Методические указания по решению типовых задач

Пример 1. Имеются выборочные данные по 10 пред­приятиям потребительской кооперации.

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровооруженность труда на одного рабочего, кВт/ч	2	5	3	7	2	6	4	9	8	4
Выпуск продукции на одного рабочего, т	3	6	4	6	4	8	6	9	9	5

Построить однофакторную регрессионную модель зависимости выпуска продукции от электоровооруженности труда на одного рабочего.

Решение

Предположим, что между электровооруженностью труда и выпуском готовой продукции существует линейная корре­ляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида

,

где y – индивидуальные значения результативного признака;

x – индивидуальные значения факторного признака;

a₀, a₁ – параметры уравнения прямой (уравнения регрессии);

y_x – теоретическое значение результативного признака.

Факторным признаком является электровооруженность труда, а результативным - выпуск продукции.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вы­числить параметры уравнения прямой путем решения системы нор­мальных уравнений . Чтобы заполнить систему нормальных уравнений фактическими данными, необходимо определить , , .

Расчеты этих показателей произведем в таблице 1.

Таблица 1

Расчет сумм для вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

Исходные значения			Расчетные значения
№ пред–приятия	Электрово-оруженность труда на одного рабочего, кВт/ч,	Выпуск готовой продукции на одного рабочего, т,
1 2 3 … 9 10	2 5 3 … 8 4	3 6 4 … 9 5	6 30 12 … 72 20	4 25 9 … 64 16	9 36 16 … 81 25	3,61 6,01 4,41 … 8,38 5,20	0,3721 0,0001 0,1682 … 0,381 0,04
Итого	50	60	343	304	400	60	5,761
В среднем	5,0	6,0	34,3	30,4	40,0	6,0	0,5761

Подставим в систему нормальных уравнений фактические данные из табл. 1 и получим равенства

Систему нормальных уравнений решаем в такой же последовательности (по методу множителей): умножим каждый член первого уравнения на число, равное 5. Получим:

Затем вычтем из второго уравнения первое: , откуда.

После подстановки значения в первое уравнение получим:

Уравнение регрессии имеет вид

С помощью определителей параметры уравнения прямой можно вычислить по формулам:

Если параметры регрессионного уравнения определены верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпиричес­ких значений выпуска готовой продукции, а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями выпуска гото­вой продукции должна быть равна нулю.

Окончательную проверку правильности расчета параметров уравнения связи можно также произвести подстановкой и в систему нормальных уравнений (рассматривая их как корни уравне­ния).

Используя уравнение корреляционной связи, можно определить теоретическое значение у_х для любой промежуточной точки (теоре­тическое значение выпуска готовой продукции на одного рабочего для любого промежуточного значения электровооруженности труда на одного рабочего.

В нашем уравнении регрессии параметр показывает, что с увеличением электровооруженности труда одного рабочего на 1 кВт/ч выпуск продукции возрастет на 0,796 т.

Средний коэффициент эластичности исчислим по формуле:

;

Коэффициент эластичности, равный 0,66, показывает, что с уве­личением электровооруженности труда на 1% выпуск про­дукции возрастет на 0,66%.

Измерим тесноту корреляционной связи между производитель­ностью и электровооруженностью труда линейным коэффициентом корреляции , теоретическим корреляционным отношением, индек­сом корреляции, которые рассчитываются по формулам:

Данные, необходимые для расчета этих показателей, представ­лены в таблице.

^.

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо предварительно вычислить дисперсии по формулам:

Теоретическое корреляционное отношение равно:

Коэффициент детерминации равен 0,856. Индекс корреляции:

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тес­ную связь между производительностью и электровооруженностью труда. Коэффициент детерминации 0,856 означает, что вариация выработки рабочих на 85,6% объясняется вариацией электровоору­женности труда и на 14,4% – прочими факторами.

Так как , то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели , выражающей зависимость между производительностью и электровооруженностью труда, с помощью

F-критерия Фи­шера по формуле:

где m – число параметров модели;

n – число единиц наблюдения.

Табличное значение F_T с уровнем значимости 0,05 и числом сте­пеней свободы (2-1), (10-2) равно 5,32. Так как F_Э > F_T, то урав­нение регрессии можно признать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помо­щью F -критерия Стьюдента по формулам:

Значение вычисляется по формуле:

Табличное значение F-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (n - 2) равно 2,307.

Так как t_эмп >t_табл параметры уравнения регрессии можно признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t-критерия по формуле:

где (n - 2) – число степеней свободы.

Эмпирическое значение t больше табличного, следовательно, коэффициент корреляции можно признать значимым. Вычислим ошибку аппроксимации по формуле:

Так как параметры уравнения регрессии значимы, уравнение значимо, показатели тесноты значимы, ошибка аппроксимации равна 5,8%, коэффициент детерминации равен 0,856, то можно сде­лать заключение, что построенная регрессионная модель зависимос­ти производительности труда от его элсктровооружснности может быть использована для анализа и прогноза.

Пример 2. Имеются данные по 52 предприятиям одной из отраслей потребительской кооперации региона:

Группа предприятий по фондовооруженности, млн. руб.,	Количество предприятий,	Объем продукции, млн. руб.,
5-7 7-9 9-11 … 21-23 23-25	1 2 3 … 2 1	3,0 5,0 6,3 … 17,0 19,0

По исходным данным найти параметры линейного корреляци­онного уравнения, характеризующего зависимость между продук­цией и фондовооруженностыо.

Решение

Параметры линейного уравнения регрессии можно вычислить по формулам:

Расчетные данные для вычисления параметров представлены в таблице.

Таблица 2