Matanaliz

Означення 4.2. Множину точок n-вимiрного евклiдового простору Rn {x | d(x0, x) < r}, де x0 — фiксований елемент з Rn, r — додатне число, називають кулею (точнiше вiдкритою кулею) з центром у точцi x0 радiуса r i позначають

B(x0, r) := {x | d(x0, x) < r}.

У евклiдовому просторi R1 B(x0, r) := (x0 −r, x0 + r) — iнтервал з центром у точцi x0 довжини 2r, у просторi R2

B((x0, y0), r) = {(x, y) | (x − x0)2 + (y − y0)2 < r}

є вiдкритий круг з центром у точцi (x0, y0) радiуса r, у просторi

R3

B((x0, y0, z0), r) = {(x, y, z) | (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < r}

є вiдкрита куля з центром у точцi(x0, y0, z0) радiуса r.

Означення 4.3. Пiдмножина G множини Rn називається вiдкритою в Rn, якщо для будь-якої точки x G iснує куля B(x, r) така, що B(x, r) G.

Означення 4.4. Пiдмножина F множини Rn називається замкненою в Rn, якщо її доповнення до Rn (Rn \F ) є вiдкрита множина в Rn.

Якщо у просторi Rn ввести поняття неперервної кривої, то пiдмножина E множини Rn називається зв’язною, якщо будьякi двi точки множини E можна з’єднати неперервною кривою, що повнiстю належать E, а вiдкрита зв’язна множина називається областю.

Цих понять достатньо, щоб будувати основи аналiзу функцiй багатьох змiнних.

51

Завдання для самоконтролю.

1. Довести, що лiнiйний простiр R2 можна надiлити скалярним добутком у такий спосiб: для довiльних

(x1, y1), (x2, y2) R2

де λ > 0. Який геометричний змiст норми, породженої таким скалярним добутком, i вiдстанi, породженої цiєю нормою?

2.Нехай 0 < ϕ < π. Довести, що у лiнiйному просторi R2 вiдстань можна задати у такий спосiб: для довiльних

(x1, y1), (x2, y2) R2

d((x1, y1), (x2, y2)) =

p

=(x1 − x2)2 + 2 cos ϕ(x1 − x2)(y1 − y2) + (y1 − y2)2.

При якому λ таку вiдстань породжує скалярний добуток, поданий вище?

3. Дослiдити, пря яких значеннях p, q, r

d((x1, y1, z1)(x2, y2, z2)) =

p

=p(x1 − x2)2 + q(y1 − y2)2 + r(z1 − z2)2

буде вiдстанню в R3.

4.Довести, що коли означити граничну точку для множини як точку таку, що будь-яка куля з центром у цiй точцi мiстить хоч одну точку з цiєї множини, вiдмiнну вiд заданої, то множина F замкнена тодi i тiльки тодi, коли вона мiстить всi свої граничнi точки.

52

5ЛЕКЦIЯ: Збiжнi послiдовностi у просторi Rn

Поняття послiдовностi у просторi Rn. Границя послiдовностi. Основнi властивостi границь.

Лiтература. [1], ч. 2, с. 7–12; [3], т. 1, с. 253–256.

Нехай маємо евклiдiв простiр Rn (далi просто простiр Rn).

Означення 5.1. Вiдповiднiсть, яка кожному натуральному числу вiдносить точку з простору Rn, називається послiдовнiстю точок простору Rn i позначається

(xk) = ((xk1, xk2, . . . , xkn)).

Послiдовнiсть (xk) називається обмеженою, якщо iснує куля B(x0, r) така, що кожен член послiдовностi належить цiй кулi.

Видiлимо клас збiжних послiдовностей.

Означення 5.2. Точку x0 називають границею послiдовностi точок (xk), якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер k0 такий, що для всiх k > k0 xk B(x0, ε), або, iнакше, для всiх k > k0 виконується нерiвнiсть

d(xk, x0) < ε або kxk − x0k < ε.

Кожну послiдовнiсть (xk) точок простору Rn, яка має границю будемо називати збiжною послiдовнiстю. Якщо x0 границя послiдовностi (xk), то цей факт записують

lim xk = x0.

k→∞

Приклад 1. Довести, що у просторi R2 послiдовнiсть

53

має границею точку (1, 2).

Легко переконатись, що кожна збiжна послiдовнiсть є обмеженою, проте не всяка обмежена послiдовнiсть є збiжною.

Оскiльки у просторi Rn як лiнiйному просторi означено операцiю додавання i множення на число, то цi операцiї переносяться на послiдовностi точок з Rn, а саме, якщо маємо двi послi-

число λ — послiдовнiсть λx(1)k .

Теорема 5.1. Якщо послiдовностi x(1)k i x(2)k збiгаю-

54

Доведення. Нехай послiдовностi x(1)k i x(2)k збiгаються i

Нехай k0 = max(k1, k2). Тодi, скориставшись нерiвнiстю Кошi, маємо k > k0

Отже, справдi

lim x(1)k + x(2)k = x(1)0 + x(2)0 . k→∞

Аналогiчно доводиться, що коли послiдовнiсть (xk) збiгається i λ R, то послiдовнiсть (λxk) збiгається i

lim λxk = λ lim Xk.

k→∞ k→∞

55

Теорема доведена.

Оскiльки означення границi послiдовностi точок простору Rn є дескриптивне, то для ефективного використання цього поняття необхiднi умови, якi гарантують iснування границi.

У першу чергу звернемо увагу на те, що послiдовнiсть точок

(xk) = ((xk1, xk2, . . . , xkn))

56

породжує n звичайних послiдовностей дiйсних чисел (послiдовностей координат)

(xk1), (xk2), . . . , (xkn),

i цiлком природно поставити питання „Чи пов’язана збiжнiсть послiдовностi (xk) iз збiжнiстю координатних послiдовностей (xki) (i = 1, n)?“ Сутнiсть цього зв’язку розкриває така теорема.

Теорема 5.3. Для того щоб послiдовнiсть точок простору Rn збiгалась, необхiдно i досить, щоб збiгались координатнi послiдовностi (xki) (i = 1, n), причому коли послiдовнiсть (xk) збiгається, то

Доведення. Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть точок простору Rn збiгається, причому

lim xk = x0 = (x01, x02, . . . , x0n).

k→∞

Покажемо, що для кожного i = 1, n послiдовнiсть (xki) збiга-

ється, причому lim xki = x0i. Справдi, оскiльки послiдовнiсть

k→∞

(xk) збiгається до x0, то ε > 0 k0 таке, що k > k0 d(xk, x0) <

ε. Тодi для i = 1, n i k > k0 маємо:

57

ε

то для ε > 0, зокрема для √n, iснує номер ki такий, що k > ki

виконується нерiвнiсть

ε

|xki − x0i| < √n.

Тодi для будь-якого k > k0 = max(k1, k2, . . . , kn) маємо: d(xk, x0) =

p

=(xk1 − x01)2 + (xk2 − x02)2 + · · · + (xkn − x0n)2 <

А цей означає, що lim xk = x0.

k→∞

Теорема 5.3 дає пiдставу зробити висновок, що збiжнiсть послiдовностей точок у просторi Rn має покоординатний характер, тобто щоб переконатись, що послiдовнiсть (xk) збiгається, до-

сить переконатись, що всi числовi послiдовностi (xki) (i = 1, n) збiгаються.

Практичне правило.

Якщо

58

точок простору R3.

Розв’язання. Оскiльки

Теорема 5.3 пiдказує також як шукати умови збiжностi послiдовностей точок простору Rn. Якщо за послiдовнiстю (xk) =

(xk1, xk2, . . . , xkn) складено числовi послiдовностi (xki) (i = 1, n), то для того щоб кожна з них була збiжною необхiдно i досить, щоб вони були фундаментальними, тобто такi, що ε > 0 можна

59

було вказати таке ki, що k > ki i p N виконується нерiвнiсть

|xki − xk+p,i| < ε.

За аналогiєю послiдовнiсть (xk) точок простору Rn назвемо

фундаментальною, якщо ε > 0 k0 таке, що k > k0 i p N

виконується нерiвнiсть

d(xk, xk+p) < ε.

Можна довести, що послiдовнiсть (xk) точок простору Rn фундаментальна тодi i тiльки тодi, коли кожна координатна послiдовнiсть є фундаментальною.

Тепер уже можна формулювати критерiй збiжностi послiдовностi точок простору Rn.

Критерiй Кошi. Для того щоб послiдовнiсть точок простору Rn була збiжною необхiдно i досить, щоб вона була фундаментальною.

На заключення вiдзначимо, що як i в аналiзi числових функцiй так i в аналiзi функцiй багатьох змiнних iстотну роль вiдiграє структура областi визначення функцiї. Так от поняття збiжностi послiдовностi точок простору Rn дозволяє видiлити клас множин, роль яких в аналiзi функцiй n змiнних схожа до ролi вiдрiзкiв в аналiзi числових функцiй.

Означення 5.3. Пiдмножина K простору Rn називається компактною, якщо з кожної послiдовностi (xk) точок з множини K можна видiлити пiдпослiдовнiсть збiжну до елемента з цiєї множини.

Теорема 5.4. Для того щоб множина K точок метричного простору Rn була компактною, необхiдно i досить, що вона була обмеженою i замкненою.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай K (K Rn) є компакт. Якщо вона скiнченна, то очевидно, що вона обмежена i замкнена. Припустимо, що iснує нескiнченна множина K, яка компактна, але необмежена, i нехай x0 K. Тодi в силу припущення

60