Matanaliz

У першiй множина R — множина всiх можливих нескiнченних десяткових дробiв за винятком тих, у яких 9 є перiодом, у другiй множина R — множина розрiзiв множини Q, у третiй — фактор-множина, що породжується вiдношенням еквiвалентностi на множинi фундаментальних послiдовностей рацiональних чисел. Зрозумiло, що найбiльш практична є модель Вейєрштрасса, яка дозволяє ототожнювати дiйснi числа з послiдовностями їх наближень (наприклад, десятковими дробами). Якраз на цiй моделi базуються фрагменти теорiї дiйсних чисел у шкiльному курсi математики.

Основне мiсце в аксiоматицi посiдає аксiома неперервностi (властивiсть повноти множини R). Якраз вона виводить за межi алгебри i дозволяє ввести основну неалгебраїчну операцiю — граничний перехiд, а з геометричної точки зору означає можливiсть встановити взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж множиною R i множиною точок числової (координатної) прямої, тобто геометризувати множину R. Як наслiдок, ми дiстаємо чудову геометричну iнтерпретацiю вiдношення порядку, означаємо вiдстань мiж числами (точками), яка добре узгоджується з поняттям вiдстанi на прямiй.

Властивiсть неперервностi може бутя вираженою iншими (еквiвалентними аксiомi VI) способами, наприклад, через поняття нижньої i верхньої гранi (пiдхiд Вейерштрасса).

Оскiльки множина R надiлена лiнiйним порядком 6, (а, отже, i лiнiйними порядками <, >, >), то в очевидний спосiб означається поняття множини обмеженої зверху (знизу), найбiльшого i найменшого елемента. А саме, множина X (X R) називається обмеженою зверху (знизу), якщо iснує таке дiйсне число a, що для всiх x X виконується нерiвнiсть x 6 a (a 6 x). Природно множину обмежену як знизу так i зверху називати обмеженою, iншими словами, множина X — обмежена, якщо iснують дiйснi числа a i b такi, що для всiх x X a 6 x 6 b. Мiж iншим зауважимо, що з огляду на геометричне

11

подання множини R природно говорити про обмеженiсть злiва (обмеженiсть справа). Елемент (число) a X будемо називати мiнiмальним (найменшим) елементом множини X, якщо a 6 x для будь-якого x X, а елемент (число) b X будемо називати максимальним (найбiльшим) елементом множини X, якщо x 6 b для будь-якого x X.

З геометричної точки зору зрозумiло, що коли множина X має мiнiмальний (максимальний) елемент, то вiн єдиний, бо ж мiнiмальний це сама лiва точка на числовiй прямiй, а максимальний це сама права точка. У рамках аксiоматичної теорiї цей факт необхiдно доводити.

Теорема 1.1. Якщо множина X має мiнiмальний (максимальний) елемент, то вiн єдиний.

Доведення. Припустимо, що iснує множина дiйсних чисел X, яка має принаймнi два рiзних мiнiмальних елементи, тобто iснують такi два елементи a1 i a2 (a1 6= a2), що для всiх x X a1 6 x i a2 6 x. Але тодi з того, що a1 мiнiмальний елемент множини X i a2 X, випливає, що a1 6 a2, а з того, що a2 мiнiмальний елемент множини X i a1 X, випливає, що a2 6 a1. Таким чином маємо два числа a1 i a2, для яких a1 6 a2 i a2 6 a1. В силу другої аксiоми порядку маємо, що a1 = a2. Останнє суперечить припущенню. Отже, не iснує непорожньої пiдмножини множини R, яка б мала бiльше одного мiнiмального елемента.

Нехай маємо непорожню множину X.

Означення 1.1. Число a називається нижньою (верхньою) гранню множини X, якщо:

1.для будь-якого x X a 6 x (x 6 a),

2.для будь-якого числа a0 > a (a0 < a) iснує хоча би один елемент x0 X такий, що x0 < a0 (x0 > a0).

Позначається inf X — нижня грань, а sup X — верхня грань множини X.

12

Приклад 1. У якому вiдношеннi знаходиться дiйсне число a (нижня межа, верхня межа, найменший елемент, найбiльший елемент, нижня грань, верхня грань) стосовно множини всiх тих

дiйсних чисел, подання яких нескiнченними десятковими дро-

√ √

бами починається так 1, 41 . . ., якщо a = 2; 1, 41; 3122 ; 1, 42; 3. Розв’язання. Нехай X — множина всiх тих дiйсних чисел, подання яких у виглядi нескiнченного десяткового дробу має цiлою частиною 1, а√першi двi цифри пiсля коми 4 i 1. Тодi

виходячи з подання 2 = 1, 414213 . . . , 1, 41 = 1, 41000 . . . , 31 =

√ 22

1, 4090909 . . . , 1, 42 = 1, 42000 . . . , 3 = 1, 73205 . . . i означення вiдношення < у множинi нескiнченних десяткових дробiв, у

яких 9 не є перiодом, робимо висновок, що 1,41 — нижня грань,

√

3122 —нижня межа, 1,42 — верхня грань, 3 — верхня межа множини X, причому inf X X, sup X 6 X. Отже, X має найменший елемент, але немає найбiльшого елемента.

Приклад 2. Знайти найменший i найбiльший елементи (якщо вони є) множини площ всiх можливих трикутникiв описаних навколо кола радiуса r.

Розв’язання. Нехай у трикутнику, описаному навколо кола радiуса r, два кути вiдповiдно дорiвнюють α i β (Рис. 1).

Тодi площа описаного трикутника залежить вiд того, якими будуть кути α i β, тобто є функцiєю змiнних α i β. Позначимо її S(α, β).

Рис. 1

Оскiльки S(α, β) = rp = r(rctgα2 + rctgβ2 + rctg(π2 − α2 − β2 )) = r2(ctgα2 + ctgβ2 + tg(α2 + β2 )), то задача зводиться до знаходження

найменшого та найбiльшого значення функцiї S(α, β) при умовi α > 0, β > 0, α + β < π. Якщо якийсь iз кутiв буде прямувати до нуля, то, очевидно, що площi вiдповiдних трикутникiв бу-

13

дуть нескiнчено зростати, i нiяке число не може бути верхньою гранню множини площ трикутникiв, описаних навколо заданого кола. Таким чином, ця множина необмежена зверху i верхньої гранi, а, отже, найбiльшого значення, немає. iз системи

дiстаємо sin2 α2 = sin2 β2 . А оскiльки 0 < α2 < π2 ,0 < β2 < π2 , то остання рiвнiсть виконується тiльки при α = β. Тодi з рiвняння cos2 α − sin2 α2 = 0 i заданих умов дiстанемо, що α = β = π3 . Таким чином, функцiя S(α, β) досягає мiнiмуму у точцi (π3 , π3 ) i мiнiмальне значення це площа рiвносторонього трикутника,

описаного навколо кола радiуса r. Звiдси маємо, що найменшим

√

елементом заданої множини є число 3 3r2.

Очевидно, що не кожна навiть обмежена множина має найменший i найбiльший елемент. А от питання iснування нижньої i верхньої гранi вiдразу знiмається, якщо є iнформацiя про обмеженiсть множини.

Теорема 1.2. Кожна непорожня обмежена зверху множина дiйсних чисел має точну верхню грань, причому вона єдина.

Доведення. Нехай X R обмежена зверху множина дiйсних чисел, а Y = {y | y R ( x X)(x 6 y)} — множина всiх верхнiх меж множини X. Цi множини непорожнi i ( x X)( y Y )(x 6 y). Тодi за аксiомою неперервностi iснує число c таке, що ( x X)( y Y )(x 6 c 6 y). Оскiльки для будь-якого x X x 6 c, то c Y , а оскiльки для будь-якого

14

y Y c 6 y, то c — мiнiмальний елемент множини Y . А найменша межа множини X i є її верхньою гранню. єдинiсть верхньої гранi випливає з єдиностi мiнiмального елемента множини Y . Доведення того факту, що кожна непорожня обмежена знизу

множина має єдину нижню грань, проводиться так саме. Виявляється, що теорема 1.2 рiвноцiнна аксiомi неперервно-

стi, тобто коли замiсть аксiоми VI прийняти аксiому

VI0. Будь-яка непорожня обмежена зверху множина має точну верхню грань, то можна довести таку теорему:

Теорема 1.3. Якщо X i Y — непорожнi пiдмножини множини R такi, що для будь-яких x X i y Y виконується нерiвнiсть x 6 y, то iснує таке c R, що x 6 c 6 y для довiльних x X i y Y .

Доведення. Нехай X i Y — непорожнi множини такi, щоx X i y Y x 6 y. Тодi множина X обмежена зверху, а, отже, має верхню грань. Покажемо, що x X i y Y x 6 sup X 6 y. Справдi, якщо Z = {z | z R ( x X)(x 6 z)}, то sup X = min Z, а оскiльки Y Z, то для будь-якого y Y min Z 6 y. Отже, sup X є якраз тим числом, що x 6 sup X 6 y для будь-яких x X i y Y .

Якщо за аксiому неперервностi прийняти аксiому VI, то кажуть, що неперервнiсть множини дiйсних чисел означена за Дедекiндом, якщо ж — аксiому VI0, то за Вейерштрассом.

Нарештi, якщо у множинi R видiлити множину натуральних чисел N, як найменшу iндуктивну множину (множину, яка з кожним числом x, що їй належить, мiстить число x + 1), яка мiстить 1, то неперервнiсть множини R можна охарактеризувати такими двома аксiомами.

Аксiома Архiмеда. Для будь-якого дiйсного числа x iснує натуральне число n таке, що n > x.

15

Аксiома Кантора. Для будь-якої системи вкладених вiдрiзкiв [a1, b1], [a2, b2], . . . , [an, bn], . . ., де

a1 6 a2 6 . . . 6 an 6 . . . 6 bn 6 . . . 6 b2 6 b1,

iснує хоча би одне число, яке належить всiм вiдрiзкам.

Якщо на систему вкладених вiдрiзкiв накласти додаткову вимогу, щоб вона була стяжною ( ε > 0 n0 такий, що n > n0 bn − an < ε), то легко показати, що тодi iснує єдина точка, що належить всiм вiдрiзкам системи.

Якраз у такому виглядi цей факт широко використовується в аналiзi.

Пiдсумовуючи, пiдкреслимо, що властивiсть неперервностi множини R повсюди використовується на практицi. Властивiсть неперервностi множини дiйсних чисел виражає собою об’єктивну впевненiсть у тому, що вимiрювана величина має певне значення, яке знаходиться мiж її наближеними значеннями, обрахованими з недостачею i надлишком [3, т. 1, с. 19]. Як цими значеннями розпорядитись дає вiдповiдь закон великих чисел.

Поняття верхньої i нижньої граней вiдiграють провiдну роль у терiї iнтегрування, а особливо у теорiї мiри.

Завдання для самоконтролю.

1.Як означити поняття обмеженої множини з допомогою поняття абсолютної величини (модуля) дiйсного числа? Доведiть еквiвалентнiсть сформульованого вами означення з означенням, приведеним у текстi.

2.Сформулюйте теорему про єдинiсть максимального елемента.

3.Якщо кожне число a таке, що для будь-якого елемента x X a 6 x, назвати нижньою межею множини X, а кожне число b таке, що для будь-якого елемента x X x 6 b,

16

назвати верхньою межею множини X, то яким чином через цi термiни можна означити inf X i sup X?

4. Знайти гранi (якщо вони є) множини

5.Знайти найменший i найбiльший елементи (якщо вони є) множини площ трикутникiв, вписаних у коло радiуса R.

6.Довести, що якщо X, Y — непорожнi обмеженi множини,

то

7.Знайти найменший i найбiльший елементи (якщо вони є) множини

1

{x | logx2+1 3|x + 1| < 0}.

8.Як змiниться висновок теореми про стяжну систему вкладених вiдрiзкiв, якщо залишити тiльки вимогу про вкладенiсть вiдрiзкiв?

9.Чи справедливим буде твердження про те, що будь-яка система вкладених iнтервалiв має непорожнiй перетин?

10.Якi числовi множини видiляються такими характеристичними властивостями:

а) ( M R)( a A)(a 6 M),

б) ( M R)( a A)(a 6 M),

в) ( M R)( a A)(a 6 M),

17

г) ( M R)( a A)(a 6 M),

д) ( a A)( M R)(a 6 M),

е) ( a A)( M R)(a 6 M),

є) ( a A)( M R)(a 6 M),

ж) ( a A)( M R)(a 6 M).

18

2ЛЕКЦIЯ: Множина комплексних чисел

Аксiоматика множини комплексних чисел. Тригонометрична i показникова форми комплексного числа. Топологiя у полi C.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 201–206; [3], т. 1, с. 327–335; [4], с. 4–12.

Iсторiя комплесних чисел розпочинається з 16 ст. коли iталiйськi математики Джiроламо Кардано (1501–1576) i Рафаель

Бомбелi (бiля 1530–1573), розв’язуючи квадратнi рiвняння, ско-

√

ристались символами −1 ( формальний розв’язок рiвняння

√

x2 + 1 = 0) i b −1 (формальний розв’язок рiвняння x2 + b2 = 0). Однак коли перший вважав такi символи непридатними для використання, то другий побачив їх користь при розв’язуваннi кубiчних рiвнянь (коли дiйснi коренi виражаються через кубiчнi коренi з уявних величин).

Незважаючи на опiр, який чинили математики 17 i навiть 18 столiть наданню статусу чисел уявним величинам, такi величини набували все ширшого i ширшого вжитку. Так Жирар (1629) i Декарт (1637) встановили, що коли використовувати уявнi величини, то алгебраїчне рiвняння має стiльки коренiв, яким є його степiнь. У 18 ст. крiм алгебри уявнi величини знайшли саме безпосереднє застосування в аналiзi. Лейбнiц, Iоган Бернуллi, Д’Аламбер, Ейлер не тiльки користувались цими величинами, але й функцiями таких величин. Знаменитi формули Ейлера

(тут у Ейлера i — нескiнченно велике число, i — перша лiте-

19