Matanaliz

з точнiстю до o((x − x0)n).

Зрозумiло, що при замiнi функцiї f її многочленом Тейлора нас цiкавить не порядок похибки, а її оцiнка. Таку оцiнку можна отримати, скориставшись iншими формами залишкового члена.

(iнтегральна форма).

Якщо функцiя f(x) рацiональна, то обчислення її значень зводиться до пiдстановки на мiсце незалежної змiнної x вiдповiдного числа i виконання чотирьох арифметичних дiй. Якщо ж функцiя не є рацiональною, то тут пiдстановка дає результат тiльки в окремих випадках, а, взагалi, значення, наприклад, логарифмiчної або ж тригонометричних функцiй обчислюється за допомогою таблиць. Якраз формули Тейлора i є iнструментом для складання таких таблиць.

Вiзьмемо, для прикладу, функцiю f(x) = sin x. Оскiльки для цiєї функцiї

171

многочлени Тейлора (точнiше, многочлени Маклорена) вiдповiдно степеня 1, 3, . . . , 2n − 1, . . .. Скориставшись залишковим членом у формi Лагранжа, для функцiї f(x) = sin x маємо таке подання

Випишемо многочлен, який дозволяє обчислювати значення sin x для будь-якого x з вiдрiзка [−1; 1] з точнiстю до 10−4. Оскiльки

Звичайно, коли |x| < 1 задану точнiсть забезпечує многочлен нижчого степеня. Наприклад, обчислимо з точнiстю до 10−4 sin 10◦. Оскiльки

10◦ = 18π ≈ 0, 174533 < 0, 2 ,

то

173

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

n

Pn(f, 0, x) = 1 + X α(α − 1) . . . (α − k + 1)xk, k!

k=1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Скориставшись залишковим членом у формi Кошi, для функцiї f(x) = (1 + x)α маємо таке подання

= 1 + Cn1x + Cn2x2 + · · · + Cnnxn,

тобто для цього випадку (1 + x)n подається формулою бiнома Ньютона. У зв’язку з цим користуються позначенням

n

X

(1 + α)n = 1 + Cαkxk + o(xn).

k=1

175

Продемонструємо застосування останньої формули при добу-

√

ваннi коренiв, а саме обчислимо 2 з точнiстю до 10−4. Насам-

√

перед 2 перетворимо так, щоб пiд коренем було число близьке до 1. З цiєю метою випишемо два рядки чисел

(у першому — квадрати натуральних чисел, у другому — числа першого рядка помноженi на 2). Шукаємо у цих рядках числа, вiдношення яких достатньо близьке до 1 (числа пiдкресленi). Тодi

√

i уже з цим виразом можна працювати. Однак 2 можна подати у бiльш зручному для обчислення виглядi, а саме

176

Звiдси маємо, що

= 35 · (0, 01)4 = 0, 00000035 < 75 · 10−4.

Отже,

√2 ≈ 75 1 + C−1 0,5(−0, 02) + C−2 0,5(−0, 02)2 + C−3 0,5(−0, 02)3 =

≈ 1, 40000 + 0, 01400 + 0, 00021 ≈ 1, 4142.

Формула Тейлора дає просте i достатньо загальне правило видiлення головної частини функцiї, що, як пiдкреслено у ([3], т. 1, с. 181), надає методу обчислення границь функцiй через видiлення правильної частини алгоритмiчного характеру.

Нехай, наприклад, необхiдно знайти

lim f(x),

x→x0 g(x)

де lim f(x) = lim g(x) = 0. Подаємо функцiї f(x) i g(x) у

x→x0 x→x0

виглядi

f(x) = a(x − x0)n + o((x − x0)n), g(x) = b(x − x0)m + o((x − x0)m),

177

де a 6= 0, b 6= 0. Тодi

Неозначеностi типу ∞∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞, 00, ∞0 зводяться

шляхом алгебраїчних перетворень до неозначеностi 00.

Ефективнiсть цього методу значно пiдвищується, якщо використовується готовий набiр асимптотичних формул при x → 0, тобто подання основних елементарних функцiй в околi точки 0 через вiдповiднi розклади Тейлора, а саме

178

Завдання для самоконтролю.

1.Довести, що якщо многочлен Pn(x) з дiйсними коефiцiєнтами має n простих дiйсних коренiв, то його похiдна має n − 1 простий дiйсний корiнь.

2.Довести, що всi коренi похiдної вiд многочлена

P (x) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)(x − 3)

дiйснi i вказати межi, у яких вони мiстяться.

3.Нехай f(x) = x2 + px + q, де p, q R, i [a; b] — довiльний вiдрiзок. Чи застосовна до цiєї функцiї теорема Лагранжа? Якщо так, то у якiй точцi береться значення похiдної?

4.Нехай функцiя f диференцiйовна на вiдрiзку [a; b] i

f(a) = f(b) = 0.

Довести, що iснує точка c [a; b], у якiй

f0(c) = f(c).

5. Знайти

в) lim (ctg x)sin x.

x→0+

6.Нехай f — нескiнченне число раз диференцiйовна у нулi функцiя. Довести, що

180