Matanaliz

Приклад 2. Знайти

4

Z|x − 1|dx

|x − 2| + |x − 3|.

0

Розв’язання.

4

Z|x − 1|dx

|x − 2| + |x − 3| =

=2 + 94 ln 3 − 34 ln 5.

3.На основi правила диференцiювання добутку функцiй

dxd (u(x)v(x)) = dudxv(x) + u(x)dxdv

221

можна сформулювати правило iнтегрування частинами для визначеного iнтеграла (або ж на основi правила iнтегрування частинами для невизначеного iнтеграла). А саме, якщо на вiдрiзку [a; b] функцiї u i v неперервнi разом з своїми похiдними, то

Очевидно, щоб застосувати це правило при обчисленнi iнтеграла

b

Z

f(x)dx,

a

треба подати спочатку функцiю f у виглядi uv0 так, щоб можна було знайти первiсну для функцiї u0v.

4. На основi правила диференцiювання композицiї функцiй

dtd (f(ϕ(t))) = f0(ϕ(t))ϕ0(t)

можна сформулювати правило замiни змiнної у визначеному iнтегралi. А саме, якщо функцiя ϕ визначена i неперервно диференцiйовна на вiдрiзку [α; β], ϕ([α; β]) = [a, b], ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, то для будь-якої неперервної на вiдрiзку [a; b] функцiї f функцiя f(ϕ(t))ϕ0(t) неперервна на вiдрiзку [α; β] i

bβ

ZZ

f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ0(t).

aα

5.При обчисленнi визначеного iнтеграла

b

Z

f(x)dx

a

222

можна скористатись розкладом функцiї f(x) у степеневий ряд i звести задачу до задачi знаходження суми числового ряду.

1 , якщо x = 0

неперервна на вiдрiзку [0; 0, 2], а отже, iнтегровна на ньому. Проте її первiсну не можна подати у скiнченному виглядi через елементарнi функцiї. Разом з тим

n=1

причому останнiй ряд рiвномiрно збiгається на вiдрiзку [0; 0, 2]. Тодi

Дiстали ряд лейбнiцевого типу. Тодi число членiв ряду, яке гарантує задану точнiсть, визначаємо з нерiвностi

0, 22n−1 < 10−4. (2n − 1)!(2n − 1)

223

6. Нарештi приведемо основнi методи чисельного iнтегрування (їх називають квадратурними формулами), ототожнюючи iнтеграл з площею вiдповiдної криволiнiйної трапецiї.

Нехай функцiя y = f(x) визначена i iнтегровна на вiдрiзку

b − a

[a; b] i нехай h = n , xk = a+ kh, yk = f(xk), де k = 0, 1, . . . , n. Тодi за формулою прямокутникiв

b

Z n

X

f(x)dx = h yk + R1,

ak=1

де у випадку, коли функцiя f має неперервну першу похiдну

за формулою трапецiй

224

де у випадку, коли функцiя f має неперервну другу похiдну,

за формулою Сiмпсона (формулою парабол)

b

Z

h

f(x)dx = 3 (y0 + yn + 4(y1 + y3 + · · · + yn−1)+

a

+ 2(y2 + y4 + · · · + yn−2) + R3,

де n — парне i у випадку, коли функцiя f має неперервну четверту похiдну,

225

Основним методом обчислення подвiйних i потрiйних iнтегралiв в рамках вузiвської програми є зведення до повторних iнтегралiв.

7. Нехай функцiя z = f(x, y) iнтегровна на прямокутнику Π = {(x, y) | a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}, причому для кожного x [a; b] функцiя f(x, y) як функцiя змiнної y iнтегровна на вiдрiзку [c; d]. Тодi має мiсце рiвнiсть

8. Нехай маємо область G. Будемо називати її елементарною вiдносно осi Oy, якщо

G = {(x, y) | a 6 x 6 b, α(x) 6 y 6 β(x)},

де α(x) i β(x) — визначенi i неперервнi на вiдрiзку [a; b] функцiї. Аналогiчно область G будемо називати елементарною вiдносно осi Ox, якщо

G = {(x, y) | c 6 y 6 d, γ(y) 6 x 6 δ(x)},

де γ(y), δ(y) — неперервнi на вiдрiзку [c; d] функцiї.

Якщо функцiя z = f(x, y) неперервна на елементарнiй вiдносно осi Oy областi

G = {(x, y) | a 6 x 6 b, α(x) 6 y 6 β(x)},

то

Аналогiчно для елементарної вiдносно осi Ox областi G

226

ZZ

Приклад 4. Обчислити (x + 1)dxdy, де

G

G = {(x, y) | x2 + y2 6 8 − 2y}.

Розв’язання. Очевидно, що область G є круг з центром у точцi M0(0, −1) радiусом 3, тобто область G є елементарною як вiдносно осi Oy так i осi Ox. Подамо область G у виглядi

pp

G = {(x, y) | − 4 6 y 6 2, − 8 − y2 − 2y 6 x 6 8 − y2 − 2y}.

Тодi

√

де t = 3 sin u, dt = 3 cos udu.

Завдання для самоконтролю.

1. Користуючись означенням визначеного iнтеграла, обчисли-

227

2. Обчислити визначенi iнтеграли

3.Проаналiзувати, як саме вводиться i як обчислюється визначений iнтеграл у шкiльному пiдручнику.

4.Обчислити подвiйнi iнтеграли:

ZZ

a)xdxdy, де G — область, межею якої є крива

G

x2 + y2 = 4x − 2y + 4,

ZZ

б) (x + y)dxdy, де G — область, обмежена лiнiями

G

y2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12,

ZZ

в) e−x2−y2 dxdy, де G — область, обмежена кривою

G

x2 + y2 = r2.

5.Сформулюйте ознаку Дарбу iнтегровностi функцiї трьох змiнних, визначеної i обмеженої на паралелепiпедi Π. Доведiть на її основi, що неперервна на паралепiпедi Π функцiя f(x, y, z) iнтегровна на ньому.

228

6. Обчислити потрiйнi iнтеграли:

229

17 ЛЕКЦIЯ: Криволiнiйнi iнтеграли

Поняття криволiнiйного iнтеграла для функцiї дiйсних змiнних та функцiї комплексної змiнної. Умови iснування. Методи обчислення.

Лiтература. [1], ч. 2, с. 169–185; [3], т. 2, с. 119–129; [4], с. 108–115, 133–137; [9], ч. 2, с. 181–200.

Поняття одномiрного визначеного iнтеграла для функцiї однiєї змiнної, визначеної на вiдрiзку, можна перенести на функцiю двох (трьох) змiнних, визначену на плоскiй (просторовiй) кривiй. Це означає, що в другому випадку ми будемо дiяти у такий саме спосiб, яким було введено поняття iнтеграла для функцiї однiєї змiнної. Такого типу iнтеграли прийнято називати криволiнiйними iнтегралами.

Нехай маємо спрямлювану (криву, яка має довжину) плоску криву , задану параметрично рiвняннями

x = ϕ(t), y = ψ(t), (α 6 t 6 β),

причому будемо припускати, що крива немає точок самоперетину i не є замкненою, тобто точки A(ϕ(α), ψ(α)) (початок кривої) i B(ϕ(β), ψ(β)) (кiнець кривої) — рiзнi. Припустимо також, що на цiй кривiй визначена функцiя f(x, y). Нехай

τ = {t0, t1, . . . , tn},

де α = t0 < t1 < · · · < tn = β, розбиття вiдрiзка [α, β] на частини. Тодi кожнiй точцi ti (i = 0, 1, . . . , n) вiдповiдає точка Mi(ϕ(ti), ψ(ti)) кривої . Будемо говорити, що множина точок T = {M0, M1, . . . , Mn} задає розбиття кривої L на n елементарних

Рис. 10

230