Matanaliz

Зауважимо, що подання (6.3) дає можливiсть обчислювати число e з якою завгодно точнiстю.

Приклад 3. Обчислити число e з точнiстю 10−4.

71

маємо, що уже n = 7 розв’язок цiєi нерiвностi. Отже, з точнiстю

10−4

e ≈ 2 + 2!1 + 3!1 + 4!1 + 5!1 + 6!1 + 7!1 ≈ 0, 71826.

Взявши за основу число e, маємо показникову функцiю ex. Звичайно її можна було б означити i так

ex := lim 1 + x n .

n→∞ n

Такий пiдхiд проходить i для означення функцiї комплексної змiнної ez := ex(cos y + i sin y).

Приклад 4. Довести, що для будь-якого z C

lim 1 + z n = ex(cos y + i sin y),

n→∞ n

де z = x + iy.

Розв’язання. Оскiльки у поданнi

1 + nz n = 1 + nx + iny n

72

при будь-якому x для досить великих n 1 + nx > 0, то у такому випадку

73

Завдання для самоконтролю.

1.Опишiть iнструментарiй знаходження границь послiдовностей, яким ви володiєте.

2.У який спосiб можна скористатись похiдною при знаходженнi границь послiдовностей?

3.У який спосiб можна скористатись iнтегралом при знаходженнi границь послiдовностей?

4.Знайти границю послiдовностi, видiливши її головну частину:

c) lim 1000n sin(n2 + 1);

n→∞ n2 + 1

6. Довести, що

n

lim X λ = eλ.

n→∞ k! k=0

74

7. Довести, що послiдовнiсть (xn), у якої x1 > 0 i для n =

√ √

9. Кожен член послiдовностi ((1 + 2 + 3)n) можна подати

√ √ √

у виглядi xn = an + bn 2 + cn 3 + dn 6, де an, bn, cn, dn —

10.Будемо називати послiдовнiсть (αn) нескiнченно малою послiдовнiстю, якщо для будь-якого ε > 0 можна вказати

номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть |xn| < ε. Побудуйте теорiю границь послiдовностей, прийнявши таке означення границi: „Якщо послiдовнiсть (xn)

можна подати у виглядi (a + αn), де (αn) — нескiнченно мала послiдовнiсть,то число a називають границею послiдовностi (xn)“.

75

7ЛЕКЦIЯ: Границя функцiї n дiйсних змiнних та

її властивостi

Поняття функцiї n дiйсних змiнних, способи задання. Границя функцiї n дiйсних змiнних. Властивостi границь. Деякi найважливiшi границi функцiї однiєi змiнної.

Лiтература. [1], ч. 2, с. 16–20; [2], ч. 2, с. 117–158, 419–424; [3], т. 1, с. 60–84, 266–268; [9], ч. 2, с. 84–89; [10], с. 103–136.

З теоретико-множинної точки зору вiдношення (X, Y, f), де X, Y — двi довiльнi множини, f X×Y , називається функцiєю, якщо

( x X)( y1, y2 Y ) ((x, y1) f (x, y2) f = y1 = y2) ,

тобто f не мiстить рiзних пар з однаковими першими компонентами.

Термiн „вiдношення“ замiнюють теормiном „вiдповiднiсть“ i говорять, що функцiєю, визначеною на множинi X iз значеннями у множинi Y , називається вiдповiднiсть, яка кожному елементу з множини X вiдносить один елемент з множини Y .

Зокрема, якщо X є пiдмножина n-вимiрного евклiдового простору Rn, а множина R (одновимiрний евклiдiв простiр), то вiдповiднiсть, яка кожнiй n-цi дiйсних чисел множини X вiдносить одне дiйсне число, називається функцiєю n змiнних i позначається або одним символом f, або у позначення входить i аргумент

f(x) = f(x1, x2, . . . , xn).

У випадку, коли X пiдмножина множини R, то говорять про функцiю дiйсної змiнної i використовують позначення f(x).

Задати функцiю f(x) означає задати те правило (закон), згiдно якого можна за даним значенням аргументу вказати вiдповiдне значення функцiї. У зв’язку з цим є рiзнi способи задання функцiї (словесним заданням вiдповiдностi, табличним, а для функцiї однiєї змiнної графiчним), проте найбiльш популярним є аналiтичний (за допомогою формули) спосiб задання функцiї.

76

Якщо врахувати, що над функцiями можна виконувати двi теоретико-множиннi операцiї композицiї i обернення, результатом яких є складна i обернена функцiя, i за рахунок того, що значеннями функцiї є дiйснi числа, чотири арифметичних операцiї

(f1 + f2)(x) := f1(x) + f2(x),

(f1 − f2)(x) := f1(x) − f2(x),

(f1f2)(x) := f1(x)f2(x),

f1 (x) := f1(x), f2 f2(x)

то задавши деякi основнi (базиснi) функцiї i порядок виконання операцiй над ними, можна будувати аналiтичнi вирази, якi i будуть аналiтичним заданням функцiї. При такому формальному заданнi функцiй виникає проблема знаходження областi визначення функцiї.

Якщо скористатись позначенням D(f) для областi визначення i E(f) для множини значень, то для функцiй n дiйсних змiнних маємо:

D(f1 + f2) = D(f1 − f2) = D(f1f2) = D(f1) ∩ D(f2),

Якщо ж над f можна виконати операцiю обернення, а над функцiями f1 i f2 операцiю композицiї, то

D(f−1) = E(f), D(f1 ◦ f2) = {x | f1(x) E(f1) ∩ D(f2)}.

Такий прийом дає змогу видiлити певнi класи функцiй. На-

77

приклад, якщо за вихiднi взяти основнi елементарнi функцiї:

то кожна функцiя, яка утворюється з основних за допомогою скiнченного числа арифметичних операцiй i композицiй, називається елементарною функцiєю.

З елементарних функцiй однiєї змiнної можна конструювати

Функцiї, якi отримуються iз змiнних x1, x2, . . . , xn з допомогою скiнченного числа операцiй композицiї, додавання, множення, дiлення i взяття елементарних функцiй однiєї змiнної, називаю-

(x01, x02, . . . , x0n) гранична точка множини D(f). Тодi факт, що при наближеннi точки x D(f) до точки x0 значення функцiї f(x) наближається до деякого числа A, i є сутнiстю поняття границi функцiї у точцi. Це поняття можна ввести або з допомогою поняття границi послiдовностi,або з допомогою ε − δ технiки Кошi.

78

Означення 7.1 (За Гейне). Число A називається границею функцiї f(x) у точцi x0, якщо для будь-якої послiдовностi

(xn) точок з E такої, що n xn 6= xo i lim xn = x0, числова

n→∞

послiдовнiсть (f(xn)) вiдповiдних значень функцiї збiгається

до числа A, тобто lim f(xn) = A.

n→∞

Позначається або

lim f(x) = A,

x→x0

або

lim f(x1, x2, . . . , xn) = A.

x1 → x01 x2 → x02

. . . . . . . . .

xn → x0n

Зауважимо, що для функцiй бiльше однiєї змiнної можна розглядати так званнi повторнi границi

Означення 7.2 (за Кошi). Число A називається границею функцiї f(x) у точцi x0, якщо для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх x з E, якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ, виконується нерiвнiсть |f(x) − A| < ε.

Теорема 7.1 (обмеженiсть функцiї, що має границю) Якщо функцiя f(x) у точцi x0 має границю, то iснує куля B(x0, δ) i число M > 0 такi, що x B(x0, δ) ∩ D(f) виконується нерiвнiсть |f(x)| 6 M.

Доведення. Нехай lim f(x) = A. Тодi для будь-якого ε > 0,

x→x0

зокрема для ε = 1, можна вказати таке δ > 0, що для всiх x D(f), якi задовольняють нерiвнiсть 0 < d(x0, x) < δ,

79

виконується нерiвнiсть |f(x) − A| < 1. А оскiльки |f(x)| =

|f(x) − A + A| 6 |f(x) − A| + |A|, то для x B(x0, δ) ∩ D(f)

|f(x)| 6 |A| + 1, якщо x0 6 D(f), i |f(x)| 6 max(|A| + 1, |f(x0)|), якщо x0 D(f).

Теорема 7.2 (границя i арифметичнi операцiї) Якщо функцiї f1(x) i f2(x) мають границi у точцi x0, то у цiй точцi мають границi функцiї (f1 + f2)(x), (f1 − f2)(x), (f1f2)(x), причому

Якщо ж крiм того iснує така куля B(x0, r), що для всiх x 6=

x0, якi належать B(x0, r) ∩ D(f2) f2(x) 6= 0, i lim f2(x) 6= 0,

x→x0

ченням 7.1 маємо, що для будь-якої послiдовностi (xn) точок з

D(f1) такої, що n xn 6= x0 i lim xn = x0, числова послiдов-

n→∞

нiсть (f1(xn)) має границею число A, тобто lim f1(xn) = A. А

n→∞

з того, що lim f2(x) = B маємо, що для будь-якої послiдовно-

x→x0

стi (xn) точок з D(f2) такої, що n xn 6= x0 i lim xn = x0,

n→∞

числова послiдовнiсть (f2(xn)) має границею число B, тобто

80