Matanaliz

а) якщо f — парна, то у многочленi Маклорена тiльки парнi степенi x;

б) якщо f — непарна, то у многочленi Маклорена тiльки непарнi степенi x.

7.Нехай f(x) — нескiнченно раз диференцiйовна у точцi x = 0, i нехай

f0(x) = a0 + a1x + · · · + anxn + o(xn).

Довести, що

i на пiдставi цього знайти тейлоревi розклади функцiй arctg x i arcsin x.

8.Довести, що коли функцiя f диференцiйовна на вiдрiзку [a; b] i f0(a) = A < f0(b) = B, то для кожного C (A < C < B) iснує точка c (a; b), для якої f(c) = C.

181

14 ЛЕКЦIЯ: Дослiдження функцiй методами ди-

ференцiального числення

Умови сталостi i монотонностi функцiї на промiжку. Екстремуми функцiї. Опуклiсть i точки перегину. Асимптоти. Повне дослiдження функцiї та побудова її графiка.

Лiтература. [1], ч. 1, с.128–136; [2], ч. 1, с. 242–268; [3] т. 1, с. 184–209.

Як правило, дослiджуються функцiї, заданi одним (явно, неявно, полярними координатами) або двома (параметрично) рiвняннями, тобто об’єктами дослiдження є або рiвняння y = f(x), або F (x, y) = 0, або ρ = ρ(ϕ), або два рiвняння x = ϕ(t), y = ψ(t). Таке дослiдження можна iнколи спростити, якщо перейти вiд одного способу задання функцiї (кривої) до iншого.

Якщо функцiя задана явно (зрозумiло, що мова йде про елементарну функцiю), то її областю визначення є всi тi значення аргументу, для яких вiдповiдний аналiтичний вираз має змiст. Це так званна природна область визначення, у кожнiй внутрiшнiй точцi якої функцiя не тiльки визначена, але й неперервна. Вимагає додаткового дослiдження поведiнка функцiї в околi межових точок областi неперервностi, яке проводиться з допомогою операцiї граничного переходу, тобто знаходять або

lim f(x), або lim f(x), або обидвi. У випадку, коли область

визначення необмежена, поведiнку функцiї на нескiнченностi дослiджують з допомогою границь виду

Подальшу iнформацiю як про локальнi так i про глобальнi (iнтегральнi) властивостi функцiї можна здобути засобами диференцiального числення. Якраз застосування iнструментарiю диференцiального числення для дослiдження функцiї i побудови її графiка є предметом вивчення цiєї лекцiї.

182

Насамперед, на пiдставi теореми Лагранжа можна стверджувати, що якщо функцiя f визначена i диференцiйовна на iнтервалi (a, b), то мають мiсце такi твердження:

1.( x (a, b))(f0(x) = 0) ( x (a, b))(f(x) = 0),

2.( x (a, b))(f0(x) > 0) ( x1, x2 (a, b))(x1 < x2 = f(x1) 6 f(x2)),

3.( x (a, b))(f0(x) 6 0) ( x1, x2 (a, b))(x1 < x2 = f(x1) > f(x2)),

4.( x (a, b))(f0(x) > 0) = ( x1, x2 (a, b))(x1 < x2 = f(x1) < f(x2)),

5.( x (a, b))(f0(x) < 0) = ( x1, x2 (a, b))(x1 < x2 = f(x1) > f(x2)),

тобто функцiя f диференцiйовна на iнтервалi (a, b) є сталою тодi i тiльки тодi, коли її похiдна дорiвнює тотожно нулю на цьому iнтервалi, неспадною тодi i тiльки тодi, коли її похiдна невiд’ємна на цьому iнтервалi, незростаючою тодi i тiльки тодi, коли її похiдна недодатна на цьому iнтервалi. Додатнiсть похiдної є достатною (але не необхiдною) умовою строгого зростання функцiї, а її вiд’ємнiсть є достатною (але не необхiдною) умовою строгого спадання функцiї.

При доведеннi усiх цих тверджень використовується той факт, що для будь-яких x1, x2 (a, b) (x1 < x2) функцiя f на вiдрiзку [x1, x2] задовольняє умови теореми Лагранжа, а, отже, iснує точка c (x1, x2) така, що

f(x2) − f(x1) = f0(c)(x2 − x1).

У шкiльному пiдручнику [8, с. 322–323] обгрунтовуються тiльки достатнi умови строгого зростання та спадання функцiї,

183

причому при доведеннi використовується безпосередньо означення похiдної. Правда, це змусило означити, наприклад, зростаючу на промiжку ha, bi функцiю як функцiю, що зростає у кожнiй внутрiшнiй точцi цього промiжку. Таким чином, поняття монотонностi вводиться як локальна властивiсть функцiї, а саме, функцiя f(x) визначена на промiжку ha, bi називається зростаючою у внутрiшнiй точцi x0 цього промiжку, якщо iснує iнтервал (x0 − δ, x0 + δ), який знаходиться у промiжку ha, bi i такий, що f(x) < f(x0) для всiх x з iнтервалу (x0 − δ, x0) i f(x) > f(x0) для всiх x з iнтервалу (x0, x0 + δ). Пiсля цього той факт, що якщо функцiя f у внутрiшнiй точцi x0 промiжку ha, bi має похiдну f0(x0) i f0(x0) > 0, то функцiя f у точцi x0 зростає, доводиться так: „Оскiльки за означенням

i за умовою f0(x0) > 0, то знайдеться iнтервал (x0 − δ, x0 + δ) такий, що для всiх x з цього iнтервалу, крiм точки x = x0, справджуватиметься нерiвнiсть:

f(x) − f(x0) > 0. x − x0

(Зауважимо, що про збереження знаку функцiєю, яка має у точцi вiдмiнну вiд нуля границю, нiде не згадується). Нехай x0 − δ < x < x0, то x − x0 < 0, а, отже, f(x) − f(x0) < 0. Нехай x0 −δ < x < x0 +δ, то x−x0 > 0, а, отже, f(x)−f(x0) > 0. Отже, iснує iнтервал (x0 − δ, x0 + δ) такий, що для всiх x з iнтервалу (x, x0 + δ) матимемо f(x) > f(x0), а це й означає, що у точцi x0 функцiя є зростаюча.“

Бiльш детально розглянемо питання дослiдження функцiї на екстремум i на опуклiсть. Нехай функцiя f визначена на iнтервалi (a, b) i x0 (a, b).

184

Означення 14.1. Точка x0 називається точкою максимуму (мiнiмуму) функцiї f, якщо iснує окiл (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 такий, що для всiх x з цього околу f(x) 6 f(x0) (f(x) > f(x0)).

Означення 14.2. Точка x0 називається точкою строгого максимуму (мiнiмуму), якщо iснує окiл (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 такий, що для всiх x 6= x0 з цього околу f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).

У подальшому, як правило, мова буде йти про точки строгого максимуму i мiнiмуму, якi називають точками екстремуму. Очевидно, що тiльки для точок строгого екстремуму прирiст функцiї 4f не змiнює знак при переходi через точку екструмуму x0.

Теорема 14.1 (необхiднi умови екстремуму). Якщо функцiя f визначена у деякому околi точки x0, яка є її точкою екстремуму, то або функцiя не диференцiйовна у точцi x0, або f0(x0) = 0.

Доведення. Якщо точка x0 є точкою, наприклад, максимуму функцiї f, то iснує окiл (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 такий, що для всiх x з цього околу f(x) 6 f(x0). Тодi для всiх x з iнтервалу

(x0 − δ, x0)

f(x) − f(x0)

>0

x − x0

i лiвостороння границя (якщо вона iснує)

f(x) − f(x0) 6 0 x − x0

185

i правостороння границя (якщо вона iснує)

Таким чином, якщо хоч одна iз цих границь не iснує, або обидвi iснують, однак не рiвнi мiж собою, то функцiя f у точцi x0 недиференцiйовна. Якщо ж

то функцiя f у точцi x0 диференцiйовна i в силу (14.1) i (14.2) f0(x0) > 0, f0(x0) 6 0. Це можливо, коли f0(x0) = 0.

Таким чином, точками пiдозрiлими на екстремум (стацiонарними точками) для функцiї f є коренi рiвняння f0(x0) = 0 i тi точки, у яких функцiя визначена, однак похiдна не iснує.

Теорема 14.2 (достатнi умови екстремуму). Якщо функцiя f диференцiйовна на iнтервалi (a, b), крiм, можливо, точки x0 (a, b), у якiй похiдна може не iснувати, однак функцiя у цiй точцi неперервна, i при переходi через точку x0 похiдна змiнює знак, то точка x0 є точкою екстремуму, причому точкою строгого максимуму, якщо змiна знаку з плюса на мiнус, i точкою строгого мiнiмуму, якщо змiна знаку з мiнуса на плюс.

Доведення. Нехай x0 — стацiонарна точка для функцiї f, тобто у цiй точцi або функцiя недиференцiйовна, або ж f0(x0) = 0. i нехай, для означеностi на iнтервалi (x0 − δ, x0) f0(x0) > 0, а на iнтервалi (x0, x0 + δ) f0(x0) < 0. Якщо x (x0 − δ, x0), то на вiдрiзку [x, x0] функцiя f задовольняє умови теореми Лагранжа. А, отже, iснує така точка c1 (x, x0), що

f(x0) − f(x) = f0(c1)(x0 − x).

186

Врахувавши, що для будь-якого x (x0 − δ, x0) f0(x) > 0, маємо, що f0(c1) > 0 i f(x0) − f(x) > 0 для всiх x (x0 − δ, x0). Якщо ж x (x0, x0 + δ), то на вiдрiзку [x0, x] функцiя f теж задовольняє умови теореми Лагранжа. А, отже, iснує така точка c2 (x0, x), що

f(x) − f(x0) = f0(c2)(x − x0).

Врахувавши, що для будь-якого x (x0, x0 + δ) f0(x) < 0, маємо, що f0(c2) < 0 i f(x) − f(x0) < 0. Таким чином, для всiх x (x0 −δ, x0 + δ) (x 6= x0), виконується нерiвнiсть f(x) < f(x0). А це й означає, що точка x0 є точкою максимуму для функцiї f. Аналогiчно доводиться друга частина теореми.

Можна довести, що якщо функцiя f визначена у деякому околi точки x0, у точцi x0 f0(x0) = 0, а f00(x0) 6= 0, то точка x0 є точкою максимуму, якщо f00(x0) < 0, i точкою мiнiмуму, якщо f00(x0) > 0.

Теорема 14.3 (достатнi умови екстремуму). Якщо функцiя f визначена у деякому околi точки x0, має у точцi x0 похiднi до n-го порядку включно, причому

f0(x0) = f00(x0) = · · · = f(n−1)(x0) = 0,

а f(n)(x0) 6= 0, то при n непарному у точцi x0 екстремуму немає, а при n парному точка x0 є точкою строгого мiнiмуму, якщо f(n) > 0 i точкою строгого максимуму, якщо f(n) < 0.

Доведення. Оскiльки за умовою функцiя f у точцi x0 має n похiдних, то її можна подати у виглядi

(формула Тейлора). Врахувавши, що

f0(x0) = f00(x0) = · · · = f(n−1)(x0) = 0,

187

Зрозумiло, що коли x досить близьке до x0, то знак цiєї рiзницi повнiстю визначає перший доданок. Якщо n непарне, то при переходi через точку x0 (x − x0)n змiнює знак, а, отже, змiнюється знак рiзницi f(x) − f(x0) i екстремуму немає. Якщо ж n парне, то перший доданок у (14.4) для x близьких до x0 повнiстю визначається знаком числа f(n)(x0). Зокрема, якщо f(n)(x0) > 0, то iснує окiл точки x0 такий, що для всiх x 6= x0 з цього околу має мiсце нерiвнiсть f(x) − f(x0) > 0 або f(x) > f(x0), i точка x0 є точкою мiнiмуму. Якщо ж f(n)(x0) < 0, то iснує окiл точки x0 такий, що для всiх x 6= x0 з цього околу має мiсце нерiвнiсть f(x) − f(x0) < 0 або f(x) < f(x0), i точка x0 є точкою максимуму. Теорема доведена.

Наступна важлива глобальна властивiсть функцiї її опуклiсть вниз (опуклiсть вгору).

Означення 14.3. Функцiя f, визначена на iнтервалi (a, b), називається опуклою вниз на ньому, якщо для будь-яких точок x1, x2 (a, b) i будь-якого числа α (0 6 α 6 1) виконується

Якщо при x1 6= x2 i 0 < α < 1 нерiвнiсть (14.5) є строгою, то функцiя f називається строго опуклою вниз на iнтервалi

(a, b).

Означення 14.4. Функцiя f, визначена на iнтервалi (a, b), називається опуклою вгору на ньому, якщо для будь-яких точок x1, x2 (a, b) i будь-якого числа α (0 6 α 6 1) виконується нерiвнiсть

188

Якщо при x1 6= x2 i 0 < α < 1 нерiвнiсть (14.6) є строгою, то функцiя f називається строго опуклою вгору на iнтервалi

(a, b).

Нерiвнiсть (14.5) означає, що точки будь-якої дуги графiка функцiї f лежать пiд хордою, яка стягує цю дугу (Рис. 8), де

x = αx1+(1−α)x2

Рис. 8

Нерiвнiсть (14.6) означає, що точки будь-якої дуги графiка функцiї f лежать над хордою, яка стягує цю дугу (Рис. 9), де

x = αx1+(1−α)x2

Рис. 9

189