Matanaliz

дуг M0M1, M1M2, . . . , Mn−1Mn (Рис. 10). Позначимо довжину елементарної дуги Mi−1Mi через 4li (i = 1, n), а число

λ(T ) = max 4li

i=1,n

назвемо дiаметром розбиття T кривої . На кожнiй елементарнiй дузi Mi−1Mi оберемо точку Ni(ξi; ηi) (зрозумiло, що вiдрiзку [ti−1; ti] iснує точка ti така, що ξi = ϕ(ti ), ηi = ψ(ti )) i обчислимо значення функцiї f у кожнiй такiй точцi. Складемо

суму

n

X

σ(f, T, ξ) = f(ξi, ηi)4li,

i=1

де через ξ позначена множина {N1, N2, . . . , Nn}.

Означення 17.1. Якщо iснує

lim σ(f, T, ξ),

λ(T )→0

яка не залежить нi вiд способу розбиття кривої на частини, нi вiд вибору точок на кожнiй з елементарних дуг, то її називають криволiнiйним iнтегралом першого роду функцiї f по кривiй i позначають

Z

f(x, y)dl.

Зауважимо, що запис

lim σ(f, T, ξ) = I

λ(T )→0

означає, що для будь-якого ε > 0 можна вказати δ > 0 таке, що для всiх розбиттiв T , дiаметр яких менший δ, виконується нерiвнiсть

|σ(f, T, ξ) − I| < ε.

231

Можна довести, що коли крива спрямлювана i x = x(l), y = y(l) (0 6 l 6 S), де параметр l — довжина дуги кривої вiд точки

M0(x(0), y(0)) до точки M(x(l), y(l)) i функцiя f(ϕ(l), ψ(l)) непе-

Z

рервна на вiдрiзку [0, S], то iнтеграл f(x, y)dl iснує. Зокрема

L

має мiсце теорема.

Теорема 17.1. Якщо функцiя z = f(x, y) неперервна у деякiй областi G, яка мiстить криву , а крива є гладкою, тобто функцiї x = ϕ(t), y = ψ(t) неперервно диференцiйовнi на вiдрiзку [α; β], то криволiнiйний iнтеграл першого роду функцiї f по кривiй L iснує i має мiсце рiвнiсть

β

ZZ

p

f(x, y)dl = f(ϕ(t), ψ(t)) (ϕ0(t))2 + (ψ0(t))2dt.

α

Доведення. Оскiльки за умовою крива гладка, то вона спрямлювана. Якщо вiд параметричного подання кривої : x = x(l), y = y(l) перейти до її параметричного подання x = x(t), y = y(t), то з того, що x(0) = ϕ(α), y(0) = ψ(α), x(S) = ϕ(β), y(S) = ψ(β) i

p

dl = (ϕ0(t))2 + (ψ0(t))2dt,

дiстанемо

ZZ

p

f(x(l), y(l))dl = f(ϕ(t), ψ(t)) (ϕ0(t))2 + (ψ0(t))2dt.

0 α

Зауваження. Хоча означення криволiнiйного iнтеграла першого роду пов’язане з функцiєю двох змiнних, визначеною на кривiй , однак вiн подається через iнтеграл Рiмана функцiї однiєї змiнної на вiдрiзку. З цiєї причини на криволiнiйнi iнтеграли переносяться всi властивостi iнтеграла Рiмана.

232

_

Нехай у площинi xOy задано криву AB параметричними рiвняннями x = ϕ(t), y = ψ(t), де ϕ(t), ψ(t) — неперервнi на вiдрiзку [α; β] функцiї, причому початок кривої точка A має координати (ϕ(α); ψ(α)), а кiнець кривої точка B має координати (ϕ(β); ψ(β)), i нехай на цiй кривiй визначенi функцiї P (x, y),

Q(x, y).

Задамо розбиття τ = {t0, t1, . . . , tn}, де (α = t0 < t1 < · · · < tn = β), вiдрiзка [α; β] на частини. У кожному з елементарних

якi не залежать нi вiд способу розбиття вiдрiзка [α; β] на частини, нi вiд вибору точок на кожному з елементарних

вiдрiзкiв, то їх називають криволiнiйними iнтегралами дру-

_

гого роду функцiй P i Q вздовж кривої AB вiдповiдно по абсцисi x i по ординатi y i позначають

ZZ

На практицi, як правило, користуються сумою таких iнтегралiв, яку записують так:

Z

P (x, y)dx + Q(x, y)dy

_

AB

233

i називають криволiнiйним iнтегралом другого роду функцiй

_

P i Q вздовж кривої AB.

Теорема 17.2. Якщо функцiї P i Q неперервнi у деякiй

областi G, яка мiстить криву AB, а крива AB є гладкою, тобто функцiї x = ϕ(t), y = ψ(t) неперервно диференцiйов-

нi на вiдрiзку [α; β], то криволiнiйнi iнтеграли другого роду

_

функцiй P i Q вздовж кривої AB вiдповiдно по абцисi x i по ординатi y iснують i має мiсце рiвнiсть

Z

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

_

AB

β

Z

=(P (ϕ(t), ψ(t))ϕ0(t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ0(t))dt.

α

_

Якщо крива AB гладка, то у кожнiй своїй точцi вона має дотичну, напрямнi косинуси якої є функцiями параметра l (довжини кривої). Тодi формули

пов’язують криволiнiйнi iнтеграли першого i другого роду. Встановлено зв’язок мiж криволiнiйним iнтегралом другого

роду по замкненому контуру i подвiйним iнтегралом.

Означення 17.3. Область G будемо називати елементарною як вiдносно Oy так i вiдносно осi Ox, якщо її замикання G подається у виглядi ( див. Рис. 11),

G= {(x, y) | a 6 x 6 b, α(x) 6 y 6 β(x)} = = {(x, y) | c 6 y 6 d, γ(y) 6 x 6 δ(y)},

234

де α(x), β(x) — неперервнi на вiдрiзку [a; b] функцiї, а γ(y), δ(y) є неперервнi функцiї на вiдрiзку [c; d].

Теорема 17.3. Якщо функцiї P, Q неперервнi разом з похiдними ∂P∂y , ∂Q∂x на замиканi елементарної вiдносно осей Ox i

Oy областi G, то має мiсце рiвнiсть

де — межа областi G, причому обхiд вдовж кривої здiйснюється у додатному напрямку.

Доведення. Оскiльки замикання G областi G є область елементарна вiдносно осi Oy, тобто

G = {(x, y) | a 6 x 6 b, α(x) 6 y 6 β(x)},

де α(x), β(x) — неперервнi на вiдрiзку [a; b] функцiї, то подвiйний iн-

Рис. 11

Отже,

Ga

235

b

Z

=(P (x, β(x)) − P (x, α(x)))dx =

a

ZZ

= P (x, y)dx − P (x, y)dx.

__

Врахувавши, що

ZZ

ZZ

P (x, y)dx = P (x, y)dx = 0,

__

Аналогiчно, враховуючи, що область G є елементарною областю вiдносно осi Ox, маємо:

ZZ

∂Q∂x dxdy =

G

236

ZZ

Якщо вiд останньої рiвностi вiдняти попередню, то отримаємо рiвнiсть (17.1).

На пiдставi формули (17.1) (її називають формулою Грiна) можна сформулювати один з найважливiших результатiв теорiї криволiнiйних iнтегралiв, а саме умову незалежностi криволiнiйного iнтеграла вiд форми шляху iнтегрування. Точнiше, якщо функцiї P, Q визначенi i неперервнi разом з своїми похiдними

∂P∂y , ∂Q∂x на однозв’язнiй областi G, причому для будь-якої точки

(x, y) G

∂P∂y = ∂Q∂x ,

то якими б не були точки A i B з G криволiнiйний iнтеграл

Z

P dx + Qdy

_

по кусково-гладкiй кривiй AB G, не залежить вiд кривої AB, тобто iнтеграл не залежить вiд форми шляху iнтегрування, а залежить тiльки вiд точок A i B.

237

Перейдемо до означення поняття криволiнiйного iнтеграла для функцiї комплексної змiнної. Нехай у комплекснiй площинi задано спрямлювану криву рiвнянням z = z(t) = ϕ(t) + iψ(t), де t змiнюється вiд α до β i точка z(α) = ϕ(α) + iψ(α) початок, а z(β) = ϕ(β) + iψ(β) кiнець кривої .

Нехай функцiя f(z) = P (x, y) + iQ(x, y) однозначна i неперервна у кожнiй точцi кривої . Для означеностi, будемо вважати, що α < β. Тодi функцiї ϕ(t) i ψ(t) визначенi i неперервнi на вiдрiзку [α; β]. Нехай τ = {t0, t1, . . . , tn}, де α < t0 < t1 <

· · · < tn = β, розбиття вiдрiзка [α; β] на частини i λ(τ) його дiаметр. Кожнiй точцi tk (k = 0, 1, . . . , n) вiдповiдає точка zk = ϕ(tk) + iψ(tk), а множина точок zk породжує розбиття кривої на елементарнi дуги. На кожному елементарному вiдрiзку [tk−1; tk] (k = 1, n) вiзьмемо точку τk. Тодi на кожнiй елементарнiй дузi кривої маємо точку ζk = ϕ(τk) − iψ(τk). Знайдемо значення функцiї f(z) у кожнiй точцi ζk i складемо суму

n

X

f(ζk)(zk − zk−1),

k=1

яку природно назвати комплексною iнтегральною сумою, яка вiдповiдає розбиттю τ i набору точок τk.

Означення 17.4. Якщо iснує

n

X

lim f(ζk)(zk − zk−1),

λ(τ)→0

k=1

яка не залежить нi вiд способу розбиття вiдрiзка [α; β] на частини, нi вiд вибору точок τk на кожному з елементарних вiдрiзкiв, то її називають iнтегралом функцiї f(z) вздовж кривої (у заданому напрямку по кривiй) i позначають

Z

f(z)dz.

238

Z

Зрозумiло, що коли f(z)dz iснує, то це є комплексне чи-

сло, тому хотiлось би мати його подання в алгебраїчнiй формi. З цiєю метою скористаємось алгебраїчною формою функцiї f(z) i позначеннями

xk + i yk = ϕ(tk) + i ψ(tk),

xk − xk−1 = 4xk, yk − yk−1 = 4yk, ξk + i ηk = ϕ(τk) + i ψ(τk) = ζk

Тодi

n

X

f(ζk)(zk − zk−1) =

k=1

n

X

=(P (ξk, ηk) + i Q(ξk, ηk))(xk + iyk − xk−1 − iyk−1) =

k=1

n

X

=(P (ξk, ηk) + i Q(ξk, ηk))(4xk + i4yk) =

k=1

n

X

=(P (ξk, ηk)4xk − Q(ξk, ηk)4yk)+

k=1

n

X

+ i (Q(ξk, ηk)4xk + P (ξk, ηk)4yk).

k=1

Очевидно, що дiйсна i уявна частини комплексної iнтегральної суми самi є iнтегральними сумами, побудованями для пари функцiй P (x, y), Q(x, y), з допомогою яких вводились криволiнiйнi iнтеграли другого роду (по координатах).

Таким чином, якщо iснує

n

X

lim f(ζk)(zk − zk−1),

λ(τ)→0

k=1

239

то iснують границi

тобто криволiнiйнi iнтеграли другого роду

Z Z

P (x, y)dx − Q(x, y)dy, Q(x, y)dx + P (x, y)dy,

а, отже,

ZZ

Подання (17.2) пiдказує метод обчислення iнтеграла функцiї комплексної змiнної. А саме, якщо — гладка крива, тобто подання

z(t) = ϕ(t) + i ψ(t)

має неперервну похiдну z0(t) = ϕ0(t) + i ψ0(t), яка не обертається в нуль на вiдрiзку [α; β], а функцiя f(z) = P (x, y) + i Q(x, y) — визначена i неперервна у кожнiй точцi кривої , то

Z

f(z)dz =

β

Z

=P (ϕ(t), ψ(t))ϕ0(t) − Q(ϕ(t), ψ(t))ψ0(t) dt +

α

240