Matanaliz

Ще одна iз важливих властивостей аналiтичних функцiй виражається так: якщо функцiї f1(z) i f2(z) однозначнi аналiтичнi в областi D i приймають рiвнi значення у кожнiй точцi множини E (E D) такої, що хоч одна (скiнченна) гранична для неї точка належить D, то f1(z) = f2(z) для всiх z D.

Нарештi, поняття аналiтичної функцiї дозволила Карлу Вейєрштрассу по-новому пiдiйти до означення функцiї, розглядаючи однозначну аналiтичну функцiю iз заданою областю визначення як вiдправний елемент для побудови функцiї, означеної на заданiй кривiй.

Як приклад, розглянемо логарифмiчну функцiю. Оскiльки функцiя z1 аналiтична у кожнiй точцi z C, крiм точки z = 0,

то iнтеграл

z

Z

dζζ ,

1

визначенний у будь-якiй обмеженiй, однозв’язнiй областi, яка не мiстить точки ζ = 0, причому цей iнтеграл не залежить вiд шляху iнтегрування, а тiльки вiд точки z.

Вiдповiднiсть, яка кожному z D, де D — обмежена, однозв’язна область, що не мiстить точки z = 0, є аналiтична у цiй областi функцiя. Якраз її i вiзьмемо за вiдправний елемент функцiї Ln z i позначимо

Вiдправний елемент ln z можна аналiтично продовжити вздовж будь-якої кривої з початком у точцi ζ = 1, що не проходить через точку ζ = 0, а у розширенiй комплекснiй площинi i через точку ζ = ∞. Результатом аналiтичного продовження буде

161

функцiя

значення якої пiдраховуються у такий спосiб.

Нехай z = r(cos ϕ+i sin ϕ), де r = |z|, ϕ = arg z (−π < ϕ < π), i нехай крива складається з вiдрiзка з початком у точцi ζ = 1 i кiнцем у точцi ζ = r i найкоротшої дуги кола {ζ | |ζ| < r} з початком у точцi ζ = r i кiнцем у точцi ζ = z (Рис. 7). Тодi,

скориставшись тим, що на вiдрiзку ζ = x, а на дузi кола ζ = reiθ, маємо

= ln r + iϕ.

Якщо ж крива ранiше, нiж попасти у точку z, робить один обхiд навколо точки z = 0, то iнтеграл вздовж такої кривої можна подати так:

Таким чином, в залежностi вiд кiлькостi обходiв навколо точки z = 0 i напрямку обходiв маємо:

Z

dζζ = ln r + iϕ + 2πni,

162

де n Z, тобто значення функцiї Ln z. Однак тепер ця функцiя може розглядатись як однозначна функцiя, значення якої визначаються як точкою z так i тим шляхом, який привiв з точки ζ = 1 у точку ζ = z.

Завдання для самоконтролю.

1.Довести, що функцiї sin z i cos z є аналiтичними на всiй комплекснiй площинi.

2.Довести, що для будь-якого z C має мiсце подання

3.Який геометричний змiст має модуль i аргумент похiдної функцiї у точцi, якщо вона не дорiвнює нулю?

4.Знайти множини тих точок комплексної площини, у яких коефiцiєнт лiнiйного розтягу при вiдображеннях

5.Знайти множини тих точок комплексної площини, у яких кут повороту при вiдображеннях

а) w = z2; б) w = −z3; в) w = z1

дорiвнює нулю.

6.До якого класу функцiй належать дiйсна i уявна частини аналiтичної функцiї?

163

7. Розкласти у ряд Тейлора в околi точки z = z0 функцiї

√ √

а) sh z sin z, z0 = 0; б) ln(1 + z + z2), z0 = 0;

z2 − 5

в) z2 − 4z + 3, z0 = 2.

8.Довести, що будь-яка цiла функцiя, яка обмежена за модулем, є константа (теорема Лiувiлля). На пiдставi цього факту довести основну теорему алгебри.

9.Чому аналiтична функцiя, яка не дорiвнює тотожньо нулю, може мати нулями тiльки iзольованi точки?

164

13 ЛЕКЦIЯ: Основнi теореми диференцiального

числення. Формула Тейлора

Теореми Ролля, Лагранжа i Кошi. Подання функцiї через многочлен. Формули Тейлора для основних елементарних функцiй. Обчислення значень iррацiональних i трансцендентних функцiй з допомогою формули Тейлора.

Лiтература. [1], ч. 1, с. 121–125; [2], ч. 1, с. 221–239; [3] т. 1, с. 156–164, 173–183.

Серед найбiльш важливих результатiв теорiї диференцiйовних функцiй особливе мiсце посiдають теорема Лагранжа, яка виражає прирiст функцiї через прирiст аргумента, що спричинив його, i формула Тейлора, яка подає функцiю у виглядi суми многочлена i залишкового члена, i дозволяє вивчення ряду властивостей функцiї (з певним числом похiдних) звести до вивчення таких властивостей вiдповiдного многочлена Тейлора.

Насамперед доведемо двi допомiжнi теореми, що стосуються обертання в нуль похiдної.

Теорема 13.1 (лема Ферма). Якщо функцiя f визначена в iнтервалi (a; b), у точцi x0 (a; b) диференцiйовна i приймає у нiй найбiльше або найменше значення, то її похiдна у цiй точцi дорiвнює нулю, тобто f0(x0) = 0.

Доведення. Нехай для означенностi функцiя f у точцi x0 приймає найбiльше на iнтервалi (a; b) значення, тобто для всiх x (a; b) (x 6= x0) f(x) 6 f(x0). Тодi для всiх x (a; b) (x < x0)

165

Врахувавши, що функцiя f у точцi x0 диференцiйовна, маємо:

А, отже, з нерiвностей (13.1) i (13.2) випливає, з одного боку, f0(x0) > 0, з другого f0(x0) 6 0, що можливо, коли f0(x0) = 0.

Теорема 13.2 (Ролля). Якщо функцiя f неперервна на вiдрiзку [a; b] i на кiнцях вiдрiзка приймає рiвнi значення, то iснує точка x0 (a; b) така, що f0(x0) = 0.

Доведення. Оскiльки за умовою функцiя f неперервна на вiдрiзку [a; b], то вона досягає на ньому свого найменшого i найбiльшого значення. Нехай

m = min f(x), M = max f(x).

Якщо m = M, то функцiя f стала на вiдрiзку [a; b] i у будь-якiй точцi iнтервалу (a; b) похiдна дорiвнює нулю. Отже, за x0 можна взяти будь-яку точку з iнтервалу (a, b). Якщо ж m 6= M, то з умови, що f(a) = f(b), випливає, що або m 6= f(a), або M 6= f(a). Тобто на iнтервалi (a, b) є точка, у якiй функцiя f досягає свого найменшого або найбiльшого значення. За лемою Ферма у цiй точцi похiдна обертається в нуль. Теорема доведена.

Тепер уже можна довести теорему, яка найчастiше використовується при дослiдженнi числових функцiй.

Теорема 13.3 (Лагранжа). Якщо функцiя f неперервна на вiдрiзку [a; b], диференцiйовна в iнтервалi (a; b), то iснує точка c (a; b) така, що

166

Доведення. Побудуємо функцiю

F (x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)(x − a). b − a

Очевидно, що функцiя F неперервна на вiдрiзку [a; b], диференцiйовна в iнтервалi (a; b) i F (a) = F (b) = 0, тобто ця функцiя задовольняє умови теореми Ролля. А, отже, iснує точка c (a; b), у якiй

F 0(c) = f0(c) − f(b) − f(a) = 0. b − a

Звiдси в очевидний спосiб отримуємо формулу (13.3).

Теорема 13.4 (Кошi). Якщо функцiї f i g неперервнi на вiдрiзку [a; b], диференцiйовнi в iнтервалi (a; b) i для будь-

Доведення. Насамперед доведемо, що g(a) 6= g(b). Справдi, з припущення про те, що g(a) = g(b), неперервностi функцiї g на вiдрiзку [a; b] i диференцiйовностi в iнтервалi (a; b) випливало б, що функцiя g задовольняє умови теореми Ролля. А, отже, iснує точка c (a; b), у якiй f0(c) = 0, що суперечить умовi теореми. Побудуємо допомiжну функцiю

F (x) = f(x) − f(a) − f(b) − f(a)(g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

Очевидно, що функцiя F неперервна на вiдрiзку [a, b] (як результат арифметичних операцiй над неперервними функцiями), диференцiйовна в iнтервалi (a, b) (як результат арифметичних операцiй над диференцiйовними функцiями) i F (a) = F (b) = 0,

167

тобто побудована функцiя задовольняє умови теореми Ролля. А, отже, iснує точка c (a, b) така, що

F 0(c) = f0(c) − f(b) − f(a)g0(c) = 0. g(b) − g(a)

Звiдси в очевидний спосiб отримуємо формулу (13.4). Зауваження. У вище приведених теоремах мова йде про

iснування точки c внутрiшньої (iнакше „точки iз середини“), для якої виконується певна рiвнiсть. Якраз це є причиною того, що цю групу теорем називають „теореми про середнє“.

Розглянемо многочлен n-го степеня, який записано у виглядi

Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · · + an(x − x0)n =

де an 6= 0, x0 — фiксоване дiйсне число. Для цього многочлена

Pn(x0) = a0, Pn0 (x0) = a1 · 1!, Pn00(x0) = a2 · 2!, . . . ,

Pn(n)(x0) = an · n!, Pn(n+1)(x0) = Pn(n+2)(x0) = · · · = 0.

Таким чином, многочлен (13.5) можна подати у виглядi

тобто многочлен Pn(x) повнiстю визначається заданням значення многочлена i його похiдних в однiй (довiльнiй) точцi.

168

Зрозумiло, що таке подання можна побудувати i для много-

члена виду

n

X

akxk .

k=0

Нехай маємо функцiю f, яка у точцi x0 має n похiдних. Побудуємо многочлен

який називають многочленом Тейлора порядку n функцiї f у

точцi x0, i позначимо

rn(f, x0, x) = f(x) − Pn(f, x0, x).

Теорема 13.5. Якщо функцiя f визначена на iнтервалi (a, b) i у точцi x0 (a; b) має n похiдних, то ця функцiя подається у виглядi

f(x) = Pn(f, x0, x) + o((x − x0)n) =

де

lim o((x − x0)n) = 0.

x→x0 (x − x0)n

Доведення. Оскiльки згiдно (13.6)

Pn(f, x0, x0) = f(x0), Pn0 (f, x0, x0) = f0(x0),

Pn00(f, x0, x0) = f00(x0), . . . , Pn(n)(f, x0, x0) = f(n)(x0),

169

то

rn(f, x0, x0) = rn0 (f, x0, x0) = rn00(f, x0, x0) = · · · = rn(n)(f, x0, x0) = 0,

причому в силу того, що rn(n)(f, x0, x) у точцi x0 має похiдну n-го порядку, iснує окiл точки x0, у кожнiй точцi якого iснують похiднi до n − 1 порядку включно. Тому для розкриття неозна-

ченостi

rn(f, x0, x)

(x − x0)n

при x → x0 можна застосувати n раз правило Лопiталя. В результатi отримаємо

Отже, справдi rn(f, x0, x) є при x → x0 нескiнченно мала порядку вищого, нiж (x − x0)n. А це й означає, що для функцiї f має мiсце подання (13.7).

Формула (13.7) називається формулою Тейлора n-го порядку iз залишковим членом у формi Пеано. У нiй Pn(f, x0, x)

— многочлен Тейлора, а o((x − x0)n) — залишковий член n-го порядку формули Тейлора. При x0 = 0 називають формулою Маклорена.

Многочлен Тейлора степеня n є многочлен, який серед усiх многочленiв n-го степеня найкращим наближенням функцiї f у досить малому околi точки x0, тобто нiякий многочлен степеня, що не перевищує n, не може бути наближенням розглядуваної функцiї з точнiстю o((x − x0)n) (а, отже, i з бiльш високою точнiстю). Отож, у достатньо малому околi точки x0 маємо

f(x) ≈ Pn(f, x0, x)

170