Matanaliz
.pdf
функцiї f1 i f2 диференцiйовнi у точцi x0, то диференцiйовними у цiй точцi будуть функцiї f1 + f2, f1 − f2, f1f2, причому
d (f1 + f2) = df1 + df2,
d (f1 − f2) = df1 − df2,
d (f1f2) = f1df2 + f2df1,
а якщо f2(x0) 6= 0, то i функцiя f1 , причому
f2
d |
f1 |
= |
f2df1 − f1df2 |
. |
|
f2 |
|
f22 |
|
Якщо функцiя f диференцiйовна у точцi x0, а функцiя g диференцiйовна у точцi y0 = f(x0), то функцiя g ◦ f диференцiйовна у точцi x0, причому
d (g ◦ f)(x0) = g0(y0)f0(x0)dx = g0(y0)dy.
Щодо функцiй багатьох змiнних неважко переконатись, що
коли функцiї f1(x1, x2, . . . , xn) i f2(x1, x2, . . . , xn) диференцiйовнi у точцi x0 = (x(0)1 , x(0)2 , . . . , x(0)n ), то диференцiйовними у цiй
точцi функцiї f1 + f2, f1 − f2, f1f2, причому
(f1 + f2)0(x0) = f10(x0) + f20(x0),
(f1 − f2)0(x0) = f10(x0) − f20(x0),
(f1f2)0(x0) = f10(x0)f2(x0) + f1(x0)f20(x0),
а якщо f2(x0) 6= 0, то i функцiя f1 , причому f2
f |
|
0 |
f0(x )f (x ) |
|
f (x )f0(x ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
f22 |
(x0) |
0 |
|
|||
|
1 |
|
|
(x0) = |
1 0 2 0 |
− |
1 0 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
141
Наприклад, якщо f1(x, y, z) = xyz, f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2 |
, то |
|||||||||||||
f |
|
0 |
|
f (1, 1, 1)f0 |
(1, 1, 1) f (1, 1, 1)f0(1, 1, 1) |
|
||||||||
f2 |
|
|
2 |
1 |
f22(1, 1, 1) |
|
|
|
2 |
|
|
|||
1 |
|
|
(1, 1, 1) = |
− 1 |
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
= 9(3(1, 1, 1) − (2, 2, 2)) = |
9 |
, |
9, |
9 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
На заключення зауважимо, що правила диференцiювання дають змогу звести вiдшукання похiдних як елементарних функцiй однiєї змiнної так i елементарних функцiй багатьох змiнних до вiдшукання похiдних основних елементарних функцiй. Останнi, як правило, подаються у виглядi таблицi.
N |
Функцiя |
Похiдна |
Область вiдшукання |
||||||
п/п |
f(x) |
|
|
f0(x) |
|
похiдної |
|||
1 |
C (const) |
0 |
|
|
|
|
R |
||
2 |
xα |
αxα−1 |
R, якщо α N, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x > 0, якщо α R |
||
3 |
ax |
ax ln a |
R (a > 0, a 6= 1) |
||||||
4 |
loga |x| |
1 |
|
|
R \ {0} (a > 0, a 6= 1) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x ln a |
|||||||
5 |
sin x |
|
|
cos x |
|
|
R |
||
6 |
cos x |
− sin x |
|
|
R |
||||
|
|
1 |
|
|
|
π |
|||
7 |
tg x |
|
|
|
R \ { |
|
+ kπ | k Z} |
||
cos2 x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142
N |
Функцiя |
|
|
Похiдна |
Область вiдшукання |
|||||||||||||||||
п/п |
f(x) |
|
|
|
|
|
f0(x) |
похiдної |
||||||||||||||
8 |
ctg x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R \ {kπ | k Z} |
||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sin2 x |
|||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arcsin x |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1; 1) |
||||||||
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arccos x |
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
(−1; 1) |
|||||||||||||
|
|
1 − x2 |
|
|||||||||||||||||||
11 |
arctg x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 + x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12 |
arcctg x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 + x2 |
||||||||||||||||||||
13 |
sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch x |
R |
|||||||||
14 |
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh x |
R |
|||||||||
15 |
th x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ch2x |
||||||||||||||||
16 |
cth x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R \ {0} |
||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sh2x |
||||||||||||||||||
17 |
arsh x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= ln(x + |
1 + x |
) |
|
√ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
18 |
arch x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= ln(x ± |
x |
|
− 1) |
±√ |
|
|
{x | |x| > 1} |
||||||||||||||
|
|
x2 − 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
143
N |
Функцiя |
Похiдна |
Область вiдшукання |
|||||||
п/п |
|
|
|
f(x) |
|
f0(x) |
похiдної |
|||
19 |
|
arth x = |
|
|
|
|
||||
|
= |
1 |
ln |
1 + x |
1 |
|
(−1; 1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 − x |
|
1 − x2 |
|||||
20 |
arcth x = |
|
|
|
|
|||||
|
= |
1 |
ln |
x + 1 |
1 |
|
{x | |x| > 1} |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
x − 1 |
|
1 − x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання для самоконтролю.
1.Дати фiзичну та геометричну iнтерпретацiю похiдної i диференцiала функцiї однiєї змiнної.
2.Розкрити геометричний змiст частинних похiдних i повного диференцiала функцiї двох змiнних.
3.Розкрити змiст теми „Похiдна“ шкiльного курсу математики.
4.Знайти похiднi функцiй:
√
а) y = ln(cos2 x + 1 + cos4 x);
б) y = | sin3 x|;
в) y = [x] sin2 πx.
5.Побудувати неперервну на R функцiю, яка немає похiдної у точках −1, 0, 1.
144
6.Довести, що
а) дотична до елiпса
|
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1 |
|||
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|||
у точцi (x0, y0) має рiвняння |
|
|||||||
|
xx0 |
|
+ |
yy0 |
= 1; |
|||
|
a2 |
|
||||||
|
|
|
b2 |
|
||||
б) свiтловi променi вiд джерела, розташованого в одному |
|||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
− b |
2 |
, 0), F2 |
= ( |
a |
2 |
− b |
2 |
, 0) |
елiпса з |
||
з фокусiв F1 = (− |
|
|
|
|
|
||||||||
пiвосями a > b > 0, збираються елiптичним дзеркалом у другому фокусi.
7. Довести, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
√an + x ≈ a + |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
nan−1 |
|||||||||||
де a > 0 i |x3| |
|
<<4 |
a. |
З |
допомогою цiєї формули обчислити |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
||||
наближено √9, |
√80, |
√100, |
√1000. |
|||||||||||
8.Нехай u = x2 + y2 + z2. У яких точках простору R3 кут
мiж похiдною цiєї функцiї у цих точках i похiдною у точцi (1, 1, 1) буде дорiвнювати π3 ?
145
12 ЛЕКЦIЯ: Похiдна функцiї комплексної змiнної.
Аналiтичнi функцiї
Похiдна функцiї комплексної змiнної, її диференцiйовнiсть. Теорема Кошi-Рiмана. Аналiтичнi функцiї. Аналiтичнiсть за Кошi i за Вейєрштрассом (еквiвалентнiсть рiзних форм означень аналiтичностi).
Лiтература. [1], ч. 3, с. 258–272, 298–302; [4] с. 33–49, 138–172; [9], ч. 2, с. 326–329.
Поняття похiдної функцiї комплексної змiнної вводиться так саме, як i для функцiї однiєї дiйсної змiнної. А саме, якщо однозначна (саме тiльки такi будемо розглядати) функцiя w = f(z) визначена у деякому околi точки z0, то, склавши рiзницеве
вiдношення
f(z) − f(z0)
z − z0
визначене для кожного z (z 6= z0) з цього околу, означаємо похiдну так.
Означення 12.1. Якщо iснує
f(z) − f(z0), z − z0
то її називають похiдною функцiї f у точцi z0 i позначають f0(z0). Саму функцiю f називають диференцiйовною у точцi z0.
Позначимо f(z) − f(z0) через 4w, а z − z0 — через 4z. Тодi згiдно означення
f0(z0) = lim 4w .
4z→0 4z
Останнє спiввiдношення можна переписати у виглядi
44wz = f0(z0) + ε(z0, 4z),
146
де lim ε(z0, 4z) = 0, або у виглядi
4z→0
4w = f0(z0)4z + ε(z0, 4z)4z.
Отже, якщо функцiя f диференцiйовна у точцi z0, то її прирiст 4w може бути поданий у виглядi
4w = A4z + ε(z0, 4z)4z,
де A не залежить вiд 4z i lim ε(z0, 4z) = 0. Навпаки, якщо
4z→0
для функцiї f у точцi z0 має мiсце останнє подання, то
lim 4w = A,
4z→0 4z
тобто вона диференцiйовна у точцi z0. Точно так саме, як i для функцiй однiєї дiйсної змiнної, головну частину приросту функцiї лiнiйну вiдносно 4z називають диференцiалом функцiї
i позначають
d w = f0(z0)dz.
З означення похiдної i властивостей границь легко отримати основнi правила диференцiювання.
Якщо функцiї f1 i f2 диференцiйовнi у точцi z0, то диференцiйовними у цiй точцi будуть функцiї f1 + f2, f1 − f2, f1f2, а
якщо f2(z0) 6= 0, то i функцiя f1 , причому f2
(f1 + f2)0(z0) = f10(z0) + f20(z0), (f1 − f2)0(z0) = f10(z0) − f20(z0),
(f1f2)0(z0) = f10(z0)f2(z0) + f1(z0)f20(z0),
f |
|
0 |
|
f0(z )f (z ) |
|
f (z )f0(z ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f2 |
|
|
f22(z0) |
0 |
|
||||
|
1 |
|
|
(z0) = |
1 0 2 0 |
− |
1 0 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
147
Якщо функцiя f диференцiйовна у точцi z0, а функцiя g диференцiйовна у точцi f(z0), то диференцiйовною буде композицiя цих функцiй g ◦ f, причому
(g ◦ f)0(z0) = g0(f(z0))f0(z0).
Якщо функцiя f є взаємно-однозначною вiдповiднiстю мiж множинами E i F (E C, F C), а обернена їй функцiя f−1 є неперервною на F , то з диференцiйовностi функцiї f у точцi x0 i того, що f0(z0) 6= 0, випливає диференцiйовнiсть функцiї f−1 у точцi w0 = f(z0), причому
f−1 0 (w0) = f0(1z0).
Оскiльки задання функцiї f(z) еквiвалентно заданню двох дiйсних функцiй двох дiйсних змiнних, а саме
f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),
то цiлком природним було бажання фундаторiв в теорiї функцiй комплексної змiнної Кошi i Рiмана виявити зв’язок мiж диференцiйовнiстю функцiї f(z) i диференцiйовнiстю функцiй u(x, y), v(x, y).
Мiркування, якi привели їх до результату могли бути такими. Диференцiйовнiсть функцiї f(z) як функцiї комплексної змiнної означає iснування диференцiала df = f0(z)dz. Диференцiйовнiсть функцiї f(z) = u(x, y)+iv(x, y) як комплекснозначної функцiї двох дiйсних змiнних означає iснування повного дифе-
ренцiала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
∂f |
|
∂u |
|
∂v |
dx + |
|
∂u |
|
∂v |
dy. |
||
df = |
|
dx + |
|
dy = |
|
+ i |
|
|
+ i |
|
||||
∂x |
∂y |
∂x |
∂x |
∂y |
∂y |
|||||||||
В останньому виразi перейдемо формально вiд змiнних x i y до змiнних z i z. А саме оскiльки з того, що z = x + iy, z = x − iy,
148
dz = dx + idy, dz¯ = dx − idy, маємо
x = 12(z + z), y = 21i(z − z),
dx = 12(dz + dz¯), dy = 21i(dz − dz),
то
df = ∂f∂x 12(dz + dz) + ∂f∂y 21i(dz − dz) =
= 2 |
∂x |
− i ∂y dz+ = |
2 |
∂x |
+ i ∂y dz. |
|||
1 |
|
∂f |
|
∂f |
1 |
∂f |
|
∂f |
А оскiльки
∂f∂z = ∂f∂x ∂x∂z + ∂f∂y ∂y∂z = 12 ∂f∂x + 21i ∂f∂y ,
∂f∂z = ∂f∂x ∂x∂z + ∂f∂y ∂y∂z = 12 ∂f∂x − 21i ∂f∂y ,
то
df = ∂f∂z dz + ∂f∂z¯dz¯
.
Таким чином, щоб диференцiал функцiї f(z) комплексної змiнної дорiвнював повному диференцiалу функцiї f(z) = u(x, y) + iv(x, y) треба вимагати не тiльки диференцiйовнiсть функцiй u(x, y) i v(x, y), але й виконання рiвностi
|
∂z = 0 або |
∂x |
+ i ∂y = |
∂x |
+ i∂x + i |
∂y |
+ i∂y |
= 0. |
||||||
|
∂f |
∂f |
|
∂f |
∂u |
|
∂v |
|
∂u |
∂v |
|
|||
Тобто мають виконуватись рiвностi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂u |
− |
∂v |
|
∂v |
|
∂u |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
+ |
|
= 0. |
|
|
||
|
|
∂x |
∂y |
|
∂x |
∂y |
|
|
||||||
149
Теорема 12.1 (Кошi–Рiмана). Для того щоб функцiя f(z) = u(x, y) + iv(x, y) була диференцiйовна у точцi z0 = x0 + iy0, необхiдно i достатньо, щоб функцiї u(x, y), v(x, y) були диференцiйовнi у точцi (x0, y0) i їх частиннi похiднi у цiй точцi задовольняли умови
∂u |
|
|
∂v |
|
∂u |
= − |
∂v |
(12.1) |
|
|
= |
|
|
, |
|
|
. |
||
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
||||||
Якщо умови теореми виконанi, то похiдна f0(z0) має вигляд
f0(z0) = |
∂u |
+ i |
∂v |
= |
∂v |
+ i |
∂v |
= |
||
∂x |
∂x |
∂y |
∂x |
|||||||
|
|
|
|
(12.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
∂v |
− i |
∂u |
= |
∂u |
− i |
|
∂u |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
∂y |
∂y |
∂x |
∂y |
|||||||
Доведення. Необхiднiсть. Нехай функцiя f диференцiйовна у точцi z0. Тодi за означенням
4w = f0(z0)4z + ε(z0, 4z)4z,
де
4z = z − z0 = (x − x0) + i(y − y0) = 4x + i4y,
4w = f(z) − f(z0) =
= (u(x, y) − u(x0, y0)) + i(v(x, y) − v(x0, y0)) = 4u + i4v,
f0(z0) = a + bi,
ε(z0, 4z) = ε1(x0, y0, 4x, 4y) + iε2(x0, y0, 4x, 4y),
lim ε1 = |
lim ε2 = 0. |
4x → 0 |
4x → 0 |
4y → 0 |
4y → 0 |
150