Matanaliz

Звiдси

4w = 4u + i4v =

=(a + bi)(4x + i4y) + (ε1 + iε2)(4x + i4y) =

=(a4x − b4y) + i(a4y + b4x)+

+(ε14x − ε24y) + i(ε14y + ε24x)

i

4u = a4x − b4y + ε14x − ε24y,

(12.3)

4v = b4x + a4y + ε24x + ε14y,

Подання(12.3) якраз означає, що функцiї u(x, y) i v(x, y) дифе-

+β1(x0, y0, 4x, 4y)4x + β2(x0, y0, 4x, 4y)4y,

151

Врахувавши умови (12.1) i позначивши ∂u∂x = a, ∂x∂v = b, для 4u i 4v маємо подання

4u = a4x − b4y + α14x + α24y,

4v = b4x + a4y + β14x + β24y.

Тодi

4w = 4u + i4v =

=a(4x + i4y) + b(−4y + i4x)+

+(α1 + iβ1)4x + (α2 + iβ2)4y =

=a(4x + i4y) + ib(4x + i4y)+

= (a + ib)4z + ε4z.

Оскiльки

6 |α1| + |β2| + |α2| + |β2|

152

Як приклад, розглянемо функцiю

w = ez = ex(cos y + i sin y).

Оскiльки функцiї

u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y

мають на R2 неперервнi частиннi похiднi

∂u∂x = ∂x∂ (ex cos y) = ex cos y, ∂u∂y = ∂y∂ (ex cos y) = −ex sin y, ∂x∂v = ∂x∂ (ex sin y) = ex sin y, ∂y∂v = ∂y∂ (ex sin y) = ex cos y,

то вони диференцiйовнi на R2 i очевидно, що для них виконуються умови (12.1). Отже, функцiя ez диференцiйовна у кожнiй точцi комплексної площини i

(ez)0 = ∂u∂x + i∂x∂v = ex cos y + iex sin y = ez.

Означення 12.2. Функцiя f(z) називається аналiтичною (або голоморфною) у точцi z0, якщо вона диференцiйовна у кожнiй точцi деякого околу точки z0.

Наприклад, функцiї

ez, sin z, cos z, Pn(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an

153

є аналiтичнi на всiй комплекснiй площинi, а дробово-

рацiональна функцiя Pn(z) — аналiтична у кожнiй точцi ком-

Qm(z)

плексної площини за виключенням скiнченного числа точок (нулiв многочлена Qm(z)). А от функцiя w = z · z = x2 + y2 не аналiтична у жоднiй точцi комплексної площини, хоча вона у точцi z = 0 диференцiйовна.

Зауважимо, що з означення випливає, що коли функцiя аналiтична у точцi z0, то вона аналiтична у кожнiй точцi деякого околу точки z0. Тому множина точок, на якiй функцiя аналiтична, є обов’язково вiдкритою множиною.

Виключна важливiсть класу аналiтичних функцiй зумовлена тим, що, по-перше, цей клас досить широкий (вiн охоплює бiльшiсть функцiй, якi зустрiчаються у рiзних роздiлах математики i її застосуваннях), по-друге, вiн замкнений вiдносно основних операцiй арифметики, алгебри i аналiзу, по-третє, аналiтична функцiя володiє властивiстю єдиностi у тому розумiннi, що коли двi однозначнi аналiтичнi на G функцiї набирають однакових значень на пiдмножинi E, яка має хоч одну скiнченну граничну точку, що належить G, то функцiї збiгаються.

Серед найбiльш важливих властивостей аналiтичних функцiй особливе мiсце посiдають iнтегральна теорема Кошi i нескiнченна диференцiйовнiсть таких функцiй.

Доведено (див., наприклад, [4, с. 114–120] ), що коли D

— однозв’язна область i f(z) — однозначна аналiтична на цiй областi функцiя, то для будь-якої спрямлюваної кривої , яка лежить в областi D, iнтеграл функцiї f(z) вздовж кривої дорiвнює нулю.

Цим фактом ми скористаємось при доведеннi другої вищезгаданої властивостi.

154

Теорема 12.2. Якщо степеневий ряд

n=0

збiгається у крузi (вiдкритому крузi) B(z0, R) (R > 0), то сума цього ряду S(z) є аналiтичною функцiєю, причому

то радiуси збiжностi рядiв (12.4) i (12.5) рiвнi. Нехай ϕ(z) сума ряду (12.5). Нехай z1 будь-яка точка з круга B(z0, R), а ζ така, що |z1 − z0| < |ζ − z0| = ρ < R (Рис. 5).

Оскiльки ряд (12.5) у крузi збiжностi збiгається абсолютно, тоε > 0, зокрема, для 3ε, n0 та-

кий, що n > n0 виконується нерiвнiсть

∞

Xk|ak|ρk−1 < 3ε.

k=n

Вiзьмемо будь-яку точку z 6= z1 таку, що |z − z0| < ρ. Тодi в силу того, що

∞

X

S(z) = an(z − z0)n,

n=0

маємо:

155

X

k=1

+ (z − z0)(z1 − z0)k−2 + (z1 − z0)k−1 − kak(z1 − z0)k−1) +

∞

X

+ak((z − z0)k−1 + (z − z0)k−2(z1 − z0) + · · · +

k=n0+1

+ (z − z0)(z1 − z0)k−2 + (z1 − z0)k−1) − kak(z1 − z0)k−1 6

n0

X

6 ak((z − z0)k−1 + (z − z0)k−2(z1 − z0) + · · · +

k=1

156

+ (z − z0)(z1 − z0)k−2 + (z1 − z0)k−1 − k(z1 − z0)k−1) +

∞

X

+|ak|(ρk−1 + ρk−1 + · · · + ρk−1 + kρk−1) =

= (z − z0)n−1 + (z − z0)n−2(z1 − z0) + · · · + + (z − z0)(z1 − z0)n−2 + (z1 − z0)n−1,

lim A(z, z0) =

z→z1

n0

X

= lim ak((z − z0)k−1 + (z − z0)k−2(z1 − z0) + · · · +

z→z1

k=1

+ (z − z0)(z1 − z0)k−2 + (z1 − z0)k−1 − k(z1 − z0)k−1) = 0.

З останнього маємо, що для 3ε iснує таке δ > 0, що з нерiв-

ностi 0 < |z − z1| < δ, випливає нерiвнiсть A(z, z0) < 3ε. Отже,

ε > 0 ми вказали δ > 0 таке, що для всiх z, якi задовольняють

157

нерiвнiсть 0 < |z − z1| < δ, виконується нерiвнiсть

∞

X

тобто S0(z) = nan(z − z0)n.

n=1

Теорема 12.3. Якщо однозначна функцiя f(z) аналiтична в областi D i z0 D, то вона розкладається у ряд Тейлора за степенями z − z0, який збiгається у крузi {z | |z − z0| < R}, де R — вiдстань вiд точки z0 до межi областi D.

Доведення. Нехай z — точка круга {z | |z − z0| < R} i ρ таке, що |z − z0| < ρ < R (Рис. 6).

Якщо γρ = {z | |z0 −z| = ρ}, то в силу iнтегральної формули Кошi

Розкладемо функцiю

f(ζ) ζ − z

у ряд Тейлора за степенями z − z0. Маємо

158

збiгається, як геометрична прогресiя iз знаменником |z − z0|n <

ρ

1, то функцiональний ряд

рiвномiрно збiгається на колi γρ, а, отже, його можна почлено iнтегрувати. Звiдси маємо

Зауважимо, що хоча коло γρ ми брали в залежностi вiд z, однак враховуючи, що iнтеграл

Z

f(ζ)

(ζ − z0)n+1 dζ

γρ

159

не залежить вiд контура iнтегрування, якщо вiн належить областi аналiтичностi, маємо формулу для обчислення коефiцiєнтiв ряду

де n = 0, 1, 2, . . . , 0 < ρ < R. Таким чином остаточно маємо, що

∞

X

f(z) = an(z − z0)n,

n=0

де an для n = 0, 1, 2, . . . обчислюється за формулою (12.7), i радiус збiжностi цього ряду дорiвнює R.

Висновок. Теореми 12.2 i 12.3 дають нам необхiдну i достатню умову аналiтичностi функцiї у точцi, а, отже, можна користуватись i таким означенням аналiтичної функцiї.

Означення 12.3. Функцiя f(z) називається аналiтичною у точцi z0, якщо в околi цiєї точки її можна розкласти у ряд Тейлора за степенями z − z0.

Таке означення аналiтичностi дозволяє стверджувати, що функцiя f(z) аналiтична в областi D, безлiч раз диференцiйовна у цiй областi, причому її похiдна n-го порядку може бути обчислена за формулою

Ця властивiсть аналiтичної функцiї комплексної змiнної суттєво вiдрiзняє її вiд функцiй дiйсної змiнної, для яких iснування першої похiдної, взагалi кажучи, не гарантує iснування похiдних вищих порядкiв.

160