Matanaliz

саме, якщо, наприклад, вiдомо, що функцiя f(x) неперерв-

на кожному з iнтервалiв (a, x1), (x1, x2), . . . , (xn, b) по точцi i визначивши знак функцiї у кожнiй такiй точцi, робимо висновок про знак функцiї на кожному з iнтервалiв. Якраз цей факт використовується при розв’язаннi нерiвностей методом iнтервалiв.

На закiнчення з класу неперервних функцiй n змiнних видiлимо клас так званих рiвномiрно неперервних функцiй.

Означення 8.3. Функцiя f(x) називається рiвномiрно неперервною на множинi E (E Rn), якщо для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для будь-яких x1, x2 E, якi задовольняютiь нерiвнiсть d(x1, x2) < δ, виконується нерiвнiсть

|f(x1) − f(x2)| < ε.

Насамперед очевидно, що кожна рiвномiрно неперервна на E функцiя є неперервною на цiй множинi. А от не всяка неперервна функцiя є рiвномiрно неперервною. Наприклад, неперервна, але необмежена на E функцiя не є рiвномiрно неперервною. Можна привести приклади неперервних i обмежених функцiй, якi не є рiвномiрно неперервними (sin x2, cos x2).

Разом з тим можна видiлити клас неперервних функцiй, якi будуть рiвномiрно неперервними.

Теорема Кантора. Якщо функцiя f(x) неперервна на обмеженiй замкненiй множинi, то вона рiвномiрно неперервна на цiй множинi.

Для функцiї однiєї змiнної цей результат формулюється так:

Будь-яка неперервна на вiдрiзку функцiя рiвномiрно неперервна на ньому.

Якраз останнiй результат i дозволяє встановити, що будь-яка неперервна на вiдрiзку [a, b] функцiя f(x) iнтегровна на цьому

101

вiдрiзку.

Завдання для самоконтролю.

1.Означити для функцiї однiєї змiнної лiвостороню i правостороню неперервнiсть i сформулювати через цi термiни необхiдну i достатну умову неперервностi функцiї у точцi. На пiдставi цього охарактеризувати, у який спосiб може порушуватись неперервнiсть функцiї у точцi.

2.Дослiдити на неперервнiсть функцiї

p

f1(x) = − sin2 x; f2(x) = {x}; f3(x, y) = ln(x2 + y2 − 4);

0, якщо x + y = 0.

3.Побудувати числову функцiю визначену на R, але неперервну а) тiльки в однiй точцi, б) тiльки у двох точках, в) тiльки у точках множини Z.

4.Дослiдити на знак функцiю

f(x, y) = x2 − y2 + 2y − 1.

5. Знайти найбiльше i найменше значення функцiї f(x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2

на множинi E = {(x, y)| max(|x|, |y|) 6 1}. 6. Якi з функцiй

102

9ЛЕКЦIЯ: Границя i неперервнiсть функцiї ком-

плексної змiнної

Поняття функцiї комплексної змiнної i її подання через функцiї двох дiйсних змiнних. Границя функцiї комплексної змiнної та властивостi. Неперервнiсть функцiї комплексної змiнної та властивостi.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 217–230; [4], с. 25–29. [9], ч. 2, с. 319–326.

Загальне означення функцiї як вiдповiдностi, яка кожному елементу однiєї множини вiдносить один елемент другої множини, чiтко обумовлює її однозначнiсть. Ця риса зберiгається за функцiями однiєї i багатьох дiйсних змiнних. А от в аналiзi функцiй комплексної змiнної виникає потреба розглядати не тiльки однозначнi, але й багатозначнi функцiї.

Нехай D i E є пiдмножини множини комплексних чисел C.

Означення 9.1. Вiдповiднiсть f, яка кожному комплексному числу з множини D вiдносить одне комплексне число з множини E називається однозначною функцiєю комплексної змiнної i позначається w = f(z).

Якщо ж вiдповiднiсть f кожному комплексному числу з множини D вiдносить бiльше одного комплексного числа, то f називається багатозначною функцiєю комплексної змiнної. Позначення залишається теж саме.

Наприклад, вiдповiднiсть, яка кожному комплексному числу z з C вiдносить його квадрат z2 є однозначною функцiєю w = z2, визначеною на множинi C. А оскiльки корiнь n-го степеня з комплексного числа z (z 6= 0) має n рiзних значень

103

p

де n |z| — арифметичний корiнь, k = 0, 1, . . . , n − 1, то вiдповiднiсть, яка z = 0 вiдносить одне число, а числу z 6= 0 —

n значень кореня n-го степеня з цього числа є багатозначною

√

(n-значною) функцiєю w = n z. Бiльше того розглядаються нескiнченнозначнi функцiї комплексної змiнної. Такими є, наприклад, функцiя w = Arg z, визначена для всiх z 6= 0, значеннями якої для кожного z є зчисленна множина дiйсних чисел {arg z + 2πk | k Z}, є нескiнченнозначною. Такою ж є функцiя w = Ln z, яка визначена для всiх z 6= 0 i значеннями її для кожного z є зчисленна множина комплексних чисел

{ln |z| + i(arg z + 2πk) | k Z}.

Оскiльки аналiз багатозначних функцiй зводиться до аналiзу однозначних (видiлення окремих гiлок, використання рiманових поверхонь), то у подальшому ми будемо вести мову тiльки про однозначнi функцiї.

Нехай маємо функцiю w = f(z) визначену на областi G (G — вiдкрита, зв’язна множина). Якщо покласти z = x + iy, w = u + iv, то той факт, що кожному комплексному числу z з областi G поставлено у вiдповiднiсть комплексне число f(z), можна виразити так:„кожнiй точцi z з областi G, яка має координати x, y, поставлено у вiдповiднiсть пару дiйсних чисел u i v, якi є координатами точки f(z)“. А це означає, що задано вiдображення областi G (G R2) в R2, що еквiвалентно заданню двох функцiй двох змiнних, тобто f(z) можна подати у виглядi

f(z) = u(x, y) + iv(x, y),

де функцiї u(x, y) i v(x, y) визначенi в областi G площини дiйсних змiнних x, y, яка вiдповiдає областi G комплексної площини. Функцiю u(x, y) називають дiйсною, а функцiю v(x, y) — уявною частиною функцiї w = f(z).

Наприклад, для функцiй

w = z2, w = iz + 2i + 1, w = ez, w = cos z, w = sin z z + i

104

мають мiсце вiдповiдно подання

x2 + y2 + 2y + 1 x2 + y2 + 2y + 1 w = ex(cos y + i sin y),

w = cos xch y − i sin xsh y, w = sin xch y + i cos xsh y.

Зауважимо, що у багатьох випадках зрозумiти характер поведiнки функцiї комплексної змiнної допомагає геометричне подання образiв певних кривих i областей при вiдображеннi, що задаються цiєю функцiєю. З цiєю метою на площинi комплексної змiнної z (площинi (z)) задають деяку криву або область (як правило, обмежену певною кривою) i будують образ кривої або областi при вiдображеннi f(z) на другому примiрнику комплексної площини (площини (w)).

Наприклад, функцiя

w = z − i z + i

вiдображає коло {z | |z| = 1} на пряму Re w = 0, а функцiя

w = eπ(1−i)z

вiдображає смугу, обмежену прямими y = x, y = x+1, на верхню пiвплощину.

Нехай функцiя w = f(z) визначена у деякому околi точки z0, крiм можливо, самої точки z0.

Означення 9.2. Комплексне число A називається границею функцiї f у точцi z0, якщо для будь-якого ε > 0 iснує

105

δ > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z − z0| < δ, виконується нерiвнiсть

|f(z) − A| < ε.

Позначається lim f(z) = A.

z→z0

Оскiльки околом нескiнченно вiддаленої точки z0 = ∞ є множина точок {z | |z| > M, M > 0}, то число A називається границею функцiї f(z), визначенної у деякому околi точки ∞, при z → ∞, якщо для будь-якого ε > 0 iснує M > 0, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть |z| > M, виконується нерiвнiсть

|f(z) − A| < ε. Позначається lim f(z) = A. i, нарештi, коли

z→∞

для будь-якого M > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z−z0| < δ, виконується нерiвнiсть |f(z)| > M, то говорять, що невласне комплексне число ∞ є

границею функцiї f(z) у точцi z0 i позначається lim f(z) = ∞.

z→z0

Означення границi функцiї комплексної змiнної у точцi не вiдрiзняється вiд означення границi функцiї однiєї дiйсної змiнної, а, точнiше, це означення границi функцiї, яка вiдображає один метричний простiр в iнший. Тому зрозумiло, що всi тi властивостi, якi мають мiсце для границь вiдображень метричних просторiв автоматично переносяться на границi функцiй комплексної змiнної. (Звичайно у них не може фiгурувати невласне комплексне число ∞, бо у довiльному метричному просторi такої точки немає). Наприклад, мають мiсце теореми.

Теорема 9.1. Якщо функцiя f(z) має границю у точцi z0, то вона єдина, а сама функцiя обмежена у деякому околi цiєї точки.

З другого боку, поле комплексних чисел C є розширенням поля дiйсних чисел R iз збереженням цiлого ряду властивостей. Тому вiдповiднi властивостi функцiй, якi мають границi однiєї дiйсної змiнної переносяться на функцiї комплексної змiнної.

106

Теорема 9.2. Якщо функцiї f(z) i g(z) у точцi z0 мають

Зрозумiло, що цi теореми доводяться , спираючись на означення границi. Як приклад, доведемо, що

lim (fg)(z) = lim f(z) lim g(z).

z→z0 z→z0 z→z0

Справдi, оскiльки g(z) у точцi z0 має границю, то вона обмежена у деякому околi цiєї точки. Тобто iснують такi числа M > 0 i δ1 > 0, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z−z0| < δ1 |g(z)| 6 M. Тодi в силу того, що lim f(z) = A, для будь-

якого ε > 0, зокрема для 2Mε , iснує δ2 > 0, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z − z0| < δ2, виконується

δ3 > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 <

107

|z − z0| < δ3, виконується нерiвнiсть

ε

|g(z) − B| < 2(|A| + 1).

Якщо обрати δ0 = min(δ1, δ2, δ3), то для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z − z0| < δ0, виконуються всi три нерiвностi:

Таким чином, показано, що ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z − z0| < δ, виконується нерiвнiсть |(fg)(z) − AB| < ε. А це й означає, що lim (fg)(z) = lim f(z) lim g(z).

Разом з тим, враховуючи специфiку структури функцiї комплексної змiнної, можна звести проблему iснування i знаходження границi функцiї комплексної змiнної до розв’язання такої проблеми для функцiй u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z).

Теорема 9.3. Для того щоб функцiя f(z) = u(x, y)+iv(x, y) мала границю у точцi z0 = x0 + iy0 число A = a + bi, необхiдно i досить, щоб функцiї u(x, y) i v(x, y) мали границями у точцi (x0, y0) вiдповiдно числа a i b.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай lim f(z) = a + bi. Тодi

z→z0

для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < |z−z0| < δ, виконується нерiвнiсть

|f(z) − A| < ε.

108

Якщо 0 < |z − z0| < δ, тобто

p

0 < (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ,

то для вiдповiдних точок (x, y) площини R2 виконується нерiвнiсть

0 < d ((x, y), (x0, y0)) < δ,

i для таких точок

p

|u(x, y) − a| = (u(x, y) − a)2 6

p

6(u(x, y) − a)2 + (v(x, y) − b)2 =

= |u(x, y) + iv(x, y) − (a + ib)| = |f(z) − A| < ε.

Отже, для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх точок (x, y), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d ((x, y), (x0, y0)) < δ, виконується нерiвнiсть |u(x, y) − a| < ε. А це й означає, що

lim u(x, y) = a. x → x0

y → y0

Точно так саме доводиться, що

lim v(x, y) = b. x → x0

y → y0

109