Matanaliz

Наслiдок. Для функцiй y = sin t, x = cos t E(sin) = E(cos) = [−1; 1], тобто для будь-якого a [−1; 1] рiвняння sin t = a i cos t = a мають розв’язки.

Теорема 24.2. lim sin t = 1.

t→0 t

Теорема 24.3. Функцiї y = sin t, x = cos t диференцiйовнi у кожнiй точцi своєї областi визначення, причому (sin t)0 = cos t, (cos t)0 = − sin t.

З останньої теореми випливає, що функцiї y = sin t, x = cos t у будь-якiй точцi нескiнченне число раз диференцiйовнi. Тому для кожної з них можна побудувати ряд Тейлора, причому

sin t = (−1)n (2n + 1)!.

n=0

Формули (24.1) можуть бути використанi для обчислення наближених значень тригонометричних функцiй як значень мно-

351

i

| sin 1 − 0, 84147| < 10−5.

Теорема 24.4 (теорема додавання). Для будь-яких t, x

R мають мiсце рiвностi

sin(t + x) = sin t cos x + cos t sin x,

(24.2)

cos(t + x) = cos t cos x − sin t sin x.

Доведення. Звичайно довести справедливiсть (24.2) можна, скориставшись класичним означенням тригонометричних функцiй. Ми ж скористаємось диференцiйовнiстю цих функцiй i тим, що загальний розв’язок диференцiального рiвняння y00 + y = 0 має вигляд y = A sin t + B cos t, де A, B R. Нехай f(t) = sin(t + x), де x — фiксоване. Тодi f00(t) = − sin(t + x), i f(t) розв’язок диференцiального рiвняння y00 + y = 0, який задовольняє початковi умови f(0) = sin x, f0(0) = cos x. Цей розв’язок можна отримати iз загального, врахувавши, що y(0) =

352

B = f(0) = sin x, y0(0) = A = f0(0) = cos x. Звiдси дiстаємо, що f(t) = cos x sin t+sin x cos t, тобто першу з рiвностей (24.2). Друга обгрунтовується аналогiчно.

Якщо залишатись у межах однозначних функцiй, то в силу перiодичностi функцiї y = sin x, y = cos x (ми перейшли до звичайного позначення незалежної змiнної) обернених не мають. Однак, враховуючи, що цi функцiї кусково монотоннi, можна ставити питання про iснування обернених функцiй на певному промiжку. Оскiльки функцiя y = sin x визначена, зростаюча i неперервна на вiдрiзку [−π2 ; π2 ], причому sin(−π2 ) = −1, sin(π2 ) = 1, то iснує обернена функцiя, яка визначена, зростаюча i неперервна на вiдрiзку [−1; 1]. Стандартне позначення y = arcsin x (геометричною мовою arcsin x — це дуга, синус якої дорiвнює x, sin arcsin x = x). Аналогiчно, оскiльки функцiя y = cos x визначена, спадна i неперервна на вiдрiзку [0; π], причому cos 0 = 1, cos π = −1, то iснує обернена функцiя, яка визначена, спадна i неперервна на вiдрiзку [−1; 1]. Позначення y = arccos x.

В очевидний спосiб перевiряється, що для всiх x [−1; 1] arcsin(−x) = − arcsin x, arccos(−x) = π − arccos x, arcsin x + arccos x = π2 . Як приклад, переконаемось, що має мiсце третя рiвнiсть. Справдi, якщо 0 6 x 6 1, то

0 < arcsin x + arccos x < π.

Скориставшись основними спiввiдношеннями, що пов’язують тригонометричнi функцiї, можна кожну обернену тригонометричну функцiю виразити через iншу.

353

де x > 0.

354

Скориставшись iнструментарiєм аналiзу функцiй, можна уникнути тих геометричних мiркувань, якi використовуються у класичному означеннi тригонометричних функцiй та обгрунтуваннi їх властивостей. Так, наприклад, доведено, що iснує єдина пара функцiй S(x) i C(x) визначених на R, якi задовольняють умови:

1) для будь-яких x0, x00 R

S(x0 + x00) = S(x0)C(x00) + C(x0)S(x00),

(24.3)

C(x0 + x00) = C(x0)C(x00) − S(x0)S(x00),

S2(x) + C2(x) = 1;

Очевидно, що функцiї S(x) = sin x, C(x) = cos x задовольняють умови (24.3) – (24.5), а отже, можна дати таке означення тригонометричних функцiй.

Означення 24.3. Функцiї, якi задовольняють умови (24.3)

– (24.5) називаються тригонометричними функцiями i позначаються S(x) = sin x, C(x) = cos x.

Скориставшись тим, що функцiї y = cos x, y = sin x диференцiйовнi нескiнченне число раз, ми прийшли до їх подання у виглядi (24.1). Можна дiяти навпаки. А саме, оскiльки степеневi ряди

355

збiгаються на R, то їх суми є функцiї визначенi на R. Позначимо суму першого ряду i другого ряду вiдповiдно через C(x) i S(x), i перевiримо, що цi функцiї задовольняють умови (24.3) – (24.5). Скориставшись тим, що абсолютно збiжнi ряди можна перемножати (множення за Кошi) i що сума отриманого ряду дорiвнює добутку сум рядiв, якi перемножалися маємо, наприклад,

356

Аналогiчно обгрунтовуються ще двi рiвностi з (24.3). Очевидно,

що S(0) = 0, C(0) = 1. Покажемо, що S(π2 ) = 1, C(π2 ) = 0. З цiєю метою спочатку покажемо, що на iнтервалi (0; 2) iснує

єдина точка, у якiй функцiя C(x) обертається в нуль. Справдi, оскiльки C(0) = 1, а

i C(x) неперервна на вiдрiзку [0; 2], то iснує точка α (0; 2), у якiй C(α) = 0. А оскiльки

для всiх x (0; 2) i C0(x) = −S(x), то C(x) на вiдрiзку [0; 2] спадає i α єдина точка, у якiй C(α) = 0. Тодi з рiвностi C2(α) + S2(α) = 0 маємо, що S(α) = 1. Покажемо, що α = π2 . Справдi, оскiльки з одного боку,

1

Z √1 − x2 dx = π4 ,

0

357

а, з другого боку, проiнтегрувавши частинами, дiстанемо

1α

Отже, можемо означити тригонометричнi функцiї i у такий спосiб.

Означення 24.4. Тригонометричними функцiями y = sin x, y = cos x називають функцiї виду

Аналiтичне означення можна дати i для обернених тригонометричних функцiй, а саме

358

якi визначенi на вiдрiзку [−1; 1]. Пiсля цього довести, що iснує єдина пара неперервних на R функцiй x = cos θ, y = sin θ, якi задовольняють такi умови:

а) функцiя x = cos θ парна, має перiод 2π i на промiжку [0; π] є оберненою до функцiї

б) функцiя y = sin θ непарна, має перiод 2π i

√

sin θ = 1 − cos2 θ

на промiжку [0; π];

в) кожна точка (x; y), для якої x2 + y2 = 1, має координатне подання x = cos θ, y = sin θ, i таке подання єдине для θ [0; 2π).

Аналiтичне означення тригонометричних функцiй (24.6) пiдказує, як ввести такi функцiї комплексної змiнної. Розглянемо на комплекснiй площинi степеневi ряди

Легко перевiрити, що цi ряди збiгаються на всiй комплекснiй площинi, причому якщо z = x R, то сумою першого ряду є cos z, а другого sin z, тобто ряди (24.8) являють собою функцiї комплексної змiнної, якi є аналiтичним продовженням на всю комплексну площину функцiй дiйсної змiнної cos x i sin x. Тому природно за сумами цих рядiв зберегти такi ж позначення. Таким чином, маємо:

359

Якраз останнiм, як правило, користуються при дослiдженнi тригонометричних функцiй cos z, sin z.

Означення 24.5. Косинусом i синусом комплексної змiнної називають функцiї виду:

cos z := 12(eiz + e−iz),

(24.9)

sin z := 21i(eiz − e−iz).

З формул (24.9) безпосередньо випливає, що cos z — парна, а sin z — непарна функцiї, що вони перiодичнi, причому 2π є їх основний перiод. Справдi, якщо, наприклад, T є перiод функцiї