Matanaliz

(1823) i дiстало своє логiчне завершення у працях Рiмана (1853). Означається визначений iнтеграл або як границя iнтегральних сум, побудованих для функуцiї, визначеної на деякому вiдрiзку, або як рiзниця значень первiсної на кiнцях вiдрiзка (так вводиться поняття iнтеграла у шкiльному курсi математики).

Нехай функцiя f визначена на вiдрiзку [a, b], i нехай τ множина точок цього вiдрiзка {x0, x1, x2, . . . , xn}, де a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Множину τ називають розбиттям вiдрiзка [a, b] на елементарнi вiдрiзки [xi−1, xi], де i = 1, n. Через

4xi будемо позначати довжину вiдрiзка [xi−1; xi], де i = 1, n. Через 4xi будемо позначати довжину вiдрiзка [xi−1; xi], тобто 4xi = xi − xi−1, а через λ(τ) — найбiльшу з довжин елементарних вiдрiзкiв, тобто

λ(τ) = max 4xi,

i=1,n

i називати дiаметром розбиття (норма розбиття, дрiбнiсть розбиття). Нехай ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) набiр чисел таких, що

ξ1 [x0, x1], ξ2 [x1, x2], . . . , ξn [xn−1, xn], тобто ξ множина чисел, вибраних по одному з кожного елементарного вiдрiзка. Знайдемо значення функцiї f у кожнiй точцi ξi (i = 1, n) i

складемо суму

n

X

f(ξi)4xi.

i=1

Останню суму будемо називати iнтегральною сумою функцiї f, яка вiдповiдає розбиттю τ i набору ξ точок з кожного з елементарних вiдрiзкiв, i позначати

Означення 16.1. Якщо iснує

lim σ(f, τ, ξ),

λ(τ)→0

211

яка не залежить нi вiд способу розбиття вiдрiзка [a; b] на частини, нi вiд вибору точок з кожного елементарного вiдрiзка, то її називають iнтегралом (iнтегралом Рiмана) функцiї f на вiдрiзку [a, b] i позначають

b

Z

f(x)dx.

a

Зауважимо, що запис

означає, що для будь-якого ε > 0 можна вказати δ > 0 таке, що для будь-якого τ, дiаметр якого задовольняє нерiвнiсть λ(τ) < δ, i будь-якого набору ξ точок з елементарних вiдрiзкiв, породжених розбиттям τ, виконується нерiвнiсть

|σ(f, τ, ξ) − I| < ε.

то

b

ZZ

f(x)dx R, а f(x)dx = F (x) + C,

a

де F 0(x) = f(x).

Поняття iнтеграла для функцiй двох i трьох змiнних можна ввести у такий спосiб. Нехай функцiя z = f(x, y) визначена на прямокутнику

Π = {(x, y) | a 6 x 6 b, c 6 y 6 d} = [a, b] × [c, d],

212

i нехай τx = {x0, x1, . . . , xm}, де a = x0 < x1 < · · · < xm = b,

рiзка [c, d] на n елементарних вiдрiзкiв. Провiвши через точки x0, x1, . . . , xm прямi паралельнi осi Oy, а через точки y0, y1, . . . , yn прямi паралельнi осi Ox, отримаємо mn елементарних прямокутникiв

πij = {(x, y) | xi−1 6 x 6 xi, yj−1 6 y 6 yj} = [xi−1; xi] × [yj−1; yj].

Множину τ = {πij | i = 1, m, j = 1, n} назвемо розбиттям прямокутника Π на елементарнi прямокутники, а число

назвемо дiаметром цього розбиття.

Нехай ξ = {(ξi, ηj) | (ξi, ηj) πij, i = 1, m, j = 1, n} — множина точок, вибраних по однiй з кожного елементарного прямокутника, а f(ξi, ηj) — значення функцiї f у точцi (ξi, ηj). Суму

mn

XX

f(ξi, ηj)4xi4yj,

i=1 j=1

де 4xi = xi − xi−1, 4yj = yj − yj−1 (4xi4yj — площа елементарного прямокутника πij), називають iнтегральною сумою функцiї f, яка вiдповiдає розбиттю τ i набору точок ξ, i позначають σ(f, τ, ξ).

Означення 16.2. Якщо iснує

lim σ(f, τ, ξ),

λ(τ)→0

яка не залежить нi вiд способу розбиття прямокутника Π на елементарнi прямокутники, нi вiд вибору точок з кожного елементарного прямокутника, то її називають подвiйним

213

iнтегралом функцiї f на прямокутнику Π i позначають

ZZ

f(x, y)dxdy.

Π

Нехай функцiя f(x, y) визначена на обмеженiй квадровнiй

областi G, i нехай Π — прямокутник, який включає область G.

Позначимо через f (x, y) продовження функцiї f(x, y) з областi G на R2 такого типу

Означення 16.3. Подвiйним iнтегралом функцiї f по обла-

стi G називають подвiйний iнтеграл продовження f на будьякому прямокутнику Π, який включає область G, i позначають

Як показано у [2, ч. 2, с. 124–125] означення 16.3 коректне у тому розумiннi, що для будь-яких двох прямокутникiв Π1 i Π2 таких, що G Π1 ∩ Π2, iнтеграли

iснують або не iснують одночасно, причому у першому випадку їх значення збiгаються.

Нехай маємо функцiю u = f(x, y, z), визначену на паралелепiпедi

Π = {(x, y, z) | a 6 x 6 b, c 6 y 6 d, e 6 z 6 f} =

= [a; b] × [c; d] × [e; f],

214

i нехай τx = {x0, x1, . . . , xm}, де a = x0 < x1 < · · · < xm = b,

рiзка [c; d] на n елементарних вiдрiзкiв, i τz = {z0, z1, . . . , zp}, де e = z0 < z1 < · · · < zp = f, розбиття вiдрiзка [e; f] на p елементарних вiдрiзкiв. Провiвши через точки x0, x1, . . . , xm площини, паралельнi yOz, через точки y0, y1, . . . , ym площини, паралеьнi xOz, i через z0, z1, . . . , zp площини, паралельнi xOy, отримаємо m · n · p елементарних паралелепiпедiв

πijk = {(x, y, z) | xi−1 6 x 6 xi, yj−1 6 y 6 yj, zk−1 6 z 6 zk} =

= [xi−1; xi] × [yj−1; yj] × [zk−1; zk].

Множину τ = {πijk | i = 1, m, j = 1, n, k = 1, p} назвемо розбиттям паралелепiпеда Π на елементарнi паралелепiпеди, а число

назвемо дiаметром цього розбиття. Нехай

ξ= {(ξi, ηj, ζk) | (ξi, ηj, ζk) πijk, i = 1, m, j = 1, n, k = 1, p}

ємножина точок, вибраних по однiй з кожного елементарного паралелепiпеда, а f(ξi, ηj, ζk) — значення функцiї f у точцi

(ξi, ηj, ζk). Суму

m n p

XXX

f(ξi, ηj, ζk)4xi4yj4zk,

i=1 j=1 k=1

де 4xi = xi −xi−1, 4yj = yj −xj−1, 4zk = zk −zk−1 (4xi4yj4zk

— об’єм елементарного паралелепiпеда πijk), називають iнтегральною сумою функцiї f, яка вiдповiдає розбиттю τ i набору точок ξ, i позначають σ(f, τ, ξ).

215

Означення 16.4. Якщо iснує

lim σ(f, τ, ξ),

λ(τ)→0

яка не залежить нi вiд способу розбиття паралелепiпеда Π на елементарнi паралелепiпеди, нi вiд вибору точок з кожного елементарного паралелепiпеда, то її називають потрiйним iнтегралом функцiї f на паралепiпедi Π i позначають

ZZZ

f(x, y, z)dxdydz.

Π

Зауваження. У випадку, коли G — обмежена кубовна область, потрiйний iнтеграл функцiї f по областi G означається так:

Щодо умов iснування iнтегралiв функцiй n (n = 1, 2, 3) змiнних, то, насамперед, необхiдною умовою iнтегровностi функцiї є її обмеженiсть, а необхiдною i достатною умовою iнтегровностi функцiї f на Π є її неперервнiсть майже скрiзь на Π, тобто мiра Лебега точок розриву функцiї f на Π дорiвнює нулю.

Тут буде подано класичний критерiй iнтегровностi функцiї за Рiманом, який належить Дарбу, причому для функцiї однiєї змiнної. Нехай функцiя f визначена i обмежена на вiдрiзку [a; b], i нехай τ — будь-яке розбиття вiдрiзка [a; b] на елементарнi вiдрiзки. Суми

216

нижньою i верхньою сумами Дарбу, побудованими за розбиттям τ для функцiї f.

Теорема 16.1. Для того щоб визначена i обмежена на вiдрiзку [a; b] функцiя f була iнтегровною на цьому вiдрiзку, необхiдно i достатно, щоб

λ(τ)→0

Доведення. Необхiднiсть. Нехай визначена i обмежена на вiдрiзку [a; b] функцiя f iнтегровна на цьому вiдрiзку, тобто iснує

lim σ(f, τ, ξ) = I.

λ(τ)→0

А це означає, що для будь-якого ε > 0, зокрема для 3ε, iснує

δ > 0 таке, що для кожного розбиття τ, дiаметр якого λ(τ) < δ, виконується нерiвнiсть

Врахувавши, що для будь-якого розбиття τ вiдрiзка [a; b] на

частини

s(f, τ) = inf σ(f, τ, ξ),

ξ

S(f, τ) = sup σ(f, τ, ξ),

ξ

з нерiвностi(16.2) дiстанемо

I − 3ε 6 s(f, τ) 6 S(f, τ) 6 I + 3ε.

217

Звiдси S(f, τ) −s(f, τ) 6 I + 3ε −I + 3ε < ε. Отже, для будь-якого

ε > 0 iснує δ > 0 таке, що як тiльки λ(τ) < δ, то має мiсце нерiвнiсть S(f, τ) − s(f, τ) < ε. А це й означає, що

lim (S(f, τ) − s(f, τ)) = 0.

λ(τ)→0

Достатнiсть. Нехай для функцiї f визначеної i обмеженої на вiдрiзку [a; b] має мiсце (16.1). З обмеженостi зверху множини всiх нижнiх сум Дарбу випливає iснування

sup s(f, τ) = I ,

τ

а з обмеженостi знизу множини всiх верхнiх сум Дарбу випли-

ває iснування

inf S(f, τ) = I ,

τ

причому I 6 I . Тодi для будь-якого τ

або 0 6 I − I 6 S(f, τ) − s(f, τ), що у поєднаннi з умовою (16.1) дає рiвнiсть I − I = 0. Нехай I = I = I . Тодi з (16.3) дiстаємо, що для будь-якого τ

s(f, τ) 6 I 6 S(f, τ),

i тому для будь-якого τ виконуються нерiвностi

06 I − s(f, τ) 6 S(f, τ) − s(f, τ), S(f, τ) − I 6 S(f, τ) − s(f, τ).

Врахувавши умову (16.1) дiстаємо, що

lim s(f, τ) = lim S(f, τ) = I.

λ(τ)→0 λ(τ)→0

218

А оскiльки для будь-якої iнтегровної суми σ(f, τ, ξ) виконується нерiвнiсть

s(f, τ) 6 σ(f, τ, ξ) 6 S(f, τ),

Тепер уже легко обгрунтувати, що кожна неперервна на вiдрiзку [a; b] функцiя f є iнтегровною на цьому вiдрiзку, що якщо функцiя f на вiдрiзку [a; b] має скiнченне число точок розриву першого роду, то вона iнтегровна на ньому.

Встановити факт iснування iнтеграла не так уже й важко, а от його обчислення задача далеко не проста (див. [11, с. 156– 183]).

1. Нехай маємо iнтегровну на вiдрiзку [a; b] функцiю f. Зрозумiло, що можна для обчислення спробувати побудувати послiдовнiсть розбиттiв, у кожному з яких взяти точки так, щоб для побудованої послiдовностi iнтегральних сум можна було знайти границю.

неперервна, а отже, iнтегровна. Нехай τn = {a, aq, aq2. . . . , aqn},

219

На кожному вiдрiзку [xi−1; xi] вiзьмемо точку

ξi = √xi−1xi = aqi−1√q i побудуємо послiдовнiсть (σ(f, τn)), де

2. Основним методом обчислення iнтегралiв є обчислення їх за допомогою первiсної, точнiше за допомогою формули Ньютона-Лейбнiца. Якщо функцiя f неперервна на вiдрiзку [a, b] i Φ її первiсна, то

b

Z

f(x)dx = Φ(b) − Φ(a).

a

Якщо ж функцiя f кусково-неперервна на вiдрiзку [a, b], x1, x2, . . . , xn−1, де a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b, точки розривiв першого роду i Φ1, Φ2, . . . , Φn первiснi для функцiї f вiдповiдно на iнтервалах (a, x1), (x1, x2), . . ., (xn−1, b), то

b

Z n

X

f(x)dx = (Φk(xk) − Φk(xk−1)).

ak=1

220