Matanaliz

де Ckj — довiльнi сталi.

У випадку коли λk = αk + βki, де βk 6= 0, корiнь рiвняння (30.12) кратностi mk, то його коренем буде число λk = αk − βki тiєї ж кратностi. А отже, до складу (30.17) увiйдуть комплексно значнi функцiї. Врахувавши, що двом комплексним розв’язкам

xme(αk+βki)x, xme(αk−βki)x,

де m < mk, вiдповiдають два дiйснi розв’язки

xm cos βkxeαkx, xm sin βkxeαkx,

всi комплексно значнi розв’язки можна замiнити дiйсними розв’язками, причому нова система розв’язкiв є фундаментальною.

Знаючи загальний розв’язок (30.17) лiнiйного однорiдного рiвняння, можна побудувати частинний розв’язок (наприклад, методом варiацiї довiльних сталих) лiнiйного неоднорiдного рiвняння

i на пiдставi теореми 30.3 його загальний розв’язок.

Можна видiлити клас функцiй f(x), для якого можна побудувати частинний розв’язок чисто алгебраїчним шляхом (метод невизначених коефiцiєнтiв). А саме, якщо

f(x) = (Pm(x) cos βx + Qn(x) sin βx)eαx,

де Pm(x), Qn(x) — заданi многочлени вiдповiдно степеня m i n, α, β R, причому α + βi не є коренем характеристичного рiвняння вiдповiдного однорiдного рiвняння, то iснує частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння, який має вигляд

481

де Rn0 (x), Tn0 (x) — многочлени степеня n0 = max(m, n) з невизначеними коефiцiєнтами. Якщо ж α + βi є корiнь характеристичного рiвняння кратностi l, то iснує частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння, який має вигляд

Пiдставивши у неоднорiдне рiвняння (30.18) (30.19) (у першому випадку) або (30.20) (у другому випадку) i скоротивши обидвi частини на eλx, прирiвнюємо многочлени при cos βx i sin βx, i пiсля цього коефiцiєнти при x з однаковими степенями. Як результат, одержимо систему рiвнянь вiдносно невiдомих коефiцiєнтiв многочленiв Rn0 (x), i Tn0 (x). Гарантом iснування розв’язку побудованої лiнiйної системи є iснування розв’язку рiвняння (30.18), який має вигляд (30.19) або (30.20).

Приклад 2. Зiнтегрувати рiвняння

yV I − 4yV + 8yIV − 8y000 + 4y00 = 0.

Розв’язання. Побудуємо характеристичне рiвняння

λ6 − 4λ5 + 8λ4 − 8λ3 + 4λ2 = 0,

i знайдемо його коренi. Маємо:

λ2(λ4 − 4λ3 + 8λ2 − 8λ + 4) = 0

або λ2(λ2 −2λ+2)2 = 0. Звiдси маємо три коренi λ1 = 0 кратностi 2, λ2 = 1 + i кратностi 2, λ3 = 1 − i кратностi 2. ◦м вiдповiдають розв’язки

y1 = 1, y2 = x, y3 = e(1+i)x, y4 = xe(1+i)x, y5 = e(1−i)x, y6 = xe(1−i)x,

якi складають фундаментальну систему. Замiнюємо пару роз- в’язкiв y3, y5 розв’язками cos xex, sin xex, а пару розв’язкiв y4, y6

482

розв’язками x cos xex, x sin xex, i записуємо загальний розв’язок заданого рiвняння

y = C1 + C2x + C3ex cos x + C4ex sin x + C5xex cos x + C6xex sin x.

Приклад 3. Зiнтегрувати рiвняння y00 + y = x cos x.

Розв’язання. Побудуємо характеристичне рiвняння

λ2 + 1 = 0,

i знайдемо його коренi. Маємо λ1 = i, λ2 = −i. ◦м вiдповiдають розв’язки y1 = cos x, y2 = sin x. А отже, загальний розв’язок однорiдного рiвняння y00 + y = 0 має вигляд

y = C1 cos x + C2 sin x.

Оскiльки права частина

f(x) = x cos x,

то частинний розв’язок неоднорiдного рiвняння будемо шукати у виглядi

y= x((A1x + B1) cos x + (A2x + B2) sin x) = = (A1x2 + B1x) cos x + (A2x2 + B2x) sin x.

Тодi

483

Пiдставивши y, y00 у задане рiвняння, одержимо двi рiвностi многочленiв

2A1 + 4A2x + 2B2 − A1x2 − B1x + A1x2 + B1x = x, −4A1x − 2B1 − A2x2 − B2x + 2A2 + A2x2 + B2x = 0,

з якої маємо таку систему

4A2 = 1, 2A1 + 2B2 = 0, −4A1 = 0, −2B1 + 2A2 = 0.

Розв’язання. Оскiльки коренями характеристичного рiвняння є λ1 = 2i, λ2 = −2i, то загальний розв’язок вiдповiдного рiвняння має вигляд

y = C1 cos 2x + C2 sin 2x.

Врахувавши, що частинний розв’язок заданого рiвняння є сумою частинних розв’язкiв рiвнянь

(а) y00 + 4y = x cos x, (б) y00 + 4y = x2 sin 2x,

будемо шукати їх частиннi розв’язки окремо. Розглянемо рiв-

няння

z00 + 4z = xeix = x cos x + i sin x.

484

Будемо шукати його розв’язок у виглядi z = (Ax + B)eix.

Тодi

z0 = (A + iAx + iB)eix, z00 = (2Ai − Ax − B)eix.

Пiдставивши z, z00 у це рiвняння маємо

(2Ai − Ax − B)eix + 4(Ax + B)eix = xeix

або 2Ai + 3Ax + 3B = x. Звiдси 3A = 1, 2Ai + 3B = 0, тому

(а) буде

Розглянемо рiвняння

z00 + 4z = x2e2ix.

Будемо шукати його розв’язок у виглядi

z = (Ax3 + Bx2 + Cx)e2ix.

Пiдставивши z, z00 у це рiвняння, одержимо

6Ax + 2B + 12Aix2 + 8Bix + 4Ci = x2.

485

12

+3x cos x + 9 sin x + C1 cos 2x + C2 sin 2x.

Завдання для самоконтролю.

1.Що таке комплексний розв’язок лiнiйного однорiдного диференцiального рiвняння? Довести, що коли

y = u(x) + iv(x)

розв’язок цього рiвняння, то його розв’язками будуть функцiї u(x) i v(x).

2.Довести, що множина всiх розв’язкiв лiнiйного однорiдного диференцiального рiвняння n-го порядку вiдносно операцiї додавання i множення на скаляр є лiнiйним простором. Яка розмiрнiсть такого простору?

3.Довести, що коли y1(x), y2(x) розв’язки вiдповiдно диференцiальних рiвнянь

y(n) + P1(x)y(n−1) + · · · + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = f1(x), y(n) + P1(x)y(n−1) + · · · + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = f2(x),

486

то функцiя y1(x) + y2(x) є розв’язком рiвняння

y(n) + P1(x)y(n−1) + · · · + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = f1(x) + f2(x).

4.У чому суть методу Ейлера побудови фундаментальної системи розв’язкiв однорiдного лiнiйного рiвняння другого порядку iз сталими коефiцiєнтами? Який вигляд мають фундаментальна система розв’язкiв i загальний розв’язок у випадку рiзних i кратних коренiв характеристичного рiвняння?

5.Зiнтегрувати рiвняння:

а) yV − 10y000 + 9y0 = 0; б) yIV + 10y00 + 9y = 0; в) yIV + 8y00 + 16y = 0.

6. Зiнтегрувати рiвняння:

а) y000 − y00 = −3x + 1;

б) y00 − 4y = ex((−4x + 4) cos x − (2x + 6) sin 2x); в) y00 + y = 2 sin x + 4x cos 2x.

487

Лiтература

[1]М. О. Давидов, Курс математичного аналiзу. Ч. 1-3. К.: Вища школа, 1990–1991–1992.

[2]В. А. Зорич, Математический анализ. Ч. 1–2. М.: Наука, 1981, 1985.

[3]Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа. Т. 1–3. М.: Высшая школа, 1988, 1989.

[4]А. И. Маркушевич, Л. А. Маркушевич, Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977.

[5]И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

[6]Л. Шварц, Анализ, т. 1–2. М.: Мир, 1972.

[7]К. А. Рыбников, История математики. М.: Изд. МГУ, 1974.

[8]М. i. Шкiль, З. i. Слєпкань, О. С. Дубинчук, Алгебра i початки аналiзу. К.: Зодiак–Еко, 1995.

[9]Ь. i. Шкiль, Математичний аналiз, ч. 1–2. К.: Вища школа, 1995.

[10]Н. М. Шунда, А. А. Томусяк, Практикум з математичного аналiзу. Вступ до аналiзу. Диференцiальне числення. К.: Вища школа, 1993.

[11]Н. М. Шунда, А. А. Томусяк, Практикум з математичного аналiзу. iнтегральне числення. Ряди. К.: Вища школа, 1995.

488