 1)(4 − x2 − y2),

z

f(x, y, z) = arccos p . x2 + y2

3.Довести, що коли функцiя f визначена i монотонна на iнтервалi (a; b), то дл x0 (a; b)

4.Знайти ту точку, у якiй функцiя y = lg3 x − 3 lg2 x + 7 lg x має границю число 5.

5.Довести, що

7. Знайти границi

8. Довести, що для функцiї

x2y2

f(x, y) = x2 + y2 + (x − y)2

i для будь-якого α [0, 1] iснує множина Eα така, що

lim f(x, y) = α. x → 0

y → 0 (x, y) Eα

89

8ЛЕКЦIЯ: Неперервнiсть функцiй n дiйсних змiн-

них

Неперервнiсть функцiї n дiйсних змiнних у точцi. Основнi властивостi неперервних функцiй. Властивостi функцiй, неперервних на обмеженiй замкненiй множинi (на компактi). Рiвномiрна неперервнiсть функцiї.

Лiтература. [1], ч. 2, с. 20–27; [2], ч. 1, с. 160–178, 424–429; [3], т. 1, с. 84–96, 270–283. [9], ч. 2, с. 89–92.

Неперервнiсть є одним з наважливiших понять математичного аналiзу (i не тiльки його). Цей термiн стосовно певних множин (i тодi його синонiмом є термiн „повнота“) виражає неможливiсть поповнити такi множини новими елементами з допомогою граничного переходу (неперервнiсть множини дiйсних чисел, повнота метричного простору). Стосовно функцiї f(x) вiн виражає локальну властивiсть, сутнiсть якої у тому, що для близьких до точки x0 значень аргумента, вiдповiднi значення функцiї будуть близькими до f(x0) — значення функцiї у точцi x0 .

Нехай маємо функцiю n дiйсних змiнних

f(x) = f(x1, x2, . . . , xn)

визначену на множинi E (E Rn), i нехай

x0 = (x01, x02, . . . , x0n)

точка з цiєї множини.

Означення 8.1. Функцiя f(x) називається неперервною у точцi x0, якщо для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх x E, якi задовольняють нерiвнiсть d(x0, x) < δ, виконується нерiвнiсть |f(x) − f(x0)| < ε.

90