Matanaliz

diam K = ∞, тобто яким би не було M > 0 iснує безлiч точок x з множини K, для яких d(x0, x) > M. Побудуємо послiдовнiсть точок множини K у такий спосiб. Вiзьмемо деяку точку x1 K. Оскiльки K необмежена, то знайдеться точка x2 K така, що x2 6B(x1, 1). Для кулi B(x1, d(x1, x2) + 1) знайдеться точка x3 така, що x3 6B(x1, d(x1, x2) + 1). Для кулi B(x1, d(x1, x3)) знайдеться точка x4 така, що x4 6B(x1, d(x1, x3) + 1) i т.д. Така процедура дозволяє побудувати послiдовнiсть xk точок множини K таку, що k i p

d(xk, xk+p) > d(x1, xn+p) − d(x1, xn) > d(x1, xn+1) − d(x1, xn) > 1.

Останнє означає, що з послiдовностi (xk) не можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть, а, отже, суперечить тому, що K компакт. Припустимо, що iснує нескiнченна обмежена множина K, яка є компактною, але не є замкненою, i нехай (x0) — гранична точка множини K, яка не належить K. Оскiльки (x0) гранична точка для множини K, то для будь-якої кулi B(x, r) iснує точка (x0) з K, яка належить кулi B(x, r). Побудуємо послiдовнiсть (xk) точок з K таку, що

Очевидно, що ця послiдовнiсть збiгається до x0, а, отже, i кожна пiдпослiдовнiсть збiгається до x0. Оскiльки x0 6K, то K не є компактною множиною, що суперечить умовi.

Достатнiсть. Нехай K — обмежена i замкнена множина точок простору Rn, i нехай (xk) послiдовнiсть точок цiєї множини. Оскiльки множина K обмежена, то i послiдовнiсть (xk) = (xk1, xk2, . . . , xkn) теж обмежена, а, отже, обмеженою

є кожна з числових послiдовностей (xki) (i = 1, n). За теоремою Больцано-Вейєрштрасса з числової послiдовностi (xk1) можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть (xkm1 1) m1 = 1, 2, . . ..

61

Послiдовнiсть (xkm1 2) обмежена як пiдпослiдовнiсть послiдовностi (xk2). За тiєю ж теоремою з неї можна видiлити збiжну

пiдпослiдовнiсть (xkm2 2) m2 = 1, 2, . . .. Пiдпослiдовнiсть (xkm2 1) як пiдпослiдовнiсть збiжної послiдовностi збiгається. Продов-

жимо цю процедуру i на n-ому кроцi дiстанемо n збiжних пiдпослiдовностей (xkmn i) mn = 1, 2, . . . вiдповiдно послiдовностей

(xki) (i = 1, n). iз збiжностi послiдовностей (xkmn i) випливає збiжнiсть послiдовностi (xkmn ) mn = 1, 2, . . ., яка є пiдпослiдовнiстю послiдовностi (xk). Нехай

lim xkmn = x0.

mn→∞

Якщо x0 — один iз членiв послiдовностi xk, то x0 K. Якщо ж x0 не збiгається iз жодним членом послiдовностi xk, то x0 гранична точка для множини членiв пiдпослiдовностi (xkmn ), а, отже, i для множини K. В силу замкненостi останньої x0 K. Таким чином показано, що множини K (K Rn) можна видiлити збiжну до точки з цiєї множини пiдпослiдовнiсть. А це й означає, що кожна обмежена i замкнена множина точок простору Rn є компактною.

Як i для числових функцiй з допомогою збiжних послiдовностей точок простору Rn можна означити поняття неперервностi функцiй n змiнних у точцi.

Завдання для самоконтролю.

1. Назвемо число

diam A := sup d(x, y)

x,y A

дiаметром множини a простору R2. Знайти дiаметр множин:

а) {(x, y) | y 6 6 − 2|x|, y > 2 + 2|x|};

б) {(x, y) | |x| + |y − 1| 6 4};

в) {(x, y) | |x + 1| + |2y − x − 1| 6 0}.

62

2. Знайти границю послiдовностi

точок простору R2.

3. Знайти границю послiдовностi

точок простору R4.

4.Довести, що послiдовнiсть (xk) точок простору Rn є збiжною тодi i тiльки тодi, коли вона фундаментальна.

6.Довести, що якщо у послiдовностi (Km) компактних множин точок простору Rn

K1 K2 · · · Km · · · ,

∞

T

то Km є непорожнiм. Яким буде цей перетин, якщо

m=1

diam Km → 0 при m → ∞?

7.Довести, що з будь-якої системи iнтервалiв, якi покривають вiдрiзок, можна видiлити скiнчене число iнтервалiв, якi теж покривають цей вiдрiзок.

8.Побудувати систему iнтервалiв, якi покривають промiжок (0; 1], але з якої не можна вибрати скiнчене пiдпокриття.

63

6ЛЕКЦIЯ: Границя обмеженої монотонної послiдовностi. Число e

Границя послiдовностi, її iснування. Границя обмеженої монотоної послiдовностi. Число e. Рiзнi способи його задання.

Лiтература. [2], ч.1, с.85–115; [3], т.1, с.28–59; [10], с.69–98.

Неперервнiсть множини дiйсних чисел є основою для введення основної неарифметичної операцiї — граничного переходу, iнакше — основою для побудови теорiї границь. Таку теорiю, як правило, розпочинають з введення поняття границi для послiдовностей (функцiй натурального аргумента).

Вiдповiднiсть, яка кожному натуральному числу вiдносить одне дiйсне число, називається послiдовнiстю (послiдовнiстю дiйсних чисел) i позначається f : N → R. Значення цiєї функцiї f(n) називаються членами послiдовностi. Такi значення прийнято записувати у виглядi xn := f(n), an := f(n). У зв’язку з цим послiдовностi записують або у виглядi x1, x2, . . . , xn, . . ., або у виглядi (xn). Тодi xn називають n-им членом послiдовностi.

Означення 6.1. Число a (a R) називають границею послiдовностi (xn), якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n0 такий, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть |xn −a| < ε,

i записують lim xn = a.

n→∞

Якщо послiдовнiсть (xn) має границю, то її називають збiжною послiдовнiстю.

Вiдразу слiд пiдкреслити, що означення границi послiдовностi є дескриптивним (описовим) означенням, тобто воно, як i означення точної верхньої i точної нижньої граней, дає можливiсть перевiрити „претендента на границю“ послiдовностi. Здогадатись, яке саме число буде границею, можна тiльки за допомогою самої послiдовностi (точнiше, виявлення того числа,

64

до якого будуть наближатись члени послiдовностi зi збiльшенням номера).

Ось чому при побудовi теорiй границь послiдовностей чiльне мiсце посiдають умови, якi гарантують збiжнiсть послiдовностi.

У теоретичному планi найважливiшими є критерiй Кошi, який стверджує, що послiдовнiсть (xn) збiгається тодi i тiльки тодi, коли вона фундаментальна, тобто коли для будь-якого ε > 0 можна вказати номер n0 такий, що для всiх n > n0 i будьякого натурального p виконується нерiвнiсть |xn − xn+p| < ε.

Приклад 1. Переконатись, що послiдовнiсть

n

!

X cos k!

k(k + 1)

(6.1)

k=1

збiгається.

Розв’язання. Вiзьмемо два натуральних числа n i p i оцiни-

Таким чином, ε > 0 можна вказати номер n0 (n0 = [1ε] + 1)

65

такий, що n > n0 i p N виконується нерiвнiсть |xn −xn+p| < ε. А це означає, що задана послiдовнiсть фундаментальна, а отже, збiжна.

Якщо, наприклад, можна обгрунтувати, що

(таблиця основних границь), то хоча ми переконались, що послiдовнiсть (6.1) збiжна, тобто має границю, але яке саме число буде границею цiєї послiдовностi ми не знаємо. iнакше кажучи

є поданням деякого дiйсного числа (нескiнченного десяткового дробу, у якого дев’ятка не є перiодом). Якщо ж є потреба ним скористатись, то беруть його наближення, тобто обирають

Можна видiлити цiлий клас послiдовностей, iснування границi у яких можна гарантувати. Це так званi монотоннi послiдовностi, тобто послiдовностi таких чотирьох типiв:

(xn) — зростаюча, якщо n N xn < xn+1; (xn) — неспадна, якщо n N xn 6 xn+1; (xn) — незростаюча, якщо n N xn > xn+1; (xn) — спадна, якщо n N xn > xn+1.

66

Теорема 6.1. Для того щоб неспадна послiдовнiсть була збiжною, необхiдно i досить, щоб вона була обмеженою зверху.

Доведення. Необхiднiсть очевидна, оскiльки обмеженiсть є необхiдною умовою збiжностi.

Достатнiсть. Нехай послiдовнiсть (xn) неспадна i обмежена. Якщо (xn) фiнально стала, тобто iснує такий номер n0, що починаючи з нього всi члени послiдовностi рiвнi

xn0 = xn0+1 = . . . = x0,

то lim xn = x0. Справдi, яким би не було ε > 0 для всiх n > n0

n→∞

|xn − x0| = 0 < ε. Якщо ж послiдовность (xn) не є фiнально сталою, то n0 n > n0 таке, що xn < xn+1. Оскiльки послiдовнiсть (xn) обмежена, то множина її членiв {xn} обмежена зверху, а отже, за принципом Вейєрштрасса має точну верхню грань. По-

значимо її через a i покажемо, що lim xn = a. Оскiльки a точна

n→∞

верхня грань множини {xn}, то n xn 6 a, а в силу того, що послiдовнiсть (xn) не є фiнально сталою, n xn 6= a. Отже, для будь-якого ε > 0 iснує елемент xn0 такий, що xn0 > a − ε. Тодin > n0 в силу того, що xn > xn0 , маємо

a − ε < xn < a

або a − ε < xn < a + ε. Отже, ε > 0 iснує номер n0 такий, щоn > n0 виконується нерiвнiсть |xn − a| < ε. А цей означає, що

lim xn = a.

n→∞

Аналогiчно можна довести, що для того щоб незростаюча послiдовнiсть була збiжною, необхiдно i досить, щоб вона була

67

Розв’язання. Подамо n-ий член заданої послiдовностi у виглядi

що послiдовнiсть (yn) збiжна, то в силу теореми про границю частки будемо мати, що послiдовнiсть (xn) збiжна, причому

Переконаємось, що послiдовнiсть (yn) спадна. З цiєю метою доведемо спочатку так звану нерiвнiсть Бернуллi, а саме доведемо, що для будь-якого натурального n i будь-якого α R, α > −1 виконується нерiвнiсть (1 + α)n > 1 + nα. Справдi для n = 1 нерiвнiсть справджується. Крiм того для кожного n з того, що

(1 + α)n > 1 + nα,

випливає, що

(1 + α)n+1 = (1 + α)n(1 + α) > (1 + nα)(1 + α) = = 1 + (n + 1)α + nα2 > 1 + (n + 1)α.

За принципом iндукцiї нерiвнiсть Бернуллi справедлива для будь-якого n N. Розглянемо вiдношення попереднього члена до наступного послiдовностi (yn). Тодi, скориставшись нерiвнi-

68

стю Бернуллi, маємо для n > 2:

Доведено, що число e = 2, 718281 . . . iррацiональне, бiльше того трансцендентне, тобто не є коренем нiякого многочлена з цiлими коефiцiєнтами. Його особливу роль в аналiзi порiвнюють з роллю числа π у геометрiї або 1 в арифметицi.

Крiм подання (6.2) число e має ще й iншi подання. Покажемо, наприклад, що

n

e = lim X 1 , (6.3)

n→∞ k! k=0

тобто e це сума ряду

1 + 1 + 2!1 + 3!1 + · · · + n1! + · · · .

69